Bài 438: Giải phương trình:$6\sqrt{x^2+5}+12\sqrt[3]{x^2+3x-2}=3x^2-x+32$

Ta có: $12\sqrt[3]{x^{2}+3x-2}=\left ( x^{2}+5-6\sqrt{x^{2}+5}+9 \right )+2x^{2}-x+21> 0$

Áp dụng AM-GM ta có:

$3x^{2}-x+32=2.3.\sqrt{x^{2}+5}+3.2.2.\sqrt[3]{x^{2}+3x-2}\leq x^{2}+14+x^{2}+3x+14=2x^{2}+3x+28$

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}\leq 0 \Leftrightarrow x=2$

Bài 442: $\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$

Đặt $a=\frac{2x}{1+x^{2}}, b=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$

$\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=\sqrt{2}(3a-b+1)$ và $a^{2}+b^{2}=1$

Khi đó phương trình ban đầu trở thành:

$4ab-\sqrt{2}(3a-b+1)=5-\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 4ab-\sqrt{2}(3a-b)=3+2(a^{2}+b^{2})$

$\Leftrightarrow 2(a-b)^{2}+3+\sqrt{2}(3a-b)=0$

$\Leftrightarrow 2(a-b)^{2}+\sqrt{2}\left [ (a+b)+2(a-b) \right ]+3=0$

$\Leftrightarrow \left [ \sqrt{2}(a-b) \right ]^{2}+2\sqrt{2}(a-b)+1+\sqrt{2}(a+b+\sqrt{2})=0$

$\Leftrightarrow \left [ \sqrt{2}(a-b)+1 \right ]^{2}+\sqrt{2}(a+b+\sqrt{2})=0$

Ta có: $\left | a+b \right |\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}=\sqrt{2} \Rightarrow a+b\geq -\sqrt{2}$

$\Rightarrow VT\geq 0=VP$

Dấu = không xảy ra$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Bài 421 (thi thử chuyên Lê Hồng Phong Nam Định):

$$\sqrt{2x+4} - 2\sqrt{2-x} \ge \dfrac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}$$

Khúc sau khi nhóm nhân tử mình xử lí hơi bê đê, mong có cách đẹp hơn :3

ĐK: $-2\leq x\leq 2$

Pt$\Leftrightarrow \frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}\geq \frac{12x-8}{\sqrt{9x^{2}+16}}$

$\Leftrightarrow (3x-2)\left ( \frac{1}{\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}}+\frac{2}{\sqrt{9x^{2}+16}} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow (3x-2)\left ( \sqrt{9x^{2}+16}-2\sqrt{2x+4}-4\sqrt{2-x} \right )\geq 0$

Đến đây xét 2 TH...Mình sẽ không giải bpt nữa mà sẽ giải pt, các bạn tự thay dấu vào nhé

$\sqrt{9x^{2}+16}=2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}$

$\Rightarrow 9x^{2}+16=4(2x-4)+16(2-x)+16\sqrt{2(4-x^{2})}$

$\Leftrightarrow x^{2}+8x+16=8(4-x^{2})+16\sqrt{2(4-x^{2})}+16$

$\Leftrightarrow (x+4)^{2}=\left ( 2\sqrt{2(4-x^{2})}+4 \right )^{2}$

Đến đây dễ rồi...

Bài 418, bài này mình đăng lên được 4 ngày nhưng không thấy ai giải mạn phép post vào đây

Đây là topic để mọi người cùng thảo luận, nếu có gì chưa biết thì bạn cứ thoải mái đăng lên đây, không phải "mạn phép" như vậy đâu 

Bài 417:

http://diendantoanho...endmatrixright/

Post lại đề...

Bài 417: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}=3\\ x\sqrt{y}+\sqrt{y}-2\sqrt{x}=0 \end{matrix}\right.$

P/s: Lần sau bạn nhớ ghi rõ đề bài ra để mọi người tiện theo dõi hơn.

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Cách khác cho bài toán này.

Áp dụng AM-GM ta có:

$3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1}\leq \frac{1-y^{2}-6y-1}{2}$

$\Leftrightarrow 6x^{2}+8x-10+y^{2}+6y\leq 0(*)$

Pt(2):$x+1=\sqrt{17-4y-16x} \Rightarrow x^{2}+18x+4y-16=0(**)$

Lấy (*)-(**) ta được:$5(x-1)^{2}+(y+1)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x=1$ và $y=-1$

Thay lại hệ ta thấy không thoả mãn. Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Bài 489: $\left\{\begin{matrix} &4x^{2}y^{2}+8xy-3y^{2}=-1 \\ &6xy+4x+y=-3 \end{matrix}\right.$

Bài này ở trong báo THTT, đã hết hạn chưa vậy

Nếu có đáp án thì bạn đăng lên để mn cùng thảo luận

Bài 550: $\sqrt[3]{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}$

P/s: Triệu tập các thánh pt...

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Bài 524: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}-2y=xy-4x \\ &\sqrt{12x^{2}+3y+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-y} \end{matrix}\right.$

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

Một cách làm khác cho bài toán này.

Với những hệ kiểu gần đối xứng thế này ta thường cộng 2 phương trình lại với nhau để phân tích thành tổng các bình phương.

$(x-2y)(3x+8y)+(y-4x)(3y+2x)-2(2x+3y)\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16}=-16$

$\Leftrightarrow (2x+3y+\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16})^{2}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16}=-(2x+3y)$

Thay vào 2 phương trình ban đầu ta được hệ mới:

$\left\{\begin{matrix} &(x-2y)(5x+4y)=6 \\ &(y-4x)(3y+2x)=10 \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đẳng cấp cơ bản. Đến đây xin nhường cho các bạn.

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 366: $\begin{cases} & \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y} \\ & x^{2}+x+3y+17-6\sqrt{x+7}-2x\sqrt{3y+1}=0 \end{cases}$

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

ĐK: ...

PT(1)$\Leftrightarrow \frac{x-y-1}{\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}}=\frac{x-y-1}{\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1}}$

$\Leftrightarrow (x-y-1)(\frac{1}{\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1}})=0$

$\Leftrightarrow x-y-1=0$ hoặc $\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1}$(*)

Kết hợp pt(*) với pt(1) ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1} \\ &\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y} \end{matrix}\right.$

Trừ 2 pt vế theo vế: $\sqrt{x}-\sqrt{3y+1}=\sqrt{3y+1}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x-3y-1=0$

...

làm bài tương tự rồi sẽ hiểu

                                              $10\sqrt{x^{3}+1}=3x^{2}+6$ 

ĐK: $x\geq -1$

Pt$\Leftrightarrow 10\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}=3\left [ (x+1)+(x^{2}-x+1) \right ]$

Đặt $\sqrt{x+1}=a\geq 0, \sqrt{x^{2}-x+1}=b> 0$

$\Rightarrow 10ab=3(a^{2}+b^{2})$

Đây là pt đẳng cấp bậc 2...

Bài 131: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}(1+\dfrac{1}{x+y})=2 & & \\ \sqrt{7y}(1-\dfrac{1}{x+y})=4\sqrt{2} & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y\geq 0$

+) $x=y=0$ ko là nghiệm của hệ

+) $x,y> 0$

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}} \\ &1-\frac{1}{x+y}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \\ &\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1}{x+y}=(\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})(\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})=\frac{1}{3x}-\frac{8}{7y}$

$\Leftrightarrow (4x+7y)(6x-y)=0$

Mà $4x+7y> 0$(vì $x,y> 0$)$\Rightarrow 6x-y=0$

Đến đây dễ rồi

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} &5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 \\ &\frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 69: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 118: $\sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}}=\frac{\sqrt{1+x^{2011}}-\sqrt{1-x^{2011}}}{\sqrt{1+x^{2011}}+\sqrt{1-x^{2011}}}$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 124: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x^{2}+3x-y}=\sqrt{y^{2}+4x}+x+1 \\ &y^{2}-3x-3+\sqrt{x+y}=\sqrt{x-4} \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 139: $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}+\sqrt[n]{\frac{a-x}{a+x}}=\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}+\sqrt[n]{\frac{b-x}{b+x}}(a,b> 0)$(đã hoàn thành)

Bài 153: $\left\{\begin{matrix} &2y^{2}-3y+1+\sqrt{y-1}=x^{2}+\sqrt{x}+xy \\ &\sqrt{2x+y}-\sqrt{-3x+2y+4}+3x^{2}-14x-8=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 159: $x+\sqrt{x-1}=3+\sqrt{2x^{2}-10x+16}$(đã hoàn thành)

Bài 160: $6\sqrt{x^{2}+5}+12\sqrt[3]{x^{2}+3x+2}=3x^{2}-x+32$ 

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 162: $\left\{\begin{matrix} &3\sqrt{xy}(2x+3y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-15xy \\ &\frac{1}{12x\sqrt{y}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{10}{3}-2\sqrt{xy}-18y\sqrt{x} \end{matrix}\right.$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$ 

Bài 165: $\sqrt{x^{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-\frac{2}{3}}}=x$(đã hoàn thành)

Bài 167: $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\geq \frac{35}{12}$(đã hoàn thành)

Bài 168: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}=9 \\ &\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-2}=3 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 169: $\left\{\begin{matrix} &abc=1 \\ &\sum \sqrt{a^{2}+1}=\sqrt{2}(a+b+c) \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 177: $\left\{\begin{matrix} &x^{4}y+\frac{1}{y}+x^{2}-7y=0 \\ &x^{3}y+x^{3}+x-5xy=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 181: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2x^{2}+2x+1$

Bài 182: $\sqrt[3]{7x-1}-\sqrt[3]{x^{2}-x-8}+\sqrt[3]{x^{2}-8x+1}=2$(đã hoàn thành)

Bài 101: $\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

Đk: $x\geq 0$

Ta có:

$(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x})^{2}=(2\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+1}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}})^{2}\leq (8+x+1)(\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1})=x+9$

$\Rightarrow VT\leq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$(TM)

Bài 54: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}-\sqrt[3]{x^{3}-5x+1}= 2x+2$

Bài 55: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}=0$

Up lại 1 số bài chưa có lời giải trong box PT, HPT:

Bài 34: $\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}=\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}$ (Nidalee Teemo)

Bài 227: $x^{2}+\sqrt{2x-3}=5x-5$

Bài 228: $2(x-2)(\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5})=3x-1$

Bài 242 : Tuyển sinh chuyên Thái Bình 2013-2014 
Giải phương trình : 
$\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}-\sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}=\sqrt{x+2013}-\sqrt[3]{x+1}$ 

ĐK: $2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}\geq 0, x\geq -2013, x\neq \pm \sqrt{2}$

Đặt $\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=a, \sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=b, \sqrt{x+2013}=c, \sqrt[3]{x+1}=d$ $\Rightarrow a^{2}+b^{3}=c^{2}+d^{3}\Leftrightarrow (a-c)(a+c)+(b-d)(b^{2}+bd+d^{2})$

Vì $a-b=c-d$(theo gt)$\Rightarrow a-c=b-d$

Mà $a+c+b^{2}+bd+d^{2}> 0\Rightarrow a-c=b-d=0$

Đến đây dễ rồi

P/s: I Love MC đánh lại STT bài đi em.

Bài 378:Giải bất phương trình sau:$\sqrt{9x^{2}+3}+9x-1\geq \sqrt{9x^{2}+15}$

Bpt$\Leftrightarrow 9x-1\geq \sqrt{9x^{2}+15}-\sqrt{9x^{2}+3}$(ĐK: $x> \frac{1}{9}$)

$\Leftrightarrow \left [ \sqrt{9x^{2}+15}-(3x+3) \right ]-(\sqrt{9x^{2}+3}-2)\leq 9x-1-3x-3+2$

$\Leftrightarrow \frac{-6(3x-1)}{\sqrt{9x^{2}+15}+3x+3}-\frac{(3x-1)(3x+1)}{\sqrt{9x^{2}+3}+2}\leq 2(3x-1)$

$\Leftrightarrow (3x-1)(2+\frac{6}{\sqrt{9x^{2}+15}+3x+3}+\frac{3x+1}{\sqrt{9x^{2}+3}+2})\geq 0$

Vì phần trong ngoặc luôn dương với $x> \frac{1}{9}\Rightarrow x\geq \frac{1}{3}(TM)$

Câu 380:

hệ 3.jpg

Sao hpt mà được có 1 biến x vậy bạn?

Bài 371: $\begin{cases} & (1-y)\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=x+2y+3xy \\ & \sqrt{y+1}+\sqrt{x^{2}+2y^{2}}= 2y-x \end{cases}$

ĐK: $y\geq -1$

Pt(1)$\Leftrightarrow x^{2}+2y^{2}+(1-y)\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=x^{2}+2y^{2}+x+2y+3xy$

$\Leftrightarrow x^{2}+2y^{2}+(1-y)\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=(x+2y)(x+y+1)$

Đặt $\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=a, x+2y=b, x+y+1=c\Rightarrow 1-y=c-b$

Khi đó ta có: $a^{2}+a(c-b)=bc$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+c)=0$

...

Bài 255: $\sqrt{-4x^{4}y^{2}+16x^{2}y+9}-\sqrt{y^{2}x^{2}-2y^{2}}=2(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

Bài 10* : Giải phương trình sau:

$$\sqrt{x^{3}-2x^{2}+x-2}+(x+1)\sqrt{x^{3}+x^{2}-x-2}=2(x^{2}+x-1)$$