Bài 69. Cho (O; R) và điểm A sao cho OA > 2R. Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O). Gọi E và D lần lượt là trung điểm của AO và AB. DC cắt đường tròn (O) tại I ( khác C). Chứng minh rằng bốn điểm A, E, I, C cùng thuộc một đường tròn 

Chưa thấy ai làm nên em chém vậy   !

 

Bài 65.

 

a) Vì M, N đối xứng với nhau qua AB $\LARGE \Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{NKB} (1)$

 

Cũng do M, N đối xứng với nhau qua AB $\LARGE \Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KFM}=\widehat{BFC}$

 

Từ đó C, F, N thẳng hàng. 

 

$\LARGE \Rightarrow \widehat{NCB}=\widehat{NKB} (2)$

 

Từ (1) và (2) $\LARGE \Rightarrow MK=MB$

 

Lại có vì Tam giác ABC cân nên MB=MC

 

Vậy MK=MB=MC hay M là tâm (KBC)  mà K thuộc (NBC). Suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NBC

 

b) Dễ thấy EB=EC, Ta sẽ chứng minh EB+EN=EM. Thật vậy ta có

 

Từ câu a dễ dàng suy ra tam giác BMN đều.

 

Lại có $\LARGE \widehat{NMB}=2\widehat{NCB}$

 

$\LARGE \widehat{NEB}=2\widehat{NCB}$

 

$\LARGE \Rightarrow \widehat{NMB}=\widehat{NEB}\Rightarrow$ Tứ giác NMEB nội tiếp.

 

Vì tam giác BMN đều và E thuộc (BMN). Áp dụng định lý Shooten ta có điều phải chứng minh

 

* Nhận xét: Câu cuối bài ta có thể chứng minh bằng nhiều cách, có thể sử dụng p tô lê mê hoặc tách đoạn thẳng nhưng bản chất chính là chứng minh định lý shooten! Bài toán không quá khó nhưng cái khó nhất của bài có lẽ là vẽ hình !     

Nhân tiện đây mình xin lỗi là mình gõ làm cho lệnh latex nó to quá, mình cũng chả hiểu tại sao ! Bạn nào rảnh thì chỉnh sửa giúp mình nhé !

Xiên nốt bài 69 cho nó lành

Lời giải bài 69

Dễ thấy rằng $DB^2=DI.DC$

mà $DA=DB$ nên $DA^2=DI.DC\Rightarrow \Delta DAI\sim \Delta DCA \Rightarrow\hat{DIA}=\hat{DAC}$

Lại có $\hat{OEC}=2\hat{OAC}=\hat{BAC}=\hat{DAC}$ nên $\hat{DIA}=\hat{OEC}\Rightarrow 180^0-\hat{DIA}=180^0-\hat{OEC}\Rightarrow \hat{AEC}=\hat{AIC}\Rightarrow$ AEIC nội tiếp.

P/s:Ai cân bài 64 đê

Bài này nếu khai thác giả thiết khác một chút sẽ có cách chứng minh khác mà không cần sử dụng phương tích ~~

Thử sức tiếp với bài toán hay tiếp theo !     

Bài 70. Cho điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho $\large \widehat{MBA}=\widehat{MCA}$. D là điểm đối xứng với M qua trung điểm của BC. AM cắt CD tại E, CM cắt AD tại F. Chứng minh bốn điểm E, M, F, D cùng thuộc một đường tròn. 

Xin đề xuất bài toán tiếp theo cho topic của thầy Hùng !

Bài 75. ( Chuyên Toán TPHCM ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. Chứng minh rằng:

1) Chứng minh: $ BA.BC=2BD.BE$

2) Chứng minh CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC

Bài 75
a, Có $\angle DBA=\angle CBE$ (cùng phụ $ABC$)
Có $\angle DAB=90^o -\angle BAN=90^o- \angle BAE - \angle MEA=\angle BEM $
=> $\triangle BDA \sim \triangle BME$
=> đpcm
b. Gọi giao của $BD$ và $AC$ là $K$
dễ chứng minh $\triangle BKA \sim \triangle BCE$
=> $D$ là trung điểm của $BK$
lại có $AH//BK$
=> $CD$ đi qua trung điểm của
$AH$
 

Chú ý: Khi giải bạn cần phải có hình vẽ nhé! Góp ý nho nhỏ !  

Chém nhanh câu hệ:

$\ \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+1}{y} +x+y=4 & & \\ \frac{x^{2}+1}{y} . (y+x-2)=1 & & \end{matrix}\right.$ 

Đến đây đặt ẩn: $a= \frac{x^{2}+1}{y} ; b = x+y$ Đoạn sau các bạn chém tiếp nhé.

Câu bất: 

Với điều kiện của bài toán ta có dễ dàng có đánh giá sau:

$$ x \geq \frac{x+y}{y+z} ; z \geq \frac{t+z}{x+t} $$

$$A= \frac{y+t}{x+z} . \left ( \frac{x+y}{y+z} + \frac{t+z}{x+t} \right ) \leq  \frac{4}{x+z} . (x+z)=4$$

$A_{max} =4$ khi $x=z=1;y=t=2$ . $\square$

Xin lỗi bạn, lời giải trên là của thầy Trần Quốc Anh phiền bạn ghi nguồn vào nhé, hi vọng bạn coi trọng sản phẩm trí tuệ của thầy !   

Xin chào bạn! Bài này khá dễ nên chuyện lặp là bình thường, rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được và giống cách này nên chuyện lời giải ai giải trước không thể nói được. Mình và thầy có quen nhau thầy cũng biết tính mình nếu trích dẫn lời giải đều ghi nguồn. Nếu không tin có thể gặp trực tiếp hỏi thầy. Mình xin hết !

Mình cũng phục bạn thật giống từng chi tiết cắt bớt, mà ai bảo bạn nói rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được ? Mình cũng đi thi chẳng nhẽ mình không biết hỏi các bạn đó làm được hay không à ? 

Xin chào bạn! Bài này khá dễ nên chuyện lặp là bình thường, rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được và giống cách này nên chuyện lời giải ai giải trước không thể nói được. Mình và thầy có quen nhau thầy cũng biết tính mình nếu trích dẫn lời giải đều ghi nguồn. Nếu không tin có thể gặp trực tiếp hỏi thầy. Mình xin hết !

Mình cũng nói luôn nếu bạn nói dễ xin mời bạn không hiểu biết gì, lời giải trên để có được là sự tinh tế và cực kì khéo léo và mình khẳng định 100% bạn copy giải ! Xin lỗi mình bạn mình kém nên ko có lời giải cho bài này mà bạn nói trùng lặp là chuyện bth thì mình xin nói hẳn bạn chỉ là tên bốc đồng ~!

 Xin tiếp tục với một bài toán tiếp theo, mỗi ngày tôi sẽ cố gắng up 1 bài để giữ lửa cho topic của thầy Hùng! Nhất là ở thời điểm '' nhạy cảm '' này khi kì thi chuyên toán đang đến rất gần, hi vọng các bạn up nhiều bài tập hơn nữa !    

Bài 77. Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P;  đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F.

1) Chứng minh rằng: $\widehat{OEN}$ và $\widehat{OCA}$ bằng nhau hoặc bù nhau.

2) Chứng minh rằng: B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF. Chứng minh O, M, K thẳng hàng.

                                       (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Thành Phố Hà Nội 2013-2014)

Bài 77:

a,Ta có : $\widehat{ENC}=\widehat{PNA }=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mặt khác: $\widehat{COE}=180^\circ -\widehat{BOC}=180^\circ -(180^\circ -\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2})=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Suy ra $\widehat{COE}=\widehat{CNE}$$\Rightarrow CONE nội tiếp$ 

$\Rightarrow \widehat{OEN}=\widehat{OCA}$

b,Vì OCEN nội tiếp $\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{ONC}=90^\circ =\widehat{OPB}=\widehat{OFB}$

Suy ra BFEC nội tiếp

c,Kẻ đường kính OI .Vì E thuôc đường tròn đường kính OI $\Rightarrow \widehat{OEI}=\widehat{OEC}=90^\circ$

Suy ra I,E,C thẳng hàng.

Mặt khác:$\widehat{OIE}=\widehat{OFE}$ do OFIE nội tiếp

$\widehat{BFP}=\widehat{BCE}$ do BFEC nội tiếp

Mà $\widehat{BFP}+\widehat{OFE}=90^\circ$

Suy ra$\widehat{OIE}+\widehat{BCI}=90^\circ$

suy ra OI vuông góc với BC

Mà OM vuông góc với BC

Suy ra O,M,K thẳng hàng 

Cảm ơn bạn khi nào giải nhớ vẽ hình nhé   

Hai bạn đừng spam nữa nhé loãng topic ở đây là đăng bài ko phải để tranh luận nếu có thắc mắc xin hãy trao đổi qua tin nhắn đừng nên đăng ở đây. 

Về việc bạn  Uchiha Sisui nhắc nhở các thành viên gửi kèm hình theo đó là việc không thể bắt buộc. Người khác tham gia đóng góp cho Topic đã là quý rồi việc họ đăng hình hay không là việc của họ mình không có quyền bắt buộc (Nội quy topic cũng không bắt buộc) tùy vào mỗi cá nhân thôi. Thầy Hùng không onl thường xuyên nên mình là người quản lí topic này. Nếu có thắc mắc xin vui lòng gửi qua tin nhắn mình sẽ giải đáp hoặc trao đổi lại với thầy Hùng sau.
Nhắc thêm Uchiha Sisui  em ghi nguồn vào các bài toán đề xuất nhé anh thấy em đăng vài bài mà không ghi nguồn. Nếu không biết hãy để sưu tầm

 

Bài toán đề xuất tiếp theo :

Bài 78:  (Czech-Slovak-Polish  2013)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ .$P$ là điểm chính giữa cung có chứa điểm $A$ .$(X)$ là đường tròn đường kính $PC$ .$K,L$ lần lượt là giao điểm của phân giác trong góc $BAC$ với ($K$ gần $A$).$M$ là điểm đối xứng của $L$ qua $BC$ . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKM$ đi qua trung điểm của $BC$ .

AOPS.png

P/s: Chưa ai giải bài $74$ nhỉ? 

chắc bạn ảo tưởng bạn hơn tuổi mình? Hơn nữa bạn nói về việc ghi nguồn? bạn có nhầm , phiền bạn xem lại mỗi bài toán tôi đều có ghi trích từ đề thi nào đó, khi nhắc nhở ai đó nên xem lại mình ! Bạn hãy xem topic mà tôi muốn nói 

Xin đóng góp một bài tiếp theo cũng rất hay. Cố gắng được hơn 100 bài nào Topic     

Bài 80. (THTT T4/411) Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Gọi P, Q, R, H, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác MBC, MAC, MAB, PQR, ABC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, G thẳng hàng.

Tiếp với một bài nữa    ! ủng hộ Topic Thầy Hùng nào mọi người '' chém nhiệt tình'' nào !     

Bài 82. Cho tam giác ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. M là điểm nằm trong tam  giác ABC sao cho $\widehat{BMC}=\widehat{BIC}$. Đường thẳng qua M song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Các đường thẳng qua m song song với AB, AC cắt BC tại D và E

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, Q, C, D đồng viên

b) Gọi N là giao điểm của PD và QE. Chứng minh rằng khi M thay đổi thì N luôn chạy trên một đường tròn cố định.

                                                                       (Trích đề thi thử chuyên KHTN-Hà Nội năm 2015 Lần 2 môn toán Chuyên)

Tiếp với một bài nữa    ! ủng hộ Topic Thầy Hùng nào mọi người '' chém nhiệt tình'' nào !     

 

Bài 82. Cho tam giác ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. M là điểm nằm trong tam  giác ABC sao cho $\widehat{BMC}=\widehat{BIC}$. Đường thẳng qua M song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Các đường thẳng qua m song song với AB, AC cắt BC tại D và E

 

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, Q, C, D đồng viên

 

b) Gọi N là giao điểm của PD và QE. Chứng minh rằng khi M thay đổi thì N luôn chạy trên một đường tròn cố định.

 

                                                                       (Trích đề thi thử chuyên KHTN-Hà Nội năm 2015 Lần 2 môn toán Chuyên)

Nhân tiện cho mình hỏi mọi người dùng Phần mềm gì vẽ hình vậy mình dùng geogra rồi cut ra paint nhưng hình nó bé quá

Bài 81(APMO):

Cho tam giác $ABC$; đường cao $AD;BE;CF$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $OA;OB;OC;OD;OE;OF$ chia tam giác $ABC$ thành $3$ cặp tam giác bằng nhau.

geogebra-export (1).png

CUT HÌNH RA PANIT KIỂU J ĐỂ TO THẾ BẠN

Bạn xài sketchpad (tải bản full c*rack , hình như bên mathscope có link full c*rack ). Sau khi vẽ hình (có thể điều chỉnh độ dày đường thẳng, màu sau cho đẹp là ok ). Vẽ xong hình Ctrl + A rồi bấm Ctrl +C vào paint dán ra (Ctrl + C) rồi lưu lại. Còn vế geogebra đừng nên cut ra paint vào chỗ xuất bản ảnh vào lưu lại thôi. 

Bạn vào xuất dưới dạng hình png rồi chỉnh size thường thì để to thì 1:1,5 hoặc 1:2 tùy vào người chỉnh.

Bài toán đề xuất tiếp theo:

Bài 83: (Tăng)

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $BB_{1}; CC_{1}$. Gọi $O$ là trung điểm $BC$. Gọi $M = B_{1}C_{1} \cap BC$; $ P = (BOC_{1}) \cap (COB_{1}) $.Chứng minh rằng $MP; BB_{1}; CC_{1}$ đồng quy tại $1$ điểm.

Đây là $1$ tính chất mình thấy được khi làm $1$ bài không biết bài này có trùng với bài nào không nữa, nếu trùng xin hãy nhắn tin để tôi sửa lại nguồn.
 

83.png

Cấu hình bài này giống IMO 2014

Xin đề xuất bài toán tiếp theo!   

Bài 84. ( Sưu tầm) Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại K , ( (O') nằm trong (O) ) . Điểm A nằm trên (O) sao cho A, O, O' không thẳng hàng. Các tiếp tuyến AD, AE của (O') cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là B và C (D, E là các tiếp điểm). Đường thẳng AO' cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng BC, DE, FK đồng quy.

Chỗ này dùng Brocard hơi quá tay, hơn nữa Brocard không được học ở chương trình toán THCS! (chứng minh định lý này cũng không đơn giản) Để giải quyết chỗ này ta nên dùng ý tưởng trục đẳng phương thì hay hơn (mình biết là khái niệm này không được học, nhưng về ý tưởng thì đơn giản và sáng sủa hơn rất nhiều!).

Đúng là vậy nhưng tuy nhiên để có lời giải của THCS thì Brocard là hợp lí anh à! Nếu học sinh THCS mà biết được khái niệm trục đẳng phương thì hơi quá ạ !

Tiếp tục luyện công nào       !

Bài 86. (IMO Shortlist 2007) Cho năm điểm A, B, C, D, E thỏa mãn ABCD là hình bình hành, BDEC là tứ giác nội tiếp đường tròn. Đường thẳng (d) qua A cắt DC và BC tại F và G thỏa mãn $EF=EG=EC$. Chứng minh rằng (d) là phân giác góc A.

Mình xin đề xuất bài toán tiếp theo (bài này ảo)

Bài 87(EGMO 2017):

Cho tam giác $ABC$ với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ và trọng tâm $G$. Gọi $O_{1};O_{2};O_{3}$ là điểm đối xứng của $O$ lần lượt qua $BC;AC;AB$; $G_{1};G_{2};G_{3}$ là điểm đối xứng của $G$ qua $BC;CA;AB$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $O_{1}O_{2}C; O_{2}O_{3}A; O_{3}O_{1}B; G_{1}G_{2}C; G_{2}G_{3}A; G_{1}G_{3}B$ và $ABC$ có một điểm chung.

geogebra-export (4).png

P/s: bạn Uchiha sisui sửa bài 84 thành 86 nhé.

Thanks bạn mình sửa rồi :V

Bài 95. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại E và D. BD cắt CE tại H, các tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau tại K, $AK\cap BC={M}$, $MH\cap BK={N}$. Vẽ tiếp tuyến AS của (O) với S thuộc cung nhỏ CD, $KD\cap AH={I}$, $MH\cap OA={L}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK tại T.

a) Chứng minh tứ giác TKBD, BELO nội tiếp

b) Ba điểm N, E, I thằng hàng.

c) Ba điểm M, E, D thẳng hàng

d) Ba điểm M, S, H thẳng hàng.

Còn câu nữa xử nốt cho nó lành

Câu II 

2)Gọi $X_{n}$ là số cách sắp xếp n người ($n\geq 0$) thỏa mãn đề bài (coi như $X_{0}=1$ vì khi không có người nào đứng thì chỉ có một cách sắp xếp duy nhất )

Giả sử chiều cao của $n$ người trên lần lượt là $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ sao cho với $i>j$ thì $a_{i}>a_{j}$

Khi đó; giả sử người có chiều cao là $a_{1}$ đứng ở vị trí thứ $k$($0\leq k\leq n$) thì mỗi người đứng ở vị trí từ $1\rightarrow k$ luôn cao hơn tất cả những người đứng trước vì nếu ngược lại thì tồn tại một người có chiều cao nhỏ hơn $a_{1}$ (vô lý) $\Rightarrow$ người đứng ở vị trí thứ 1 là người cao nhất và có chiều cao $a_{n}$

Tương tự; người đứng ở vị trí thứ 2 có chiều cao là $a_{n-1}$

                 người đứng ở vị trí thứ 3 có chiều cao là $a_{n-2}$

                 .............

                 người đứng ở vị trí thứ $k-1$ có chiều cao là $a_{n-k}$

Do đó với mọi $0\leq k\leq n$ thì chỉ có một cách sắp sếp những người đứng ở vị trí từ 1 đến k sao cho thỏa mãn đề bài. Từ đó suy ra số cách sắp xếp n người thỏa mãn đề bài khi người thấp nhất (có chiều cao $a_{1}$) đứng ở vị trí thứ $k$ chính bằng số cách sắp xếp $n-k$ người đứng từ vị trí thứ $k+1$ trở đi ($=X_{n-k}$).

Vì vậy; khi cho $k$ lần lượt bằng $n;n-1;...;1$ thì ta nhận được số cách sắp xếp $n$ người lần lượt là $X_{0};X_{1};X_{2};...;X_{n-1}$

Mà tổng số cách sắp xếp $n$ người bằng tổng các số trên nên $X_{n}=X_{0}+X_{1}+...+X_{n-1}$

Lại có $X_{0}=1$ và $X_{1}=1$ nên từ công thức trên và bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được $X_{n}=2^{n-1} (n\geq 1)$

Thay $n= 10$ vào trên ta có $X_{10}=512$

P/S: Mới off có sáng với chiều chủ nhật để đi chơi mà tối lên diễn đàn đã thấy đề KHTN bị "xơi" gần hết rồi; còn mỗi cấu tổ

bác giỏi ghê :v trâu quá :V

Nhận xét: Đề PTNK năm nay không hay bằng năm ngoái, và thậm chí lại hơi dài! Đề này mức điểm phổ biến chỉ tầm 6đ-7đ còn lấy 8-9 thì phải thực sự giỏi,. Nói chung mình không thích cấu trúc đề kiểu này cho lắm!

Mới thi xong thực tình hình thấy khó và cũng nản nữa, bản chất chính là đẳng giác nhưng THCS thì hơi nặng! Đi thi dự full hình nhưng chẳng full chán hẳn!