Còn cách không dùng đến đạo hàm đó

Bài này Đạt post cách không dùng đạo hàm của em lên nhé. .
Ngoài cách ở trêna,anh có 2 cách khác nhưng vẫn dùng tới đạo hàm.
Cách 1:
Khảo sát hàm :\[f(x) = \dfrac{x}{{{x^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln x\]
Hàm này đạt cực đại tại $x = 1$.
Ta suy ra được : \[f(x) \le f(1) = \dfrac{1}{4}\]
Tương tự với 2 biểu thức còn lại rồi cộng ba bđt cùng chiều ta được:\[\dfrac{x}{{{x^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln x + \dfrac{y}{{{y^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln y + \dfrac{z}{{{z^2} + 3}} - \dfrac{1}{8}\ln z \le \dfrac{3}{4}\]
Suy ra đpcm do \[\ln x + \ln y + \ln z = 0\].
Cách 2:
Theo BĐT AM-GM ta có: \[\sum {\dfrac{a}{{{a^2} + 3}}} \le \sum {\dfrac{a}{{2a + 2}}} \]
Ta sẽ Chứng minh:
\[\sum {\dfrac{a}{{2a + 2}}} \le \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \sum {\dfrac{a}{{a + 1}}} \le \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sum {\dfrac{1}{{a + 1}}} \ge \dfrac{3}{2}\]
Đến đây anh dùng đạo hàm, không biết Đạt làm ntn?

Đây là 2 bài trong Thử sức trước kì thi của THTT

Bài 84:
Cho 2 số thực $x,y$ thỏa mãn: ${x^2} + y{}^2 = 4$
Tìm GTNN của:
\[P = \sqrt {5 - 2x} + \sqrt {54 - 2x - 14y} \]


Bài 85
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn:$xy + yz + xz \le 3$
Chứng minh rằng:
\[\dfrac{2}{{\sqrt {xyz} }} + \dfrac{{27}}{{(2x + y)(2y + z)(2z + x)}} \ge 3\]

Xin phép chỉnh lại đề 47:

Bài 47 (Một BĐT nhẹ nhàng)

Cho $a;b;c;x;y;z \ge 0$ thỏa mãn: $a + x = b + y = c + z=k$
Tìm Max của:
$P=ax + by + cz$

Bài 66:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh bất đẳng thức:
$
\dfrac{a}{a^{2}+3}+\dfrac{b}{b^{2}+3}+\dfrac{c}{c^{2}+3}\leq \dfrac{3}{4}$

Bài làm
Ta có: \[abc = 1 \Leftrightarrow \ln a + \ln b + \ln c = 0\]
Đặt :$\ln a = x;\ln b = y;\ln c = z \Rightarrow x + y + z = 0$
Khi đó: \[VT = \dfrac{{{e^x}}}{{{{({e^x})}^2} + 3}} + \dfrac{{{e^y}}}{{{{({e^y})}^2} + 3}} + \dfrac{{{e^z}}}{{{{({e^z})}^2} + 3}}\]

Xét : $f(x) = \dfrac{{{e^x}}}{{{{({e^x})}^2} + 3}}$( hàm lõm)

Theo BĐT tiếp tuyến ta có: $f(x) \le f'({x_0}).(x - {x_0}) + f({x_0})$
Với ${x_0} = 0$ ta có :\[f(x) \le f'(0).(x - 0) + f(0) = \dfrac{1}{8}x + \dfrac{1}{4}\]
Làm tương tự rồi cộng các BĐT cùng chiều ta được:

$f(x) + f(y) + f(z) \le \dfrac{1}{8}(x + y + z) + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi $x = y = z = 0 \Leftrightarrow a = b = c = 1$

Lâu lắm mới post bài.
Bài 60:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2(ab + ac + bc)\]

P/s: Đây là một Bất đẳng thức có thể ứng dụng rất hay.

Mọi người nhớ ghi số bài nhé. Làm xong nhớ post 1 bài để lại để Topic hoạt động .
Phê bình Đạt nhá .
Xin phép post một số bài cho anh em chém. Có kinh nghiệm gì chia sẻ luôn nhé. Cứ chém không buồn lắm .
Bài 97:
Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{{a^4} + {b^4} + {c^4} + abcd}} + \frac{1}{{{b^4} + {c^4} + {d^4} + abcd}} + \frac{1}{{{c^4} + {d^4} + {a^4} + abcd}} + \frac{1}{{{d^4} + {a^4} + {b^4} + abcd}} \le \frac{1}{{abcd}}\]
Bài 98
Cho $x,y>1$.Tìm GTNN của:
\[P = \frac{{\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}\]
Bài 99:
Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$
Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a^3}}}{{{b^2} + 3}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} + 3}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} + 3}} \ge \frac{3}{4}\]
Bài 100: (mốc son)
Cho $x,y,z$ là các số không âm. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + yz + {z^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + zx + {x^2}}} + \frac{{4xyz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)}} \le \frac{3}{2}\]
( câu này em chịu )

Mọi người nhiệt liệt ủng hộ Topic tròn 100 bài nhé!

Post một số bài nên cho anh em chém nhá. Cảm ơn mọi người đã tham gia Topic trong thời gian qua.
Bài 116:
Cho các số $a,b,c$ dương thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = 6 \\
{a^2} + {b^2} + {c^2} = 14 \\
\end{array} \right.$
Tìm GTLN,GTNN của $P = \frac{{4a + b}}{c}$
Bài 117:
Chứng minh rằng:

\[\frac{{\sin x + 2\cos \frac{x}{2}}}{{\cos x + 2\sin \frac{x}{2}}} \ge 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2},\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]

Bài 118:
Cho $2x-y=2$. Chứng minh rằng:

\[\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} \]

Bài 119:
Cho $x,y \ge 0;{x^3} + {y^3} = 1$
Tìm giá trị lớn nhất của: \[P = \sqrt x + 2\sqrt y \]

Lời giải :
Ta dễ dàng nhận ra , đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất cua ba bất đẳng thức nhỏ :

$A = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} ( Nesbit )$
$B=\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} =\frac{1}{2}$
$C=\frac{c^3}{b+c}+\frac{a^3}{c+a}+\frac{b^3}{a+b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+c^2+ac+a^2+ab+b^2}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ $\geq \frac{a+b+c}{6}=\frac{1}{6}$
$A+B+C=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh

$a,b,c$ đã dương đâu mà áp dụng như vậy. Xem lại nhé!

Lâu lắm không làm BĐT ở đây, dạo này cũng hơi bận . Cảm ơn Huy và Kiên cùng mọi người đã duy trì topic.
Xin góp vài bài.
Bài 172: ( Bài này chắc cũng quen nhưng chế đi tí )
Cho $a,b,c>0;a+b+c=k$ với $k$ là số thực.
Tìm GTNN của biểu thức: \[P = \frac{{a + 1}}{{{b^2} + 1}} + \frac{{b + 1}}{{{c^2} + 1}} + \frac{{c + 1}}{{{a^2} + 1}}\]
Bài 173: (Sưu tầm )
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
\[3m < a + b + c - \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < a + b + c + \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < 3M\]
Trong đó: $m = Min\{ a,b,c\} ;M = Max\{ a,b,c\} $

Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz và AM-GM ta có:
\[a\sqrt b + b\sqrt c + c\sqrt a \le \sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + ac + bc} \right)} = \sqrt {ab + ac + bc} \le \sqrt {\frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
Dấu $=$ khi $a=b=c=1/3$

Bài 130. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $xyz = 1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x^9 + y^9}{x^6 + x^3y^3 + y^6} + \dfrac{y^9 + z^9}{y^6 + y^3z^3 + z^6} + \dfrac{z^9 + x^9}{x^6 + z^3x^3 + x^6} \ge 2$$

Đặt ${x^3} = a,{y^3} = b,{z^3} = c$ suy ra $abc=1$
BĐT tương đương:$\sum {\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \ge 2$
Giả sử:
$$\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{1}{3}\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {a + b} \right) \ge 0$$
Do $a,b >0$ nên giả sử đúng!
Suy ra:
$$\sum {\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \ge \sum {\left( {\frac{1}{3}\left( {a + b} \right)} \right)} = \frac{2}{3}\left( {a + b + c} \right) \ge \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{{abc}} = 2$$

P/s: Huy và Kiên quản lý hộ anh Topic này nhé. Bài nào chưa ai làm có thể bôi đỏ số bài cho dễ nhìn. . Cảm ơn 2 em!

Sẽ không có gì đáng bàn lắm trong TH a,b,c là các số thực vì
$VT \ge 9(\left| {ab} \right| + \left| {bc} \right| + \left| {ca} \right|) \ge VP$

Cậu nêu cách chứng minh rõ ràng ra đi.Mình và mọi người đều muốn biết cách làm của Hoàng.
Viết vắn tắt như vậy có vẻ không hay cho lắm.
Topic cần những lời giải rõ ràng bạn ạ!
Thanks.

Thêm một BĐT nữa khá hay, mình đưa lên để mọi người cùng chém.

Bài 58:
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng:

$({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge 9(ab + ac + bc)$

P/s: Mọi người thử suy nghĩ trong trường hợp $a,b,c \in R$ nhé!

Cho x, y, z là các số thực không âm và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của hàm số $f(x,y,z) = x^n y + y^n z + z^n x\,\,,\,n \in N$.

----------------

KH�”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Cảm ơn em đã tham gia topic này.
Bài làm
Ta có:
$f(x,y,z) = {x^n}y + {y^n}z + {z^n}x = \underbrace {x.x.x...x}_n.y + \underbrace {y.y.y...y}_n.z + \underbrace {z.z.z...z}_n.x$
Áp dụng AM-GM cho n+1 số:

$f(x,y,z) \le \dfrac{1}{{n + 1}}(nx + y) + \dfrac{1}{{n + 1}}(ny + x) + \dfrac{1}{{n + 1}}(nz + x)$
$= \dfrac{1}{{n + 1}}.(n + 1)(x + y + z) = 1$

Vậy $Maxf = 1 \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{3}; n=1$

Nếu làm giống như bạn thì phải ra $\max f(x)=\dfrac{1}{3}$ mới đúng.
Mà làm như bạn cũng sai rồi.Với $n=2$ thì $\max f(x)=\dfrac{4}{27}$ khi $(x;y;z)=\left(0;\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3} \right)$ chứ không phải là $\dfrac{1}{3}$.

Ừ. Mình biết sai rồi , mình biết mình làm như thế là không đúng , mong mọi người tha thứ cho mình .
Vậy là còn 2 bài trong topic chưa giải:
Bài 1:

Tổng quát:Cho $n$ số thực dương $a_1;a_2;...;$.Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i} -\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^{n}a_{i}} \le \max \{(\sqrt{a_{i}}-\sqrt{a_{j}})^2 \};1 \le i \neq j \le n.$

P/s: Có khi bài này dark templar phải làm thui
Bài 2:

Cho x, y, z là các số thực không âm và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của hàm số $f(x,y,z) = x^n y + y^n z + z^n x\,\,,\,n \in N$.

Thêm một Bất đẳng thức nữa khá hay:
Đây là một câu trong đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2008-2009:
Bài 21:Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn :$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 9 \\ x \ge 5;x + y \ge 8 \\ \end{array} \right.$
Chứng minh rằng : $xyz \le 15$
(sơ sơ bài này cũng có 3 cách )

Dấu = xảy ra khi $n=1$
Với $n\ge 2$ thì dấu bằng ko thể xảy ra do $\dfrac{1}{2}\ne \dfrac{1}{3} $ (AM-GM)

Rất cảm ơn ý kiến của hoangduc. Bạn có thể post vài bài BĐT lên để mọi người cùng làm được không?
Thanks!

Tú không post bài thì để anh tiếp chiêu vậy.

Chứng minh rằng: $\forall n$ nguyên dương ta có:

$\sqrt[n]{{(n + 1)!}} \ge 1 + \sqrt[n]{{n!}}$
p/s:Có ai chém không?

Bài này do mình đọc được trong 1 cuốn sách nhưng rất tiếc không có lời giải.
Mình xin trình bày hướng giải quyết, tuy nhiên vẫn còn 1 số điểm trục trặc.
Giả sử: $\sqrt[n]{{(n + 1)!}} \ge 1 + \sqrt[n]{n}$
$ \Leftrightarrow 1 \ge \dfrac{1}{{\sqrt[n]{{(n + 1)!}}}} + \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}} $
Áp dụng BĐT AM-GM cho n số : $\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};...;\dfrac{1}{{n + 1}}$ ta được:
$\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{n + 1}}}}{n} \ge \sqrt[n]{{\dfrac{1}{{(n + 1)!}}}}{\rm{ (1)}}$
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM cho n số $\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};...;\dfrac{n}{{n + 1}}$ ta được:
$\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + ...\dfrac{n}{{n + 1}}}}{n} \ge \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}}{\rm{ }}(2)$
Cộng theo vế (1) ; (2) ta được:
$1 \ge \dfrac{1}{{\sqrt[n]{{(n + 1)!}}}} + \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}}$ (đpcm)
Vấn đề còn lại là dấu =... vẫn chờ mọi người giải quyết!!
Theo ý kiến của hoangduc mình xin phép bổ sung:
Dấu = xảy ra khi n=1

Túm lại là topic của chúng ta còn nhưng bất đẳng thức sau đang chờ. Mọi người cố gắng chém cho hết nhé. Bài ngày một khó rồi .
XIn phép tổng hợp những bài chưa có lời giải đề mọi người tiện theo dõi.
Bài 33. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng:

$( \sqrt{a}+\sqrt{b} +\sqrt{c} )( \dfrac{1}{ \sqrt{a+1} }+\dfrac{1}{ \sqrt{b+1} } +\dfrac{1}{ \sqrt{c+1} } ) \le \dfrac{9}{2}$

Bài 34. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.

Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 1$

Bài 35: Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\sum\limits_{cyc} {\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {a^2 + 8bc} }}} \right)} ^k \ge \dfrac{3}{{3^k }}\,\,\,,\,\,k = 0,8$.

P/s: Tại hạ tài hèn không đủ khả năng, mong các cao thủ chém hộ!

Bài viết bắt đầu lẻ tẻ và khá khó r�ồi đây.
Còn 3 bài chưa giải quyết triệt để. Mọi người cùng suy nghĩ nhé!
Bài 34. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.

Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 1$

Bài 38
Cho các số thực dương a,b,c .CMR:

$ (a+\dfrac{b^2}{c})^2 + (b+\dfrac{c^2}{a})^2+(c+\dfrac{a^2}{b})^2 \geq 12\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$

Bài 39: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^{4}+\dfrac{b^{4}}{2}+\dfrac{c^{4}}{2}}+\sqrt{b^{4}+\dfrac{c^{4}}{2}+\dfrac{a^{4}}{2}}+\sqrt{c^{4}+\dfrac{a^{4}}{2}+\dfrac{b^{4}}{2}}\geq \sqrt{a^{4}+b^{3}c}+\sqrt{b^{4}+c^{3}a}+\sqrt{c^{4}+a^{3}b}$

P/s: Mọi người hãy post lên cả những ý tưởng nhé!

Bài 53
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự ta phải chỉ phải chứng minh
$\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + 6}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}} \le 1$
Nhưng rõ ràng bất đẳng thức này có thể dễ dàng cm bởi AM-GM vậy ta có đpcm

Bạn Hoàng chứng minh rõ chỗ này cho mọi người cũng xem đi.
Thanks!

P/s: Bài này vẫn còn 1 cách nữa.

Tiện đây post thêm một số BĐT đối xứng đơn giản để mọi người chém nhiều cách.
Bài 53: ( HSG tỉnh Hải Dương vòng 2 năm 2009-2010 )
Cho $a,b,c$ là các số dương và $abc=1$.
Chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{{a + {b^4} + {c^4}}} + \dfrac{b}{{b + {c^4} + {a^4}}} + \dfrac{c}{{c + {a^4} + {b^4}}} \le 1$

Bài 54:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn : ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$
Chứng minh rằng:

$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} \ge \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}$

Bài 47 (Một BĐT nhẹ nhàng)
Cho $a;b;c;x;y;z \ge 0$ thỏa mãn: $a + x = b + y = c + z$
Chứng minh rằng:
$ax + by + cz \le 1$

Tiếp theo. Chúng ta sẽ thảo luận về BĐT AM-GM với bộ 3 số.

Bài 42
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng :

$a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$

Ta có thể chứng minh BĐT thông dụng trên bằng bao nhiêu cách ???
Hãy trình bày cẩn thận, rõ ràng cách chứng minh của các bạn.
Hy vọng Topic sẽ sôi động trở lại!

Bài 1 :
$ S = \sum \dfrac{ab}{a+b+2c} =\sum \dfrac{ab}{(a+b)+(b+c)} \leq \dfrac{1}{4}( \sum ( \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) =\dfrac{3}{4} $

Lâm có thể giải chi tiết hơn một chút cho mọi người dễ quan sát được không? Hộ mình nhé!