Ta có+y=4-z;xy=[tex:075c4d240b]frac{2}{z}[/tex:075c4d240b]
Như vậy:[tex:075c4d240b](4-z)^2 ge frac{8}{z}[/tex:075c4d240b]
<==>[tex:075c4d240b]3-sqrt{5}<=z<=2 [/tex:075c4d240b]hoặc[tex:075c4d240b] z>=3+sqrt{5}[/tex:075c4d240b]
==> x,y,z>0
do đó: [tex:075c4d240b]3-sqrt{5}<=x,y,z<=2 [/tex:075c4d240b]
==> [tex:075c4d240b]3(3-sqrt{5})^2<=q=xy+yz+zx<=12[/tex:075c4d240b]
Ta có:[tex:075c4d240b]p= x^4+y^4+z^4=2(q^2-32q+32784)[/tex:075c4d240b]
Khảo sát hàm trên [3(3-[tex:075c4d240b]sqrt{5})^2[/tex:075c4d240b],12], ta được p đạt min tại q=12 và max tại q=3(3-[tex:075c4d240b]sqrt{5}[/tex:075c4d240b])

Vậy minp=65088, maxp=65244+84[tex:075c4d240b]sqrt{5}[/tex:075c4d240b]

OK=SM
SM.SA=SN.SB
SB=căn3.a

<==> (bình phương 2 vế)

bđt Gerretsen:

Các công thức này sẽ giúp ta giải được nhiều bài bđt trong tam giác có tính đối xứng, bằng cách chuyển về p,R,r và áp dụng bđt Gerretsen

a,b,c là nghiệm của:
$t^3-2pt+(p^2+r^2+4Rr)t-4pRr=0$

$\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{p^2+4Rr+r^2}{4pRr}.t^2+\dfrac{1}{2Rr}.t-\dfrac{1}{4pRr}=0$

x=p-a,y=p-b,z=p-c là nghiệm của:
$t^3-pt^2+r(4R+r)t-pr^2=0$

$\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{4R+r}{pr}.t^2+\dfrac{1}{r^2}.t-\dfrac{1}{pr^2}=0$

$h_a,h_b,h_c$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{p^2+r^2+4Rr}{2R}.t^2+\dfrac{2p^2r}{R}.t-\dfrac{2p^2r^2}{R}=0$

$t^3-\dfrac{1}{r}.t^2+\dfrac{p^2+r^2+4Rr}{4p^2r^2}.t-\dfrac{2R}{4p^2r^2}=0$

$t^3-(4R+r)t^2+p^2t-p^2r=0$

$\dfrac{1}{r_a},\dfrac{1}{r_b},\dfrac{1}{r_c}$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{1}{r}t^2+\dfrac{4R+r}{p^2r}.t-\dfrac{1}{p^2r}=0$

sinA,sinB,sinC là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{p}{R}t^2+\dfrac{p^2+r^2+4Rr}{4R^2}t-\dfrac{pr}{2R^2}=0$

$\dfrac{1}{sinA},\dfrac{1}{sinB},\dfrac{1}{sinC}$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{p^2+r^2+4Rr}{2pr}t^2+\dfrac{2R}{r}t-\dfrac{2R^2}{pr}=0$

cosA,cosB,cosC là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{R+r}{R}t^2+\dfrac{p^2+r^2-4R^2}{4R^2}t+\dfrac{(2R^2+r)^2-p^2}{4R^2}=0$

$sin^2\dfrac{A}{2},sin^2\dfrac{B}{2},sin^2\dfrac{C}{2}$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{2R-r}{2R}t^2+\dfrac{p^2+r^2-8Rr}{16R^2}t-\dfrac{r^2}{16R^2}=0$

$t^3-\dfrac{p^2+r^2-8Rr}{r^2}t^2+\dfrac{8R(2R-r)}{r^2}t-\dfrac{16R^2}{r^2}=0$

cotgA,cotgB,cotgC là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{p^2-r^2-4Rr}{2pr}t^2+t+\dfrac{(2R+r)^2-p^2}{2pr}=0$

tgA,tgB,tgC là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{2pr}{p^2-(2R+r)^2}t^2+\dfrac{p^2-4Rr-r^2}{p^2-(2R+r)^2}t-\dfrac{2pr}{p^2-(2R+r)^2}=0$

$tg\dfrac{A}{2},tg\dfrac{B}{2},tg\dfrac{C}{2}$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{4R+r}{p}t^2+t-\dfrac{r}{p}=0$

$cotg\dfrac{A}{2},cotg\dfrac{B}{2},cotg\dfrac{C}{2}$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{p}{r}t^2+\dfrac{4R+r}{r}t-\dfrac{p}{r}=0$

$tg^2\dfrac{A}{2},tg^2\dfrac{B}{2},tg^2\dfrac{B}{2}$ là nghiệm của:
$t^3+\dfrac{2p^2-(4R+r)^2}{p^2}t^2+\dfrac{p^2-8Rr-2r^2}{p^2}t-\dfrac{r^2}{p^2}=0$

$cotg^2\dfrac{A}{2},cotg^2\dfrac{B}{2},cotg^2\dfrac{B}{2}$ là nghiệm của:
$t^3-\dfrac{p^2-8Rr-2r^2}{r^2}t^2-\dfrac{2p^2-(4R+r)^2}{r^2}t-\dfrac{p^2}{r^2}=0$

Bất đẳng thức Gerretsen:
$r(16R-5r) <= p^2 <= 4R^2+4Rr+3r^2$

bài nữa nhé:cho x,y>0, cm:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^y+y^x>1

gợi ý nhé cm AIP~DIQ và xét 2 tứ giác nội tiếp MIOP và INQO

Chào các bạn, tớ mới gia nhập vào diễn đàn mới từ hôm qua (29/12/2004). Vừa vào thấy lạ quá, đặc biệt không có phần xem bài viết mới thì thật khó khăn.