Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y)\,\forall x,\,y\in \mathbb{N}\,\text{và}\, x\geq y$$
namcpnh's Content
There have been 149 items by namcpnh (Search limited from 21-05-2020)
#700172 $f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y)\,\forall x,\,y\in \...
Posted by
on 12-01-2018 - 21:45
in
Phương trình hàm
#700171 Phương trình hàm rời rạc qua các kì thi Olympic
Posted by
on 12-01-2018 - 21:42
in
Phương trình hàm
Đề thi Nordic:
Bài 1) (P1 Nordic 2014)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y)\,\forall x,\,y\in \mathbb{N}\,\text{và}\, x\geq y$$
Bài 2) (P1 Nordic 2010)
Cho hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ không giảm thỏa mãn:
$f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi số $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh $f(8).f(13)\geq f(10)^2$
Bài 3) (P1 Nordic 1999)
Hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập các số nguyên không âm và thỏa mãn:
$f(n)=f(f(n+11))\,\forall n\leqslant 1999$
$f(n)=n-5\,\forall n>1999$
Tìm tất cả các giá trị $n$ để $f(n)=1999$.
Bài 4) (P4 Nordic 1997)
Xét hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập số nguyên không âm thỏa mãn:
$f(2x)=2f(x)$
$f(4x+1)=4f(x)+3$
$f(4x-1)=2f(2x-1)-1$
Chứng minh $f$ đơn ánh.
Bài 5) (P4 Nordic 1996)
Cho hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị thực, cho trước số nguyên $a$. Biết:
$f(a)=f(1995)$
$f(a+1)=f(1996)$
$f(a+2)=f(1997)$
$f(n+a)=\frac{f(n)-1}{f(n)+1}\,\forall n$
(i) Chứng minh $f(n+4a)=f(n)\,\forall n$
(ii) Tìm số $a$ nhỏ nhất.
#700169 Xác định tập giá trị của $f(x)$.
Posted by
on 12-01-2018 - 21:39
in
Phương trình hàm
Ta tính thử vài giá trị đầu:
$f(1)=1=1_3,\,f(2)=3f(1)=3=10_3,\,f(3)=f(2)+1=4=11_3,
f(4)=3f(2)=9=100_3,\, f(5)=f(4)+1=10=101_3$
Lại thấy: $1=1_2,\,2=10_2,\,3=11_2,\,4=100_2,\,5=101_2$
Do đó ta sẽ chứng minh mệnh đề sau: $f(n)=\overline{a_1a_2...a_k}_3$ với $n=\overline{a_1a_2...a_k}_2$ (1)
Thật vậy, với $n=1,\,2$ thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng $\forall n\leqslant m$, ta cần chứng minh (1) đúng với $n=m+1$.
Thật vậy, nếu $m+1$ chẵn, khi đó đặt $\frac{m+1}{2}=\overline{b_1b_2..b_l}_2\Rightarrow m+1=\overline{b_1b_2...b_l0}_2$
$\Rightarrow f(m+1)=3f(\frac{m+1}{2})=3.\overline{b_1b_2...b_l}_3=\overline{b_1b_2...b_l0}_3$
Nếu $m+1$ lẻ. Đặt $\frac{m}{2}=\overline{b_1b_2..b_l}_2\Rightarrow m=\overline{b_1b_2...b_l0}_2\Rightarrow m+1=\overline{b_1b_2...b_l1}$.
Khi đó $f(m+1)=3f(\frac{m}{2})+1=3.\overline{b_1b_2...b_l}_3+1=\overline{b_1b_2...b_l1}_3$
Vậy ta có đpcm, do đó tập các giá trị của $f$ là $S=\{\sum 3^i\}$
#700046 Xác định tập giá trị của $f(x)$.
Posted by
on 10-01-2018 - 21:23
in
Phương trình hàm
Xét hàm số $f(x)$ xác định và nhận các giá trị trên $\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$(i)f(1)=1$
$(ii)f(2n+1)=f(2n)+1$
$(iii)f(2n)=3f(n)$
Xác định tập giá trị của $f(x)$.
#700044 $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị j
Posted by
on 10-01-2018 - 21:21
in
Phương trình hàm
Giả sử hàm số $f$ thỏa mãn đề bài, gọi $S$ là tập hợp các số $a$ sao cho $a$ có dạng $2^b-1$ và $f(2^b-1)=0$
Nếu $S$ là tập hợp hữu hạn, gọi M là phần tử lớn nhất của S.
Khi đó $f(n+1)=f(n)-1\,\forall n\geq M+1$. Đặt $f(M+1)=t\Rightarrow f(M+2+t)=f(M+t+1)-1=...=f(M+1)-t-1=-1$, vô lý
Vậy $S$ là tập vô hạn.
Với mọi $n$, gọi $m$ là phần tử nhỏ nhất của $S$ sao cho $m\geq n$, khi đó $f(m)=0$.
Do $f(x+1)=f(x)-1\,\forall x \notin S$ nên $f(x)=f(x+1)+1\,\forall n\leqslant x\leqslant m$
$\Rightarrow f(n)=f(n+1)+1=f(n+2)+2=...=f(m)+m-n=m-n$
$\Rightarrow f(n)+n=m=2^l-1$ (do $m\in S$), ta có đpcm.
Gọi $l$ là số nhỏ nhất thuộc $S$ và lớn hơn $2^{1990}$.Đặt $l=2^h-1$.
Cmtt, ta có: $f(2^{1990})-2^{1990}=2^h-1\Rightarrow f(2^{1990})=2^h+2^{1990}-1$
#699971 $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị j
Posted by
on 09-01-2018 - 14:01
in
Phương trình hàm
Xét hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên không âm thỏa mãn:
a) $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị j
b)$f(n+1)=f(n)-1$ với các trường hợp còn lại.
i)Chứng minh với mọi $n\geq0$ thì tồn tại số $k\geq0$ sao cho $f(n)+n=2^k-1$
ii)Tính $f(2^{1990})$
#699970 $f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q...
Posted by
on 09-01-2018 - 13:59
in
Phương trình hàm
Giả sử hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q}$ (1)
$T_{(1)}(0,0)\Rightarrow f(0)=f(0)^2-f(0)+1\Rightarrow(f(0)-1)^2=0\Rightarrow f(0)=1$
$T_{(1)}(x,1)\Rightarrow f(x+1)=f(x)f(1)-f(x)+1\,\forall x$ (2)
$T_{(1)}(x,-x)\Rightarrow f(x)f(-x)=f(-x^2)\,\forall x$ (3)
$T_{(3)}(1)\Rightarrow f(1)f(-1)=f(-1)\Rightarrow f(1)=1\,\text{hay}\,f(-1)=0$
Nếu $f(1)=1$, (2)$\Rightarrow f(x+1)=1\,\forall x\Rightarrow f(x)=1\,\forall x$
Nếu f(-1)=0.
$T_{(1)}(x,-1)\Rightarrow f(x-1)=-f(-x)+1\,\forall x\Rightarrow f(-x)=1-f(x-1)$
Đặt $u_n=f(n)$, $f(1)=a$. Ta có: $u_{n+1}=u_n(a-1)+1$
Nếu $a\neq2:\Rightarrow u_n=a(a-1)^{n-1}+\frac{(a-1)^{n-1}-1}{a-2}\Rightarrow f(n)=a(a-1)^{n-1}+\frac{(a-1)^{n-1}-1}{a-2}\,\forall n\geq 1 $
Xét $x\in\mathbb{N}^*,\,x>1,\,\text{ta có:}\,f(x)f(-x)=f(-x^2)$
$\Rightarrow f(x)(1-f(x-1))=1-f(x^2-1)$
$\Rightarrow f(x)-f(x)f(x-1)=1-f(x^2-1)$
$\Rightarrow a(a-1)^{x-1}+\frac{(a-1)^{x-1}-1}{a-2}-(a(a-1)^{x-1}+\frac{(a-1)^{x-1}-1}{a-2}).(a(a-1)^{x-2}+\frac{(a-1)^{x-2}-1}{a-2})=1-a(a-1)^{x^2-1}-\frac{(a-1)^{x^2-1}-1}{a-2}$
Cho $x=2$, ta được:
$a(a-1)+\frac{a-1-1}{a-2}-(a(a-1)+\frac{a-1-1}{a-2}).(a+\frac{1-1}{a-2})=1-a(a-1)^3-\frac{(a-1)^3-1}{a-2}$
$\Rightarrow -a^4+3a^3-4a^2=-a^3+2a^2-2a+1$
$\Rightarrow a^4-4a^3+6a^2-2a+1=0$
$\Rightarrow (a^2-1)^2+(a-1)^2+a^2=0\,\text{(vô lý)}$
Vậy $a=2\, \Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$
Như vậy: $u_{n+1}=u_n+1$ và $u_1+2$
$\Rightarrow u_n=n+1$ hay $f(n)=n+1$ với mọi số nguyên dương $n$.
$\Rightarrow f(-n)=1-f(n-1)=-n+1$
Do $f(x+1)=f(x)+1$ nên $f(x+m)=f(x)+m$ với mọi số nguyên dương $m$.
Xét số $x=\frac{p}{q}$ với $p,\,q\in\mathbb{Z}^*,\,(p,q)=1$, ta có:
$T_{(1)}(\frac{p}{q},q)\Rightarrow f(q+\frac{p}{q})=f(q)f(\frac{p}{q})-f(p)+1$
$\Rightarrow f(\frac{p}{q})+q=(q+1)f(\frac{p}{q})-(p+1)+1$
$\Rightarrow f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$
Vậy $f(x)=x+1\,\forall x\in \mathbb{Q}$
#699966 Phương trình hàm rời rạc qua các kì thi Olympic
Posted by
on 09-01-2018 - 13:22
in
Phương trình hàm
Đề IberoAmerican:
Bài 1) (P1 IberoAmerican 1990) Xét hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên không âm thỏa mãn:
a) $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị j
b)$f(n+1)=f(n)-1$ với các trường hợp còn lại.
i)Chứng minh với mọi $n\geq0$ thì tồn tại số $k\geq0$ sao cho $f(n)+n=2^k-1$
ii)Tính $f(2^{1990})$
Bài 2) (P2 day 2 IberoAmerican 1989) Xét hàm số $f(x)$ xác định và nhận các giá trị trên $\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$(i)f(1)=1$
$(ii)f(2n+1)=f(2n)+1$
$(iii)f(2n)=3f(n)$
Xác định tập giá trị của $f(x)$.
#699696 $f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q...
Posted by
on 04-01-2018 - 21:03
in
Phương trình hàm
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q}$$
#699693 Phương trình hàm rời rạc qua các kì thi Olympic
Posted by
on 04-01-2018 - 21:01
in
Phương trình hàm
Khu vực Hungary-Israel Binational
Bài 1) P3 (Hungary-Israel Binational 1999) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q}$$
#699691 $\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(...
Posted by
on 04-01-2018 - 20:59
in
Phương trình hàm
Gọi $S$ là tập hợp các số $n$ sao cho $\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(1),f(2),...,f(n)\right \}$.
Dễ thấy: $ \forall a\neq b\,\text{thì} f(m)\neq f(n)$
Ta chứng minh: $f(k)=k\forall k$ (1).
Thật vậy, với $k=1$ thì (1) đúng. Giả sử (1) đúng $\forall m\leqslant k$, ta chứng minh $f(k+1)=k+1$.
Xét $n\in S$ sao cho $n\geq k+1$.
Gọi $t$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $(k+1)^t<n\Rightarrow (k+1)^{t+1}\geq n$.
Giả sử $f(k+1)>k+1$, khi đó:
Do $(k+1)^t<n$ nên $f(k+1)^t\leqslant n\leqslant (k+1)^{t+1}$
$\Rightarrow (\frac{f(k+1)}{k+1})^t\leqslant k+1$
Cho $n\rightarrow \infty\Rightarrow t\rightarrow \infty$, mà $\frac{f(k+1)}{k+1}>1\Rightarrow(\frac{f(k+1)}{k+1})^t\rightarrow \infty$ (vô lý do $(\frac{f(k+1)}{k+1})^t\leqslant k+1$)
Vậy ta có (1) đúng với mọi k hay $f(n)=n\,\forall n$.
#699690 $f(xy).gcd(f(x)f(y),f(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y}))=xyf(\fr...
Posted by
on 04-01-2018 - 20:57
in
Phương trình hàm
Đây là Benelux 2017
Chính xác rồi em, nằm trong dự án này của mình.
#699482 $\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(...
Posted by
on 02-01-2018 - 21:27
in
Phương trình hàm
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+\Rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$1)f(mn)=f(m)f(n)\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
$2)\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(1),f(2),...,f(n)\right \}$ với vô số số nguyên dương $n$
#699479 Phương trình hàm rời rạc qua các kì thi Olympic
Posted by
on 02-01-2018 - 21:22
in
Phương trình hàm
Đề thi European Mathematical Cup:
Bài 1) (P4 European Mathematical Cup 2014) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+\Rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$1)f(mn)=f(m)f(n)\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
$2)\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(1),f(2),...,f(n)\right \}$ với vô số số nguyên dương $n$
#699475 Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m...
Posted by
on 02-01-2018 - 21:09
in
Phương trình hàm
Dễ thấy nếu $k=3$ thì ta xét hàm số :
$f(n)=\frac{n}{3}, khi\;n\equiv 0$(mod3) và
$f(n)=r, khi\; n\equiv r(mod3)$
Ta chứng minh $k$ không thể bằng 2. Giả sử $k=2$:
Đặt $f(1)=c$, khi đó ta chứng minh mệnh đề sau: $f(n)=nc\,\forall 1\leq n\leq m\,(1)$
Với $m=2$ thì (1) đúng, giả sử (1) đúng với $m=k$, ta chứng minh $f(k+1)=(k+1)c$, thật vậy:
Nếu $k$ lẻ, khi đó $f(k+1)=2f(\frac{k+1}{2})=2.\frac{k+1}{2}c=(k+1)c$
Nếu $k$ chẵn, giả sử $f(k+1)\neq (k+1)c=f(x)+f(y)\, \forall x,y$ sao cho $x+y=k+1$, khi đó $k+1$ sẽ là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên và $x,y$ được tô khác màu.
Do $k$ chẵn nên Cmtt, ta được $f(k+2)=(k+2)c$, khi đó 1 và $k+1$ không được tô cùng màu. Giả sử 1 tô màu xanh còn $k+1$ tô màu đỏ, khi đó ta cũng có $k$ màu đỏ. Ta có $f(2k)=2f(k)=2kc$ và $f(2k+1)=f(k+1)+f(k)\neq (2k+1)c=f(2k)+f(1)$ nên $2k$ cũng có màu đỏ.
Lại có $f(2k+2)=2f(2k+1)\neq f(2k)+f(2)$ nên $2k$ và $2$ được tô khác màu hay 2 tô màu đỏ$\Rightarrow$ $k-1$ tô màu xanh.
Khi đó ta có:$f(2k+1)=f(k-1)+f(k+2)=(k-1)c+(k+2)c=(2k+1)c$, vô lý.
Vậy ta có $k_{min}$=3.
#699462 $\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Posted by
on 02-01-2018 - 20:12
in
Phương trình hàm
minh
Ta xét bài toán tổng quát :
Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:$g(1)=1$$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.Với $a=1$, ta có $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)Trước hết, ta cần chứng minh $k_{a+1}=3k_a-1$ (1)+ Với $a=1$ : Ta có $\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(3)=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}g(2)=0\\g(2)=2 \end{array}\right.\Rightarrow k_2=2=3k_1-1$. Vậy mệnh đề (1) đúng khi $a=1$+ Với $a> 1$ : Khi đó $k_a> 1$ và $g(k_a)=a$. Suy ra $g(m)< a,\forall m< k_a$ ($m\in\mathbb{N}^*$) (2)tức là các giá trị $g(1);g(2);g(3);...;g(k_a-1)$ đều nhỏ hơn $a$$\Rightarrow$ các giá trị $g(3);g(6);g(9);...;g(3k_a-3)$ cũng đều nhỏ hơn $a$ (3)Bây giờ ta xét các giá trị $g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3)$ với $t$ là số nguyên bất kỳ thỏa mãn $1\leqslant t\leqslant k_a-2$Ta có $\left\{\begin{matrix}g(3t)=g(t)\\g(3t+3)=g(t+1) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left | g(3t+3)-g(3t) \right |=1$Nếu $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p\\g(3t+3)=p+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3t+1)=p-1\\g(3t+1)=p+1 \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3t+2)=p+2\\g(3t+2)=p \end{array}\right. \end{matrix}\right.$Nếu $\left\{\begin{matrix}g(3t)=p+1\\g(3t+3)=p \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3t+1)=p\\g(3t+1)=p+2 \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3t+2)=p+1\\g(3t+2)=p-1 \end{array}\right. \end{matrix}\right.$Trong cả 2 trường hợp, ta đều có : $\max\left ( g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3) \right )=\max\left ( g(3t);g(3t+3) \right )+1$Mà từ (3), ta có $\max\left ( g(3t);g(3t+3) \right )< a$$\Rightarrow \max\left ( g(3t);g(3t+1);g(3t+2);g(3t+3) \right )\leqslant a,\forall t$ nguyên từ $1$ đến $k_a-2$nghĩa là các giá trị $g(3);g(4);g(5);...;g(3k_a-3)$ đều nhỏ hơn a+1 (4)Lại có $g(1)=1$ ; $g(2)\leqslant 2\Rightarrow g(1)$ và $g(2)$ cũng nhỏ hơn a+1 (5) (vì đang xét $a\geqslant 2$)(4), (5) $\Rightarrow g(1);g(2);g(3);...;g(3k_a-3)$ đều nhỏ hơn a+1 (6)Giờ ta xét đến $g(3k_a-3);g(3k_a-2);g(3k_a-1)$ và $g(3k_a)$Ta có $g(3k_a-3)=g(k_a-1)$ ; $g(3k_a)=g(k_a)=a$Mà $\left | g(k_a-1)-g(k_a) \right |=1$ và $k_a-1< k_a$ nên theo (2) ta có $g(k_a-1)=g(k_a)-1=a-1$Do đó $\left\{\begin{matrix}g(3k_a-3)=g(k_a-1)=a-1\\g(3k_a)=g(k_a)=a \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{l}g(3k_a-2)=a-2\\g(3k_a-2)=a \end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}g(3k_a-1)=a+1\\g(3k_a-1)=a-1 \end{array}\right. \end{matrix}\right.$ (7)Từ (6) và (7) $\Rightarrow k_{a+1}=3k_a-1$ (vì $3k_a-1$ là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(3k_a-1)=a+1$)Vậy ta có $k_{a+1}=3k_a-1$ đúng với mọi $a\in\mathbb{N}^*$$k_1=1$$k_2=3k_1-1=3^1-1$$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3^1+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$Cho $a=2001$, ta được đáp án bài toán là $\frac{3^{2000}+1}{2}$.
Mình không hiểu lắm chỗ xét g(3t)=p lắm
#699251 $\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Posted by
on 31-12-2017 - 15:41
in
Phương trình hàm
Ta xét mệnh đề tổng quát hơn: Xét dãy số $(x_n)$ thỏa $x_n=\frac{3^n+1}{2}\forall n$, khi đó $x_n$ là giá trị nhỏ nhất có thể để $g(x)=n$ (1)
Với $n=1$, (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với $n=m-1$. Ta chứng minh (1) đúng vơi $n=m$
Giả sử tồn tại số $t$ nhỏ hơn $x_m$ và là số nhỏ nhất sao cho $g(t)$ có thể đạt giá trị $m$
Xét hàm số $g$ để $g(t)=m$, khi đó do $t$ nhỏ nhất nên $t$ không chia hết cho $3$. Xét 2 TH:
TH1: $t$ chia 3 dư 1, khi đó $g(t-1)=m-1$ nên $g(\frac{t-1}{3})=m-1$, như vậy $\frac{t-1}{3}\geq x_{m-1}$ hay $t\geq \frac{3^m+5}{2}>x_m$
TH2: $t$ chia 3 dư 2:
Khi đó $g(t+1)=m-1$ hay $m+1$.
Nếu $g(t+1)=m-1$ thì lập luận tương tự.
Nếu $g(t+1)=m+1$
$\Rightarrow g(\frac{t+1}{3})=m+1\Rightarrow$ tồn tại số $q<t$ để $g(q)=m$, vô lý.
Vậy ta có (1) đúng, cho $n=2001$ thì $k=x_{2001}=\frac{3^{2001}+1}{2}$
#699209 Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m...
Posted by
on 30-12-2017 - 21:39
in
Phương trình hàm
Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại cách tô $k$ màu vào tập số nguyên dương và tồn tại một hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn 2 điều kiện sau:
(i) Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m)+f(n)$
(ii) Tồn tại vài số $m$, $n$ sao cho $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$
Lưu ý: mỗi số nguyên dương được tô đúng 1 trong $k$ màu, hai số $m$, $n$ ở 2 điều kiện không nhất thiết phải trùng nhau.
#699207 Phương trình hàm rời rạc qua các kì thi Olympic
Posted by
on 30-12-2017 - 21:33
in
Phương trình hàm
Khu vực Egypt:
Bài 1) (P1 EMGO 2017) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại cách tô $k$ màu vào tập số nguyên dương và tồn tại một hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn 2 điều kiện sau:
(i) Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m)+f(n)$
(ii) Tồn tại vài số $m$, $n$ sao cho $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$
Lưu ý: mỗi số nguyên dương được tô đúng 1 trong $k$ màu, hai số $m$, $n$ ở 2 điều kiện không nhất thiết phải trùng nhau.
#699205 $\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Posted by
on 30-12-2017 - 21:17
in
Phương trình hàm
Ta xét bài toán tổng quát :
Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:$g(1)=1$$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.Dễ thấy nếu $a=1$ thì $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)Theo đề bài, $g(3)=g(1)=1$ và $g(n-1)=g(n)\pm 1\Rightarrow g(2)\leqslant 2$. Vậy $k_2=2$$\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(2)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(3)=1\\g(6)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_3=5$$\left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(12)\leqslant 2\\g(15)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_4=14$$\left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(39)\leqslant 3\\g(42)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(40)\leqslant 4\\g(41)\leqslant 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_5=41$....................................................................................................................Nhận xét :$k_1=1$$k_2=3k_1-1=3^1-1$$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$Cho $a=2001$, ta có đáp án bài toán đã cho là $k_{2001}=\frac{3^{2000}+1}{2}$.
Mình nghĩ bạn nên chứng minh rõ mệnh đề đúng với mọi a
#699134 Phương trình hàm rời rạc qua các kì thi Olympic
Posted by
on 29-12-2017 - 14:08
in
Phương trình hàm
Khu vực Cono Sur:
Bài 1. (P3 Cono Sur Olympiad 1989)
Một số tự nhiên $p$ được gọi là 'hoàn hảo' nếu nó bằng tổng các ước dương của nó ngoại trừ chính nó. Xét hàm số $f(x)$ thỏa mãn:
$f(n)=0$ nếu $n$ là số 'hoàn hảo'
$f(n)=0$ nếu $n$ có chữ số tận cùng là 4
$f(ab)=f(a)+f(b)$
Tính $f(1998)$
Bài2. (P3 Cono Sur Olympiad 2001) Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Tìm số $k$ nhỏ nhất.
#699092 $\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Posted by
on 28-12-2017 - 18:54
in
Phương trình hàm
Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Tìm số $k$ nhỏ nhất.
#698940 Tính $f(1998)$
Posted by
on 26-12-2017 - 19:30
in
Phương trình hàm
Một số tự nhiên $p$ được gọi là 'hoàn hảo' nếu nó bằng tổng các ước dương của nó ngoại trừ chính nó. Xét hàm số $f(x)$ thỏa mãn:
$f(n)=0$ nếu $n$ là số 'hoàn hảo'
$f(n)=0$ nếu $n$ có chữ số tận cùng là 4
$f(ab)=f(a)+f(b)$
Tính $f(1998)$
#698938 $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathb...
Posted by
on 26-12-2017 - 19:22
in
Phương trình hàm
Cách của mình (cũng tương tự):
Giả sử hàm số $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
i) $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
ii) $f(m+n)=f(m)+f(n) +2mn \forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
$T_{ii}(n,1)\Rightarrow f(n+1)=f(n)+f(1)+2n$
$\Rightarrow f(n+1)-f(n)=2n+f(1)$
Lại có $f(n)-f(n-1)=2(n-1)+f(1)$
...
$f(2)-f(1)=2+f(1)$
$\Rightarrow f(n)-f(1)=n(n-1)+(n-1)f(1)\Rightarrow f(n)=n(n+c)$ (với $c=f(1)-1$)(1)
Nếu $c$ khác $0$:
$T_1(c)\Rightarrow f(c)=2c^2$, mà $v_2(2c^2)=2k+1$ (với $v_2(c)=k$) là số lẻ trong khi $v_2(f(c))$ chắn (do $f(c)$ là số chính phương) (Vô lý)
$\Rightarrow c=0$
Vậy $f(n)=n^2\forall n\in\mathbb{Z}^+$
#698851 $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathb...
Posted by
on 24-12-2017 - 21:31
in
Phương trình hàm
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
i) $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
ii) $f(m+n)=f(m)+f(n) +2mn \forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
