Ta chứng minh BĐT sau $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2;\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2;\frac{c^3}{a}+ca\geq 2c^2$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca$

Bây giờ ta sẽ vào bài toán

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{a^5}{b^3}+ab\geq \frac{2a^3}{b};\frac{b^5}{c^3}+bc\geq \frac{2b^3}{c};\frac{c^5}{a^3}+ca\geq \frac{2c^3}{a}$

$\Rightarrow \frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\geq \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}-(ab+bc+ca)\geq \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}$

BĐT được chứng minh xong

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$

tungvu ơi, dấu "=" vẫn có thế xảy ra mà, BĐT có sai đâu

cảm ơn bạn bất dẳng thức AM-GM tên đầy đủ là gì vậy bạn ???

Ta chứng minh BĐT sau $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2;\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2;\frac{c^3}{a}+ca\geq 2c^2$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca$

Bây giờ ta sẽ vào bài toán

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{a^5}{b^3}+ab\geq \frac{2a^3}{b};\frac{b^5}{c^3}+bc\geq \frac{2b^3}{c};\frac{c^5}{a^3}+ca\geq \frac{2c^3}{a}$

$\Rightarrow \frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\geq \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}-(ab+bc+ca)\geq \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}$

BĐT được chứng minh xong

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$

tungvu ơi, dấu "=" vẫn có thế xảy ra mà, BĐT có sai đâu

mà theo cosi thì $\frac{a^{5}}{b^{3}}+ab\geq 2\sqrt{\frac{a^{6}}{b^{2}}}$ mà

Khai căn đi

 

hình như bạn nhầm rồi

Giải phương trình:

1) $\cot x - \cos x = 1 - \sin x$;
2) $\cos \left( x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin 2x$.