Bạn đã xác định tường minh cho $\alpha_n$ chưa? Từ hệ thức truy hồi này suy ra được $D_n$.

 

($\alpha_n$ phụ thuộc vào một vài/ tất cả $a_i, x.$)

mk k biết làm mấy dạng bài truy hồi này , nên bạn chỉ rõ cho mk đc k ?

Bạn đã xác định tường minh cho $\alpha_n$ chưa? Từ hệ thức truy hồi này suy ra được $D_n$.

 

($\alpha_n$ phụ thuộc vào một vài/ tất cả $a_i, x.$)

$\alpha$_n = X²+(-1)²⁺²ⁿ.a₁.a_n

Ký hiệu không ổn! Giới hạn theo biến nào?

đề bài cho như vậy bạn ạ

Giả sử tự đồng cấu $\varphi$ có $n$ giá trị riêng khác nhau là $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$,..., $\lambda_{n}$. Như vậy $\varphi$ tương ứng cũng sẽ có $n$ vector riêng khác nhau là $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$,..., $\alpha_{n}$. Theo một kết quả quen thuộc thì ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) độc lập tuyến tính nên hệ này chính là cơ sở của không gian $V$.

Ta có $\varphi(\psi(\alpha_{1}))=\psi(\varphi(\alpha_{1}))=\psi(\lambda_{1}\alpha_{1})=\lambda_{1}\psi(\alpha_{1})$. Như vậy $\psi(\alpha_{1})$ chính là một vector riêng của $\varphi$ ứng với giá trị riêng $\lambda_{1}$.

Giờ ta giả sử có một biểu thị tuyến tính: $\psi(\alpha_{1})=a_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\alpha_{n}$. Như vậy $\varphi(\psi(\alpha_{1}))=a_{1}\varphi(\alpha_{1})+...+a_{n}\varphi(\alpha_{n})=a_{1}\lambda_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\lambda_{n}\alpha_{n}$ và $\varphi(\psi(\alpha_{1})=\lambda_{1}(a_{1}\alpha_{1}+...+a_{n}\alpha_{n})$. Vì ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) là một cơ sở của $V$ nên ta phải có $a_{i}\lambda_{i}=a_{i}\lambda_{1}$ với mọi $i=\overline{1,n}$. Vì $\lambda_{1}\neq \lambda_{i}$ với mọi $i\neq 1$ nên ta suy ra $a_{i}=0$ với mọi $i\neq 1$. Do đó $\psi(\alpha_{1})=a_{1}\alpha_{1}$. Như vậy $\alpha_{1}$ chính là vector riêng của $\psi$. Tương tự suy ra $\alpha_{i}$ là vector riêng của $\psi$ với mọi $i$. Đó là đpcm. Giờ chú ý rằng ta đã có ($\alpha_{1}$,..., $\alpha_{n}$) là cơ sở của $V$ nên mệnh đề còn lại là hiển nhiên. 

thank b nhiều nhé !

Đặt 

 $D_n(a_1, ..., a_n)=\begin{vmatrix} -x & 0 & 0 & ... &0 &a_{1} \\ 0 & -x & 0 & ... &a_{2} &0 \\ . & . & . & ... & .&. \\ 0&a_{n-1}&0&...&-x&0\\ a_{n}&0 & 0 &... &0 &-x \end{vmatrix}.$

Khai triển theo dòng 1, rồi tiếp tục khai triển một lần nữa cho định thức bên trong, ta có

$$D_n(a_1, ..., a_n)= \alpha_nD_{n-2}(a_2, ..., a_{n-1}).$$

xong rồi làm thế nào nữa hả b ?

mọi người giúp mk với ạ !

mọi người giúp mk với ạ ! thank all

$\begin{vmatrix} -X & 0 & 0 & ... &0 &a_{1} \\ 0 & -X & 0 & ... &a_{2} &0 \\ . & . & . & ... & .&. \\ 0&a_{n-1}&0&...&-X&0\\ a_{n}&0 & 0 &... &0 &-X \end{vmatrix}$

mọi người giúp mk với ạ

Bạn chỉ cần dùng thuật toán tìm giá trị riêng và vector riêng thôi.

Ví dụ ở câu a), xét đa thức đặc trưng: $P_{A}(X)=det(A-XE_{n})=\begin{vmatrix} 1-X & 0 & 0 &0 \\ 0 & -X & 0 &0 \\ 0 & 0 &-X &0 \\ 1 & 0 & 0 & 1-X \end{vmatrix}=(1-X)^2.(-X)^2-1.\begin{vmatrix} 0 & 0 &0 \\ -X& 0 & 0\\ 0 & -X & 0 \end{vmatrix}=(1-X)^2(-X)^2$

Như vậy đa thức đặc trưng có bốn nghiệm $X_{1,2}=1$ và $X_{3,4}=0$.

Với giá trị riêng $X_{1,2}=1$, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 0x_{1} + 0x_{2} +0x_{3}+ 0x_{4}= &0 \\ 0x_{1}- 1x_{2} +0x_{3} +0x_{4}= &0 \\ 0x_{1} +0x_{2} - 1x_{3}+ 0x_{4}= &0 \\ 1x_{1}+ 0x_{2} + 0x_{3} + 0x_{4}= &0 \end{matrix}\right.$

Hệ này có các nghiệm là $(0,0,0,t)$ nên các vector riêng ứng với giá trị riêng này trong cơ sở $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ nào đó là $te_{4}$ với $t\neq 0$

Phần còn lại làm tương tự

x₄ tự do , mk gọi nó là t cũng đc à ?

Có nghĩa là $\psi$ giao hoán với $\varphi$. $\varphi \psi=\psi \varphi$. Cụ thể hơn là $\varphi(\psi(\alpha))=\psi(\varphi(\alpha))$ với mọi vector $\alpha$

b làm cho mk bài này với : CMR nếu tự đồng cấu $\varphi$ của không gian vecto n chiều V có n giá trị riêng khác nhau và $\psi$ là một tự đồng cấu giao hoán với $\varphi$ thì mỗi vecto riêng của $\varphi$ cũng là một vecto riêng của $\psi$ và $\psi$ có một cơ sở gồm toàn vecto riêng của nó

$\varphi$ là tự đồng cấu ,cho mk hỏi  $\psi$ là một tự đồng cấu giao hoán của $\varphi$ nghĩa là sao ạ ?

m.n giúp với
tìm giá trị riêng và vecto riêng của các tự đồng cấu có ma trận sau đây trong 1 cơ sở nào đó của không gian :

a) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0&0 & 0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 1& 0 &0 & 1 \end{pmatrix}$ 

b)$\begin{pmatrix} 3 &-1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 &0 \\ 3& 0 & 5 & -3\\ 4 &-1 &3 & -1 \end{pmatrix}$

Không nên áp dụng rập khuôn như thế. Ở bài này công thức là $D_{k}=D_{k-1}+a_{n-k}$ với $k=\overline{2,n}$. Công thức kia chỉ là một kiểu truy hồi thôi. 

ok ! mà còn công thức nào khác nữa không vậy ?

Chuyện này hiển nhiên, theo đúng định nghĩa của cơ sở chính tắc.

$e'_{i}=\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$, trong đó $1$ ở vị trí thứ $i$.

ok !thank b 

Bạn nên nói rõ hơn bạn chưa hiểu ở chỗ nào để mình có thể giải thích rõ ràng.

Cái bạn cần là đọc lại khái niệm ma trận của ánh xạ tuyến tính, sau đó thực hành tính toán thôi.

Định nghĩa ma trận ánh xạ tuyến tính: Cho $V$, $W$ là các không gian vector và $f:V\to W$ là một ánh xạ tuyến tính. Giả sử hệ $\alpha_{1}, \alpha_{2},..., \alpha_{n}$ là cơ sở của $V$ và $\beta_{1},..., \beta_{m}$ là cơ sở của $W$. Như vậy ta có một biểu diễn tuyến tính:

$f(\alpha_{j})=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\beta_{i}$

Khi đó ma trận của ánh xạ $f$ đối với cặp cơ sở nói trên là $A=(a_{ij})_{m\times n}$. Nói một cách trực quan, là ta viết các tọa độ của $f(\alpha_{j})$ trong cơ sở $\beta_{1},..., \beta_{m}$ dưới dạng cột, rồi ghép các cột đó lại thì sẽ được ma trận $A$.

Trở lại bài toán, gọi $e_{1},..., e_{n}$ là cơ sở chính tắc của $K^n$, $e'_{1},...,e'_{m}$ là cơ sở chính tắc của $K^m$. Nhắc lại rằng $e_{i}=\begin{pmatrix} 0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$, trong đó $1$ ở vị trí thứ $i$.

Ta có:

$\tilde{A}(e_{i})=Ae_{i}=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ a_{i1} & \cdots &a_{ii} &\cdots &a_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots &\cdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mi} & \cdots &a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{mi}\\ \end{pmatrix}=\sum_{j=1}^{m}a_{ji}e'_{i}$

Từ đó áp dụng định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính thì bạn có ngay đpcm. Cụ thể hơn là tọa độ cột của $\tilde{A}(e_{i})$ trong cơ sở chính tắc của $K^m$ là \begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{mi}\\ \end{pmatrix}.

Ghép các cột này lại sẽ được ma trận $A$. 

Cho mình hỏi là tại sao 

Vì bạn viết sai thôi. Ta có $D_{n}=D_{n-1}+a_{1}=D_{n-2}+a_{2}+a_{1}=...=D_{1}+a_{n-1}+...+a_{1}=1+a_{n}+a_{n-1}+...+a_{1}$

mk thấy có công thức là D_n=p.D_n-1 + q.D_n-2 , nếu q=0 thì D_n= p^n-1.D₁ mà kia là  1.D_n-1 nên mình tưởng ra như vậy 

Không sai ở đâu cả, cứ truy hồi như vậy thì sẽ ra $1+a_1+...+a_{n}$ chính là kết quả bài toán.

nhưng mình có ra 1+a₁+...+a_n đâu ?!

Đề nghị bạn gõ đề bài bằng Latex nhé.

Bài toán này hoàn toàn không có gì khó. Giả sử $e_{1}, e_{2},..., e_{n}$ là cơ sở chính tắc của $K^{n}$, $e'_{1},..., e'_{m}$ là cơ sở chính tắc của $K^{m}$. Khi đó $\tilde{A}(e_{i})=Ae_{i}=(a_{ij})_{m\times 1}=\sum_{j=1}^{m}a_{ij}e'_{j}$. Từ đó suy ra ngay đpcm.

bạn nói rõ hơn được không ? mình vẫn chưa hiểu lắm 

bạn nói rõ hơn được không ? mình vẫn chưa hiểu lắm

$\begin{vmatrix} 1+a_{1} &a_{2} & ... & a_{n}\\ a_{1}& 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ .& . & ... & .\\ a_{1}& a_{2} &... & a_{n} \end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix} 1 & a_{2}& ... & a_{n}\\ 0& 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ .& . & ... &. \\ 0&a_{2} & ... &1+a_{n} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ a_{1} & 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ . & . & ... & .\\ a_{1}& a_{2} & ...& 1+a_{n} \end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix} 1+a_{2} & a_{3}& ... & a_{n}\\ a_{2}& 1+a_{3} & ... & a_{n}\\ .& . & ... &. \\ a_{2}& a_{3} & ... & 1+a_{n} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0& 1 & ... &0 \\ .& . & ...& .\\ 0& 0&... & 1 \end{vmatrix}$=D_n-1+a₁=1+2a₁

_{làm thế này thì sai ở đâu ạ ?}

$\begin{pmatrix} a^{2} & ab & ab &b^{2} \\ ab & a^{2} & b^{2}& ab\\ ab& b^{2}& a^{2} & ab\\ b^{2}&ab & ab &a^{2} \end{pmatrix}$

$\rightarrow$ ...$\rightarrow$ $\begin{pmatrix} a^{2} & ab & ab &b^{2} \\ 0 & a^{2}-b^{2} &0 & \frac{b}{a}(a^{2}-b^{2})\\ 0 & 0 & a^{2}-b^{2} &\frac{b}{a}(a^{2}-b^{2}) \\ 0& 0 & 0 & a^{2}-b^{2} \end{pmatrix}$

TH1 : a=b hoặc a=-b suy ra rankA=1

TH2: a$\neq$b hoặc a$\neq$-b suy ra rankA= 4

_ với k= -1

hàng bổ sung có dạng     

( a    b   $\frac{21a-15b-16d}{4}$     d  )

_ với k $\neq$ -1 

hàng bổ sung là mọi hàng có dạng khác hàng trên 

bài làm như thế này nhưng đến dòng cuối mình cũng không biết đúng không nữa 

có D_n=p.D_n-1 suy ra D_n= p^n-1.D₁

mình không chắc D₁ có phải vậy không !

bạn nào biết cho mình ý kiến với ạ ! 

Cho A=(a_ij)_mxn c M(mxn, K)

Xét ánh xạ tuyến tính 

à : Kⁿ -> K^m

          ^{x -> Ax}

Chứng minh rằng ma trận của à đối với cặp cơ sở chính tắc của Kⁿ và K^m chính là ma trận A.