Các anh chị làm giúp em các bài này gấp, mai kiểm tra rùi:

1. CmR: $P=x^{999}+x^{888}+x^{777}+...+x^{111}+1$ chia hết cho $Q=x^9+x^8+x^7+...+x+1$

 

Bài 1 :

Cách 1 : Áp dụng trực tiếp phương pháp phân tích nhị thức Newton ( chú ý $x^{999}=(x^{9})^{111}$ )

Cách 2 :

$gt\Rightarrow P-Q=x^{9}(x^{990}-1)+x^{8}(x^{880}-1)+...+x(x^{110}-1)$

Ta chú ý mỗi biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho $x^{10}-1$ 

Mà : $x^{10}-1\vdots Q$

$\Rightarrow P-Q\vdots Q\Rightarrow P\vdots Q$

bạn Phúc k thấy mik bảo là khóa topic vào, k cho các thành viên đăng bài hay bình luận chỉ có BQT sửa hay đăng bài thôi

Lỡ nếu như các bạn ấy copy lại bài rồi đăng lên trên diễn đàn thì sao hả khonggiadinh vậy thì các MOD sẽ mệt đấy ( mình cũng ủng hộ việc lập topic này; chỉ muốn đề phòng 1 vài trường hợp thôi )

nếu a,b,c $\geq$ 0 ; ax⁴ = by⁴ = cz⁴ và $x= \frac{1}{\sqrt{b}+ \sqrt{c}} ; y= \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} ; z= \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ thì $\sqrt{ax^{2} + by^{2} + cz^{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$

Đặt :

$ax^{4}=by^{4}=cz^{4}=k^{2}$

$\Rightarrow a=\frac{k^{2}}{x^{4}}\Rightarrow \sqrt{a}=\frac{k}{x^{2}}$

Tương tự đối với $\sqrt{b};\sqrt{c}$

$\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=k(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})=k(2a+2b+2c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac})$ $(1)$

Ta lại có :

$ax^{2}=\frac{k^{2}}{x^{2}}$

Tương tự với $by^{2};cz^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}=\sqrt{k^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})}=k\sqrt{2a+2b+2c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}}$ $(2)$

Ta thấy $(1)$ và $(2)$ hơi mâu thuẫn nhau

Bạn thử xem lại đề nhé

 

 

Biểu diễn giá trị của $P$ dưới dạng hỗn số : với

 

$x=\frac{\left ( 11+6\sqrt{2} \right )\sqrt{11-6\sqrt{2}}-\left ( 11-6\sqrt{2} \right )\sqrt{11+6\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{5}+2+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}}$

 

$P=\frac{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^6-\left ( x^6+\frac{1}{x^6} \right )-2}{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3+\left ( x^3+\frac{1}{x^3} \right )}$

Rút gọn như ở đây, ta được 

$\Rightarrow P=3(x+\frac{1}{x})$
$gt\Rightarrow x=\frac{14\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{5}+2+\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}}$
Thế vào $P$ tính là xong !!   
 

Cậu làm hộ mình với mik không làm được

Ta có :

$gt\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+a+b+c+2+1=5 & \\ 2^{81}+a.2^{57} +b.2^{41}+c.2^{19}+2.2+1=-4& \\ 2^{81}+a.2^{57} +b.2^{41}+c.2^{19}+2A+B=0 & \\ 1+a+b+c+A+B=0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2A+B=9 & \\ A+B=-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=11 & \\ B=-13 & \end{matrix}\right.$
Từ đây dễ dàng làm được câu b 

a/ Do $N\vdots 24$ nên  $N\vdots 3$ và  $N\vdots 8$

$\Rightarrow 37+x+y\vdots 3$ và $\overline{x4y}\vdots 8$

$\Rightarrow y\in\begin{Bmatrix} 0;2;4;6;8 \end{Bmatrix}$

Dùng máy tính thử các giá trị thoả mãn $x+y+1\vdots 3$ và $\overline{x4y}\vdots 8$

KQ : $N\in\begin{Bmatrix} 1235679048;1235679840 \end{Bmatrix}$

Lộn đề rồi Toàn phải là : $\overline{12345679x4y}$ chứ !!!

Bài ...:Cho dãy số $u_n$: $u_1=1;u_2=2;u_3=3;u_n=2u_{n-1}-3u_{n-2}+2u_{n-3}$

Lập công thức truy hồi tính $S_n$ theo $u_n$ ($S_n$ là tổng $n$ số đầu tiên).Áp dụng tính $S_{22}$

$3\rightarrow D;1\rightarrow A;2\rightarrow B;3\rightarrow C$
$D=D+1:A=2C-3B+2A:D=D+1:B=2A-3C+2B:D=D+1:C=2B-3A+2C$
$===...$
Bấm tới $D=22$ thì ngừng.

cho dãy số a_n như sau a₁=3, $a_n=a_n-1+3n^{2}+5$ với n là số tự nhiên lớn hơn 1

a) lập quy trình bấm phím  liên tục tính a_n

b) tính a2012, a₂₀₁₃

$3\rightarrow A;1\rightarrow D$
$D=D+1:A=A+3D^{2}+5$
$===...$

Đóng góp 1 bài vậy 

Cho $S_{n}=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})$

a. Viết quy trình tính $S_n$

b. Tính $S_{12}$

Công thức tổng quát của $u_{n}$ :

Viết lại dãy số  ta có : $u_{n+1}-2u_{n}=1-n$

Giải phương trình đặc trưng : $\lambda -2=0\Rightarrow \lambda =2$

ta có : $u_{n}=$u_{n}_{1}+u_{n}_{2}$

với $u_{n}_{1}$ là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất $u_{n+1}-2u_{n}=0$

và $u_{n}_{2}$ là nghiệm tùy ý của phương trình không thuần nhất $u_{n+1}-2u_{n}=1-n$

Trước tiên tìm $u_{n}_{1}$, giải phương trình đặc trưng của $u_{n+1}-2u_{n}=0$, ta được $\lambda =2$ nên $u_{n}_{1}=\frac{1}{2}.2^{n}$

Sau đó tìm $u_{n}_{2}$ như sau : 

$u_{n}_{2}=n(ax+b)$

Thay vào đề bài , ta được :

$(n+1)[a(n+1)+b]=2n(an+b)-n+1$

Với $n=2$ ta được $A-B=-1$ , $n=3$ ta được $-2A-2B=-2$

từ đó suy ra $A=0,B=1$

nên  $u_{n}_{2}=n$

Vậy $u_{n}=\frac{1}{2}.2^{n}+n$
P/s : cách làm thì đúng đó , ai kiểm tra lại giúp , ko có nháp với máy tính 

Sai rồi, kết quả cuối phải là : $u_n=n$ !!

Bài hồi nãy mình đăng nhầm :

sửa : Tìm tổng 12 chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy của số 

$\left ( \frac{1}{11} \right )^{12}$

P/S: Bấm máy ra mũ âm thì phải làm sao vậy mọi ng ???

Ta có :

$\frac{1}{11^{12}}=3,186308177.10^{-13}$
Tức $12$ chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là số $0$
Vậy tổng là $0$
 

a,, Tìm được A=9 ,, B=13

Sai rồi bạn à
Ra $A=11;B=-13$

3 thiếu đè không pạn

4,Xét $P(x)=G(x)+7x^{2}$

thay x=1,2,3 ra $G(1)=G(2)=G(3)=0$

do hệ số cao nhất P(X) là 1

nên $P(x)=1.(x-x_{1})(x-1)(x-2)(x-3)$

Thay x=101,-96 là xong

Đề không thiếu đâu bạn !!   

 

Tiếp tục với đa thức :
3/ Khi chia đa thức $p(x)=x^{81}+ax^{57}+bx^{41}+cx^{19}+2x+1$ cho $x-1$ được số dư là $5$ . Và chia $p(x)$ cho $x-2$ số dư là $-4.$
a/ Tìm $A,B$ biết $Q(x)=x^{81}+ax^{57}+bx^{41}+cx^{19}+ Ax+B$ chia hết cho đa thức $(x^2-3x+2)$
b/ Với $A,B$ tìm được, tính giá trị đa thức :
$R(x)=Q(x)-p(x)+x^{81}+x^{57}+2x^{41}+2x^{19}+2x+1$ tại $x=1,032012$

a. $A=11;B=-13$
b. $R(x)=14,57511685$

Công thức tổng quát của $U_{n}$ , ta giải phương trình sai phân : 

Giải phương trình đặc trưng :

$\lambda ^2-\lambda -2=0$ có $2$ nghiệm là $\lambda _{1}=2,\lambda _{2}=-1$.

Vậy nghiệm tổng quát có dạng $u_{n}=C_{1}2^n+C_{2}(-1)^n$

Với $n=1$ ta có : $1=2C_{1}-C_{2}$

Với $n=2$ ta có : $1=4C_{1}+C_{2}$

Giải hệ ta được $C_{1}=\frac{1}{3} ,C_{2}=\frac{-1}{3}$

Vậy nghiệm tổng quát tức công thức tổng quát là $u_{n}=\frac{1}{3}2^n-\frac{1}{3}(-1)^n$

Giải thích dùm tớ 2 dòng này với
Làm sao có ý tưởng để ra được dòng đầu tiên về $PT$ đặc trưng
CÒn nghiệm tổng quát luôn có dạng giống dòng thứ 2 hả !? Hay là tùy thuộc vào số nghiệm của $PT$ !?

Cho dãy số $\left (u_n \right )$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=2u_n-n+1 \end{matrix}\right.$

a) Lập quy trình tính $u_n$. Viêt công thức tính $u_n$ theo $n$

b. Chứng minh rằng : $u_1^3+u_2^3+...+u_n^3$ là số chính phương

Ta sẽ chứng minh : $u_n=n$
$n=1;2;3$ đúng

Giả sử $n=k$ đúng 
$\Rightarrow u_k=k$
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $k+1$
$u_{k+1}=2u_k-k+1=2.k-k+1=k+1$

$\Rightarrow Q.E.D$
$\Rightarrow u_1^{3}+u_2^{3}+...+u_n^3=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}\Rightarrow Q.E.D$

 

Bài : Tìm STN $x$ lớn nhất có 8 hữ số biết rằng nếu chia $x$ cho $19,31,47$ thì dư lần lượt là $13;17;5$.

Cách trâu bò vậy

Gọi số cần tìm là $x$
$\Rightarrow 47|x-5\Rightarrow x-5\leq 2127659$
$2127660\rightarrow D$
$D=D-1:A=\frac{47D+5-17}{31}:B=\frac{47D+5-13}{19}$
Bấm tới khi nào $A;B$ cùng đạt giá trị nguyên đầu tiên thì ngừng
$\Rightarrow x=99996500$

2.Tìm số chữ số của $2011^{2012}$

3.Tìm 4 chữ số cuối của $5^{2013}$
Các anh giúp em nhé !!!
 

2. $\log(2011).2012=6646,465086$
Suy ra số chữ số là $6647$
3. Ta  có :

$5^{20k}\equiv 0625(\mod 10000)$
Mà : $2013\equiv 13(\mod 20)$
$\Rightarrow 5^{2013}\equiv 625.3125\equiv 3125(\mod 10000)$

Tìm tất cả số tự nhiên $x$ sao cho khi viết liên tiếp bình phương và lập phương của nó thành 1 số $(\overline{x^{2}x^{3}})$, rồi viết số đó theo thứ tự ngược lại thì bằng $x^6$

Bài 498:
$Cho x+y \geq 0. CMR: \frac{1}{1+4^{x}}+\frac{1}{1+4^{y}} \geq \frac{2}{1+2^{x+y}}$

Bài 497:
$Cho 0\leq x ; y ;z \leq 1. CMR:
\frac{x}{yz+1} + \frac{y}{xz+1} + \frac{z}{xy+1} \leq 2$

cho a,b không âm thoả mãn: $a+b=a^2+b^2$. tìm giá trị nhỏ nhất:
$Q=\frac{a-b}{(a+b)^2}$

$gt\Rightarrow \frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=1$

$Q+1=\frac{a-b}{(a+b)^{2}}+\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{3}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3}+a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}{(a+b)^{2}(a^{2}+b^{2})}=\frac{2a^{3}+2ab(a+2b)}{(a+b)^{2}(a^{2}+b^{2})}\geq 0 (a;b\geq 0)$

$\Rightarrow Q+1\geq 0\Rightarrow Q\geq -1$

Vậy : $MinQ=-1\Leftrightarrow a=0;b=1$

cho các số nguyen x,y thoa man 4x+5y=7

tim min P=5|x|-3|y|

Ta có : 

$4x+5y=7=>4x+8+5y-15=0=>4(x+2)+5(y-3)=0=>4(x+2)=5(3-y)$

$\left\{\begin{matrix} (x+2)\vdots 5 & \\ (3-y)\vdots 4 & \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} x=5k-2 & \\ y=3-4k & \end{matrix}\right.=>A=5\left | 5k-2 \right |-3\left | 3-4k \right |$

Lập bảng xét dấu và ta xét 2 khoảng :

$* k\leq 0$

$=>A=-5(5k-2)-3(3-4k)=-13k+1\geq 1$

$* k\geq 1$

$=>A=5(5k-2)+3(3-4k)=13k-1\geq 12$

Vậy :

$MinA=1\Leftrightarrow k=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ y=3 & \end{matrix}\right.$

Đồng hồ lớn ở Tây Mẫn Tự, khi báo giờ, tiếng chuông ngân rất dài. Nhất là muốn biết 12 giờ, phải đếm tiếng chuông khá lâu. Giả dụ khoảng cách giữa hai tiếng chuông là 5 giây. Vậy thời gian để đếm biết 12 giờ cần bao nhiêu giây? Ngoài ra muốn biết 6 giờ cần bao nhiêu giây?

Thời gian đếm biết 12 giờ cần là $55$ giây; còn $6$ giờ là $25$ giây
Phải không nhỉ !?

Thời gian đếm biết 12 giờ cần là $55$ giây; còn $6$ giờ là $25$ giây
Phải không nhỉ !?

lời giải nữa bạn ơi

lời giải nữa bạn ơi

Mình nghĩ là như thế này :
Khi tiếng chuông 1 vang lên thì mất 5 giây để tới tiếng chuông 2 cứ thế tới tiếng chuông thứ 12 là sẽ mất 55 giây
Cũng tương tự với 6 giờ :
Lời giải thì mình không chắc lắm :
Ta có tổng cộng 12 tiếng chuông và tính từ khi tiếng chuông thứ nhất vang lên trở về sau và ta cũng không tính thời gian 5 giây sau khi tiếng chuông thứ 12 vang lên nên sẽ mất : $5.(12-1)=55$
Tương tự với 6 giờ

thầy em làm như sau:

$2\left ( sin^{4}x + cos^{4}x \right )+ cos4x + sin2x - m = 0\Leftrightarrow 2(1-sin^{2}cos{2})+ 1 - 2sin^{2}2x + 2sin2x + m = 0$

em không hiểu lắm đoạn sin2x - m $\Leftrightarrow$ 2sin2x + m

mặt khác, em vẫn để nguyên là sin2x - m thì giải ra kết quả khác hẳn, thế là thế nào ạ, mong các tiền bối chỉ giáo !!!

Mình không biết có phải bạn đánh lộn hay thầy bạn ghi sai nữa @@!

Áp dụng công thức $a^4 + b^4 = (a^2 +b^2)^2 -2(ab)^2$

$2(sin^{4}x+cos^{4}x)=2-sin^{2}2x;cos4x=1-2sin^{2}2x$

$PT\leftrightarrow 3-3sin^2 2x+2sin2x+m=0$

Coù chính xaùc ñuùng 4 soá nguyeân döông n ñeå $\frac{(n+1)^{2}}{n+23}$ là một số nguyên. Hãy tính số lớn nhất?

Ta có :

$gt\Rightarrow (n+1)^{2}\vdots n+23\Rightarrow n^{2}+2n+1\vdots n+23$

Mà : $n^{2}+23n\vdots n+23$

$\Rightarrow 21n-1\vdots n+23$

Mà : $21n+483\vdots n+23$

$\Rightarrow 484\vdots n+23$

$\Rightarrow (n+23)\epsilon Ư(484)$

Do : $n> 0;484=2^{2}.11^{2}$

Nên ta sẽ dễ dàng tìm được 4 số nguyên dương $n$ lần lượt là : $(n+3)\epsilon \left \{ 44;121;242;484 \right \}\Rightarrow n\epsilon \left \{ 21,98,219,461 \right \}$

Từ đây ta dễ dàng tìm được số lớn nhất.

Tam giác ABC đều,cạnh a,M nằm trong tam giác,D,E,F là chân cá đường vuông góc từ M đến BC,CA,AB xác định VT M để

1)$\frac{1}{MD}+\frac{1}{ME}+\frac{1}{MF} min =?$

2)$\frac{1}{MD+ME}+\frac{1}{ME+MF}+\frac{1}{MF+MD} min =?$

Ta dễ dàng tính được : $MD+ME+MF=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwaz

1)$\Rightarrow \frac{1}{MD}+\frac{1}{ME}+\frac{1}{MF}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{MD+ME+MF}=2\sqrt{3}a$

2)$\frac{1}{MD+ME}+\frac{1}{ME+MF}+\frac{1}{ME+MD}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{2(MD+ME+MF)}=3\sqrt{3}a$

Dấu $"="$ xảy ra  $\Leftrightarrow MD=ME=MF\Leftrightarrow M$ là trực tâm $\triangle ABC$