Chúc anh chị thi tốt , được học trường mà mình mong muốn!!!!!!!!!

7.
$4x^{4}+16x^{3}+4x^{2}-8x-3=0$

Viết pt thành pt tích
\[(ax^{2}+bx-1)(cx^{2}+dx+3)=0\]
Đồng nhất hệ số
có \[\left\{\begin{matrix}
ac=4(1)\\
ad+bc=16(2)\\
3a-c=4(3)\\
3b-d=-8(4)
\end{matrix}\right.\]
từ $(1).(3)$ có a,c thay vào tìm b,d

Không còn gì để nói

Giải pt, hệ pt:
1. $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}-y^{2}) = 1176\\ (x-y)(x^{2}+y^{2}) = 696 \end{matrix}\right.$
2.$\sqrt{2x^{2}+9}+\sqrt{2x^{2}-9}=9+3\sqrt7$
3.$x^{x^{5}}=5$ (tìm cách đơn giản nhất)

Còn câu 3, các bạn làm nốt.
Câu 4: $ 2\left({x-2}\right)\left({\sqrt[3]{{4x-4}}+\sqrt{2x-2}}\right) = 3x-1 $
Câu 5:
$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2\sqrt{y}\\
\sqrt{x}+\sqrt{5y}=3
\end{matrix}\right.$
p/s Dạo này VMF hơi trầm, tính âm mưu gì đây?

tới đó giải bằng cách đặt ẩn à bạn có thể giải tiếp được không
p\s đạo hàm à lật sách giáo khoa đại số lớp 11 là biết

Bạn dùng đánh giá, cùng với điều kiện $x\geq 1$ và x khác 2

Nhận thấy x=2 không phải là nghiệm của phương trình
$\Rightarrow \sqrt{2x-2}+\sqrt[3]{4x-4}=\frac{3x-1}{2x-4}$

Sao không làm thế này cho dễ nhỉ , đạo hàm làm gì?
$2(\sqrt{2x-2}+\sqrt[3]{4x-4})=\frac{3x-1}{x-2}\Leftrightarrow 2(\sqrt{2x-2}+\sqrt[3]{4x-4})=3+\frac{5}{x-2}$

Tiếp nữa:
Câu 6:
\[ \left\{\begin{array}{l}\sqrt[4]{x}\left(\frac{1}{4}+\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}\right) =2\\ \sqrt[4]{y}\left(\frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}\right) =1\end{array}\right. \]
Câu 7:
\[ \sqrt{\frac{x^{3}}{3-4x}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x} \]
Câu 8:
\[\sqrt{x+1}+6\sqrt{9-x^{2}}+6\sqrt{(x+1)(9-x^{2})}=38+10x-2x^{2}-x^{3}\]

Câu 8:
$8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}$
Câu 9:
$\sqrt{\frac{6}{2-x}}+\sqrt{\frac{10}{3-x}}=4$
Giải bằng nhiều cách nhé mọi người

Cho mình hỏi tâm trạng của 2 bạn L Lawliet và BlackSelena bây giờ là thế nào vậy?

Rưng rưng nước mắt . Bạn đó bằng tuổi mình.

Sao lại sai ạ?

Vì $x\geq 2y$ nên $(x+y)^{2}\geq (2y+y)^{2}$ --> Đúng
Nhưng còn $\frac{1}{xy}\geq \frac{1}{2y.y}$ là sai vì khí đó $\frac{1}{xy}\geq \frac{1}{2y.y}\Leftrightarrow 2y\geq x$

Vì $x\ge2y$ nên $\frac{(x+y)^2}{xy} \ge \frac{(2y+y)^2}{2y.y} $

Cái này bị sai rồi bạn

Đặt x = 2y + a, với a $\geq$ 0. Ta có:
$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{5y^2+4ay+a^2}{2y^2+ay}\geq \frac{5y^2+\frac{5}{2}ay}{2y^2+ay}$

Cái này thì $4ay+a^{2}\geq \frac{5}{2}ay\Leftrightarrow a+4y\geq \frac{5}{2}y\Leftrightarrow 2a\geq -3y$
Vậy thì làm sao tính dấu bằng được

Bài toán:
Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=4(1)\\ x^{3}-y^{3}=8(2) \end{matrix}\right.$
Lời giải:
Cách 1:
$(2)\Leftrightarrow x^{3}=8+y^{3}$
$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{8+y^{3}}$
$\Leftrightarrow x^{2}=\sqrt[3]{(8+y^{3})^{2}}(*)$
Thay $(*)$ vào $(1)$ ta có $(1)\Leftrightarrow \sqrt[3]{(8+y^{3})^{2}}-y^{2}=4$
$\Leftrightarrow (8+y^{3})^{2}=(4+y^{2})^{3}$
$\Leftrightarrow 12y^{4}-16y^{3}+48y^{2}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0\\ 3y^{2}-4y+12=0 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow y=0$
$\Leftrightarrow x=2$
Loại trường hợp $3y^{2}-4y+12=0$ vì $\Delta ^{'}=-32<0$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 2:
Nhẩm nghiệm thấy $(x;y)=(2;0)$ nên ta đặt: $y=kx$
Hệ pt được viết lại:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}(1-k^{2})=4\\ x^{3}(1-k^{3})=8 \end{matrix}\right.$
Nhận thấy $x=0;y=0$ không phải là nghiệm.
Nhận thấy $k=1$ thì hệ vô nghiệm.
Nên ta xét $x\neq 0;k\neq 1$
Hệ: $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (1-k^{2})^{3}=\frac{64}{x^{6}}(3)\\ (1-k^{3})^{2}=\frac{64}{x^{6}}(4) \end{matrix}\right.$
Lấy $(3)-(4):2k^{6}-3k^{4}-2k^{3}+3k^{2}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k^{2}=0\\ (k-1)^{2}(2k^{2}+4k+3)=0 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow k=0$
$\Leftrightarrow y=0$
$y=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}=4\\ x^{3}=8 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=2$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 3:
$(1)\Leftrightarrow x^{2}=(y+2)^{2}-4y$
Nhận thấy $y=-2$ không thỏa mãn để hệ có nghiệm nên: $(1)\Leftrightarrow x^{2}=(y+2)^{2}-4y$
$\Leftrightarrow \frac{3}{2}x^{2}(y+2)=\frac{3}{2}(y+3)^{3}-6y(y+2)(*)$
$(2)\Leftrightarrow x^{3}=(y+2)^{3}-6y(y+2)(**)$
$(*)-(**):x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}(y+2)+\frac{(y+2)^{3}}{2}=0$
$\Leftrightarrow 2x^{3}-3x^{2}(y+2)+(y+2)^{3}=0$
$\Leftrightarrow 2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(2a+b)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y+2\\ 2x=-(y+2) \end{bmatrix}$
Thay lần lượt vào $(1)$: $x=y+2\Leftrightarrow x=2\wedge y=0$
$2x=-(y+2)\Leftrightarrow 3y^{2}-4y+12=0$ vô nghiệm do $\Delta ^{'}=-32< 0$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 4:
Lời giải của bạn Haruki bên onluyentoan.vn

Mình cũng có một cách!
Hệ phương trình đã cho có thể viết lại thành:
$$\left\{\begin{matrix}
(x-y)(x+y)=4 (1)\\(x-y)(x^2 + xy + y^2)=8 (2)

\end{matrix}\right.$$

Ta nhận thấy: $x\neq \pm y$.
Đặt $S= x+y$ và $P=xy$ với $S^2 \geq 4P$. Khi đó lấy (2) chia (1) ta suy ra được: $P=S^2 - 2S$.
Mặt khác:
Từ (2) suy ra được: $x > y$ do $x^2 + xy + y^2 >0$. Nhờ đó từ (1) ta tiếp tục có $x>-y$ .
$\Rightarrow$ $x> |y|$.
Do đó ta có: $(x-y)^{2}=8S-3S^{2}\Leftrightarrow x-y=\sqrt{8S-3S^2}$. Từ đó kết hợp với (1) suy ra được:
$$\sqrt{8S-3S^2}.S=4 \Leftrightarrow (S-2)^2 (3S^2 +4S +4) =0.$$
Vì $3S^2 +4S +4>0$
nên $S=2$ $\Rightarrow$ $P = 0$ $\Rightarrow$ $(x;y)=(2;0)$ là thỏa mãn điều kiện và hệ phương trình.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $(x;y)=(2;0)$.

Mình sửa lại nha'.
$\frac{5y^2+\frac{5}{2}ay}{2y^2+ay}\geq\frac{5}{2}.$

Cái đó là đúng đấy. Bạn không thể chia 2 vế cho a được đâu. Dấu = xảy ra khi a = 0 hay x = 2y.

Đúng là ko thể chia 2 vế cho a, nhưng bạn giải thích như thế nào. Và còn phần sau nữa. Mong bạn giải thích rõ

Bài toán: Giải hệ:
\[\left\{\begin{matrix}
x+y-\sqrt{xy}=3\\
\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4
\end{matrix}\right.\]

Lời giải:
Điều kiện: \[\left\{\begin{matrix}
x\geq -1\\
y\geq -1\\
xy\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Nhận thấy: \[(1)\Leftrightarrow x+y=3+\sqrt{xy}\geq 3\]
và kết hợp điều kiện ta có \[x,y\geq 0\]
Cách 1:
Đặt $S=x+y\geq 0$ và $P=xy\geq 0$
\[(2)\Leftrightarrow x+y+2+2\sqrt{xy+(x+y)+1}=16\Leftrightarrow 2\sqrt{P+S+1}=14-S\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
4(P+S+1)=S^{2}-28S+196\\
0\leq
S\leq 14\end{matrix}\right.(*)\]
\[(1)\Leftrightarrow \sqrt{P}=S-3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
P=S^{2}-6S+9\\
S\geq
3\end{matrix}\right.(**)\]
Thay $(**)$ vào $(*)$: \[3S^{2}+8S-156=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
S=6\\
S=\frac{-26}{3}
\end{bmatrix}\Leftrightarrow S=6\]
Thỏa mãn điều kiện \[3\leq S\leq 14\]
Từ đó $P=9$ nên $x=y=3$
Cách 2:
AM-GM: \[x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 3+\sqrt{xy}\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow \sqrt{xy}\leq 3(*)\]
CS: \[16=(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})^{2}\leq (x+y+2).2=(5+\sqrt{xy}).2\Leftrightarrow \sqrt{xy}\geq 3(**)\]
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có $\sqrt{xy}=3$
Từ đó được $x+y=6$ và $xy=9$ nên $x=y=3$
Cách 3:
AM-GM: $(2)\Leftrightarrow 4=\frac{\sqrt{(x+1)4}}{2}+\frac{\sqrt{(y+1)4}}{2}\leq \frac{x+y+10}{4}\Rightarrow x+y\geq 6(*)$
AM-GM: $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow 3=x+y-\sqrt{xy}\geq (x+y)-\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow x+y\leq 6(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ có $x+y=6$ nên $xy=9$ Từ đó $x=y=3$
Cách 4-5:
\[(2)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2+\sqrt{y+1}-2=0\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{y-3}{\sqrt{y+1}+2}=0\]
Từ $(1)$ có: \[x-3=\sqrt{xy}-y=\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})\]
và \[y-3=\sqrt{xy}-x=\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{x})\]
Nên thay vào có:
\[\begin{bmatrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y} \\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{bmatrix}\]
+ $\sqrt{x}=\sqrt{y}$ dễ có $x=y=3$
+ \[\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}\](*)
Xét $(*)$ có 2 cách:
Cách 4:
$\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}$
$\Leftrightarrow
2(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\sqrt{y}\sqrt{y+1}=0$
$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\dfrac{x^{2}+x-y^{2}-y}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}\sqrt{y+1}}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y}\\
2+\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y+1)}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}\sqrt{y+1}}=0\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y}$
Cách 5:
+Nếu $x>y>0$
\[\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}<\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y+1}+2} \\
\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}>\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y+1}+2}\\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{matrix}\right.\]
Vô nghiệm
+ Nếu $0<x<y$
\[\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}>\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+2} \\
\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}<\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+2}\\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{matrix}\right.\]
Vô nghiệm
+ Nếu $x=y$ thỏa
Vậy $x=y=3$
Cách 6:
Đặt: \[\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+1}=m+2\geq 0\\
\sqrt{y+1}=n+2\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Từ pt $(2)$ ta có $m+n=0$
Và \[\left\{\begin{matrix}
x=m^{2}+4m+3\\
y=n^{2}+4n+3
\end{matrix}\right.\]
chú ý $m+n=0$:
\[(1)\Leftrightarrow m^{2}+n^{2}+4(m+n)+6-\sqrt{(m^{2}+4m+3)(n^{2}+4n+3)}=3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
mn\leq \dfrac{3}{2}\\\
3m^{2}n^{2}=22mn
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow mn=0\]
nên $m=n=0$ từ đó $x=y=3$
Cách 7:
Đặt: \[\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+1}=m\geq 0\\
\sqrt{y+1}=n\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Từ đó
\[\left\{\begin{matrix}
x=m^{2}-1\\
y=n^{2}-1
\end{matrix}\right.\]
Cách làm tương tự, với $m+n=4$ thay vào pt $(1)$
Có được mn=4
Nên $x=y=2$
Cách 8:
Lê Mậu Úy
$(1).2-(2).4\Leftrightarrow
2x+2y-2\sqrt{xy}-6-4\sqrt{x+1}-4\sqrt{y+1}+16=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}+(\sqrt{x+1}-2)^{2}+(\sqrt{y+1}-2)^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y}\\
\sqrt{x+1}=2\\
\sqrt{y+1}=2
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=y=3$
Cách 9:
Đặt $y=kx$
\[(1)\Leftrightarrow (k+1)x-x\sqrt{k}=3\]
\[(2)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{kx+1}=4\Leftrightarrow x(k+1)+2+2\sqrt{(x+1)(k+1)}=16\]
Thay \[(k+1)x=x\sqrt{k}+3\] vào:
$3+x\sqrt{k}+2+2\sqrt{kx^{2}+4+x\sqrt{k}}=16$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
11\geq x\sqrt{k}\geq 0\\
3(x\sqrt{k})^{2}+26x\sqrt{k}-105=0
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x\sqrt{k}=3$
$\Leftrightarrow k=\frac{9}{x^{2}}$
$\Leftrightarrow xy=9$
$\Leftrightarrow x+y=6\Rightarrow x=y=3$
P/S: Bài này chắc còn có các cách khác nữa, tạm thời chừng này đã
Cách 1-2-3 em nhớ có thấy trên diễn đàn rồi nhưng không nhớ tên, đành đánh máy lại. Mấy cách kia tối ni hi sinh giấc ngủ để làm và đánh Latex.
Trong đó cách 8 là cách hay và ngắn nhất của bạn em

Từ (1) <=> $\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=1-xy$
<=>$(1-xy)^{2}=2(x^{4}+y^{4})\geq 4x^{2}.y^{2}$

Cái này cậu đánh bị nhầm tí
Mình nghĩ mấy bài cuối chắc là làm bằng lượng giác được. Nhưng suy nghĩ mấy cũng không ra, mình không giỏi lượng giác lắm . Không biết có ai có thể giúp không?

Mấy bài cuối đâu có điều kiện $-1\leq x,y,z\leq 1$ đâu mà bạn thế lượng giác.

Có chứ, ví dụ câu này:

13)$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4\\ xy+yz+zx-xyz=2\\ x,y,z\in \mathbb{R}^{+} \end{matrix}\right.$

Chia 2 vế pt $(1)$ cho 4 ta có:ta có được dạng $A^{2}+B^{2}+C^{2}+2ABC=1$
nên tồn tại Tam giác nhọn $DEF$ sao cho $A=cosD$, $B=cosE$, $C=cosF$.
Thay vào pt $(2)$ biến đổi như thế nào đó thành pt tích hoặc tổng các bình phương bằng 0.
Cái này mình biến đổi chưa ra
Và nhận xét ở mấy câu cuối từ 12 đến 15 đều có điều kiện $x,y,z$ là số thực dương.
...
Latex bị lỗi mất rồi

GIẢI PT:
$(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x$

Điều kiện $-12\leq x\leq 4$
\begin{align}
PT &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+3)(28-x)\geq 0\\
(x^{2}+6x+9)(-x^{2}-8x+48)=x^{2}-56x+784
\end{matrix}\right.\\
&\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+3)(28-x)\geq 0\\
x^{4}+14x^{3}+10x^{2}-272x+352=(x^{2}+8x-16)(x^{2}+6x-22)=0
\end{matrix}\right.\\
&\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=-4+4\sqrt{2}\\
x=-3+\sqrt{31}
\end{bmatrix}
\end{align}
2 nghiệm thỏa mãn điều kiện
Vậy pt có nghiệm $x\in \begin{Bmatrix} -4+4\sqrt{2};-3+\sqrt{31} \end{Bmatrix}$
p/s: Đã làm được cái canh hàng công thức

đề là $x^{3}$ à bạn? $x^{2}$ thì có nghiệm nguyên là $-1$ thì khỏe rồi

Giải pt :
$x\sqrt{3x-2}+\sqrt{3-2x}=\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}$

Chém bài ni tí
$\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}= \sqrt{(x+1)(x^{2}+1)}$
Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\geq \frac{2}{3}\\ x\leq \frac{3}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq x\leq \frac{3}{2}$
Vì điều kiện như vậy nên $x\sqrt{3x-2}+\sqrt{3-2x}> 0$
Đặt:
$a=\sqrt{3x-2};b=\sqrt{3-2x}$
Nhận thấy $a^{2}+b^{2}=x+1$
Viết lại pt: $x\sqrt{3x-2}+\sqrt{3-2x}=\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}$
$\Leftrightarrow xa+b=\sqrt{(x^{2}+1)(a^{2}+b^{2})}$
$\Leftrightarrow x^{2}a^{2}+b^{2}+2xab=x^{2}a^{2}+x^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}$
$\Leftrightarrow (xb-a)^{2}=0$
$\Leftrightarrow xb=a$
$\Leftrightarrow x\sqrt{3-2x}=\sqrt{3x-2}$
$\Leftrightarrow 2x^{3}-3x^{2}+3x-2=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(2x^{2}-x+2)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ 2x^{2}-x+2=0(*) \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow x=1$
($(*)$ loại do $2x^{2}-x+2>0$)
$x=1$ thỏa mãn đièu kiện.
Vậy pt có nghiệm $x=1$

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
3)$2\sqrt{7x^{3}-11x^{2}+25x-12}=x^{2}+6x-1$
Trên đây là các bài và dạng bài mình sưu tầm được.Hy vọng các bạn sẽ đóng góp ý kiến, bổ sung thêm các bài và dạng bài hay.

Chém bài này:
ĐK: $7x^{3}-11x^{2}+25x-12\geq 0\Leftrightarrow (7x-4)(x^{2}-x+3)\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{4}{7}$
$2\sqrt{7x^{3}-11x^{2}+25x-12}=x^{2}+6x-1$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{(7x-4)(x^{2}-x+3)}-2(7x-4)= x^{2}+6x-1-2(7x-4)$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{7x-4}(\sqrt{x^{2}-x+3}-\sqrt{7x-4})=x^{2}-8x+7$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{7x-4}\frac{x^{2}-8x+7}{\sqrt{x^{2}-x+3}+\sqrt{7x-4}}=x^{2}-8x+7$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^{2}-8x+7=0\\ \frac{2\sqrt{7x-4}}{\sqrt{x^{2}-x+3}+\sqrt{7x-4}}=1 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^{2}-8x+7=0\\ \sqrt{x^{2}-x+3}=\sqrt{7x-4} \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^{2}-8x+7=0\\ x^{2}-8x+7=0 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ x=7 \end{bmatrix}$
2 nghiệm này thỏa mãn điều kiện
Vậy pt có tập nghiệm $S=\begin{Bmatrix} 1;7 \end{Bmatrix}$

6)$\left\{\begin{matrix} (17-3x)\sqrt{5-x}+(3y-14)\sqrt{4-y}=0(1)\\ 2\sqrt{2x+y+5}+3\sqrt{3x+2y+11}=x^{2}+6x+13 (2)\end{matrix}\right.$

Bài này nữa
Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\leq 5\\ y\leqslant 4 \end{matrix}\right.$
Đặt: $a=\sqrt{5-x}\geq 0;b=\sqrt{4-y}\geq 0$
Pt $(1)$ được viết lại $a(3a^{2}+2)+b(-3b^{2}-2)\Leftrightarrow (3a^{3}-3b^{3})+2(a-b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)(3a^{2}+3ab+3b^{2}+2)=0\Leftrightarrow a=b$
(do $(a-b)(3a^{2}+3ab+3b^{2}+2)>0$ với $a,b \geq 0$)
$a=b\Leftrightarrow 5-x=4-y\Leftrightarrow y=x-1 (*)$
Thay $(*)$ vào $(2)$ ta có $2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}=x^{2}+6x+13\Leftrightarrow (2\sqrt{3x+4}-4)+(3\sqrt{5x+9}-9)=x^{2}+6x\Leftrightarrow \frac{6x}{\sqrt{3x+4}+2}+\frac{15x}{\sqrt{5x+9}+3}= x(x+6)$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ \frac{6}{\sqrt{3x+4}+2}+\frac{15}{\sqrt{5x+9}+3}= (x+6) (**)\end{bmatrix}$
+ $x=0\Leftrightarrow y=-1$ thỏa mãn điều kiện.
+ Trường hợp $\frac{6}{\sqrt{3x+4}+2}+\frac{15}{\sqrt{5x+9}+3}= (x+6)$:
Nhận thấy $x=-1$ là một nghiệm.
Xét $5>x> -1$ có $\frac{6}{\sqrt{3x+4}+2}+\frac{15}{\sqrt{5x+9}+3}< 5$ và $(x+6)>5$ vô nghiệm
Xét $x<-1$ có $\frac{6}{\sqrt{3x+4}+2}+\frac{15}{\sqrt{5x+9}+3}>5$ và $(x+6)<5$ vô nghiệm
Nên $x=-1$ là nghiệm duy nhất trong trường hợp này
$x=-1\Leftrightarrow y=-2$ thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy hệ pt có 2 nghiệm $(x;y)\in \begin{Bmatrix} (0;-1);(-1;-2) \end{Bmatrix}$

2)$\left\{\begin{matrix} xy+\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}=1\\ \\ x^{n+4}.y^{n}+x^{n}y^{n+4}\\ n=2k+1, k\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Bạn sửa lại cái đề với, hình như pt 2 thiếu 1 vế

5)$\left\{\begin{matrix} 3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})\\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$

Bài này có một số cách giải Tại đây

10)$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\frac{(x-y)^{2}}{2}(1)\\ (x+y)(x+2y)+3x+2y=4 (2)\end{matrix}\right.$

Post chậm mất
Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-1}{2}\\ y\geq \frac{-1}{2} \end{matrix}\right.$
$(2)\Leftrightarrow x^{2}+3xy+2y^{2}+3x+2y-4=0\Leftrightarrow (x+y-1)(x+2y+4)=0$
+Trường hợp $(x+2y+1)=0\Leftrightarrow 2y=-1-x$
Thế vào $(1)$ ta có $\sqrt{2x+1}+\sqrt{-3-x}=\frac{(3x+4)^{2}}{8}$
Mà $x\geq \frac{-1}{2}\Leftrightarrow -x\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow -3-x\leq \frac{-5}{2}<0$
Pt này không xác định được
+ Trường hợp $(x+y-1)=0\Leftrightarrow y=1-x$
Thế vào $(1)$ ta có $2\sqrt{2x+1}+2\sqrt{3-2x}=4x^{2}-4x+1\Leftrightarrow 2(\sqrt{2x+1}-2)+2\sqrt{3-2x}=4x^{2}-4x-3\Leftrightarrow \frac{2(2x-3)}{\sqrt{2x+1}+2}-\frac{2(2x-3)}{\sqrt{3-2x}}=(2x-3)(2x+1)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{3}{2}\\ \frac{2}{\sqrt{2x+1}+2}-\frac{2}{\sqrt{3-2x}}=(2x+1) \end{bmatrix}$
$x=\frac{3}{2}$ thỏa mãn $\Leftrightarrow y=\frac{-1}{2}$
$\frac{2}{\sqrt{2x+1}+2}-\frac{2}{\sqrt{3-2x}}=(2x+1):$
Nhận thấy $x=-0,5$ là nghiệm suy ra $y=1,5$
Xét $x>-0,5$ ta có $VT<0; VP>0$ vô nghiệm
Vậy hệ pt có nghiệm $(x;y)\in \begin{Bmatrix} (\frac{3}{2};\frac{-1}{2});(\frac{-1}{2};\frac{3}{2}) \end{Bmatrix}$

7)$(2sinx-3)(4sin^{2}x-6sinx+3)=1+3\sqrt[3]{6sinx-4}$

Không biết có cách nào ngắn không? Cách này hơi dài:
Đặt $a=sinx$ có $-1\leq a\leq 1$
Pt được viết lại:
$(2a-3)(4a^{2}-6a+3)=1+3\sqrt[3]{6a-4}$
$\Leftrightarrow 8a^{3}-24a^{2}+24a-10-6=3(\sqrt[3]{6a-4}-2)$
$\Leftrightarrow (a-2)(8a^{2}-8a+8)=\frac{18(a-2)}{\sqrt[3]{(6a-4)^{2}}+2\sqrt[3]{6a-4}+4}$
$\Leftrightarrow (8a^{2}-8a+8)=\frac{18}{\sqrt[3]{(6a-4)^{2}}+2\sqrt[3]{6a-4}+4}$
$\Leftrightarrow (4a^{2}-4a+4)=\frac{9}{\sqrt[3]{(6a-4)^{2}}+2\sqrt[3]{6a-4}+4}$
$\Leftrightarrow (4a^{2}-4a+4)(\sqrt[3]{(6a-4)^{2}}+2\sqrt[3]{6a-4}+1)+(4a^{2}-4a+4).3=9$
$\Leftrightarrow (4a^{2}-4a+4)(\sqrt[3]{6a-4}+1)^{2}+(12a^{2}-12a+3)=0$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}-a+1)\frac{9(2a-1)^{2}}{(\sqrt[3]{(6a-4)^{2}}-\sqrt[3]{6a-4}+1)^{2}}+3(2a-1)^{2}=0$
$\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$
$a= \frac{1}{2}\Leftrightarrow Sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{\Pi }{6}+2k\Pi\\ x=\frac{5\Pi}{6}+2k\Pi \end{bmatrix}$
Vậy...
Mấy câu cuối hình như là làm bằng cách thế lượng giác. Tạm thời chưa nghĩ ra

Em đồng ý với ý kiến của anh Huymit_95. Em đã dạo một vòng qua trên diễn đàn mục dành cho giáo viên các cấp mà thấy chủ đề thưa thớt quá, các thầy các cô bàn luận không được sôi nổi như bọn em. Có thể là thầy cô phân tán sang các mục khác, có thể trong mục này không có gì hay hoặc có quá ít thầy cô tham gia diễn đàn. Như anh Huymit_95 nói thì nguyên nhân chủ yếu phụ thuộc vào suy nghĩ, thái độ của thầy cô. Bữa em học THCS thì trường em có rất ít thầy cô dùng mạng internet (bữa nay mới có thành lập trang web của trường từ violet hoặc edu) theo em: một phần thầy cô ngại tiếp xúc với máy tính phức tạp, 1 phần chưa hiểu rõ được cái hay của trang web, diễn đàn.... Nhưng thực ra thì đó chỉ là suy nghĩ, thói quen nên thầy cô khó bỏ. Sử dụng máy tính không khó chút nào, chúng ta lên hoài thì cũng giống như thói quen vậy, rất dễ nhớ (ví dụ như ba em là giáo viên cấp 1, hiện giờ đã gần 60 nhưng đang học máy tính để sử dụng, mày mò công nghệ thông tin, và em nghĩ nhiều thầy cô cũng vậy) vấn đề tuổi tác, trí nhớ không quan trọng, chỉ do thầy cô không tự tin, ít quyết tâm nghị lực như hồi trẻ. Còn về vấn đề cái hay tầm quan trọng của diễn đàn, web. Em nghĩ cũng có nhiều người đã từng nghĩ như em: "Sách thư viện, sách mua về đọc chưa hết chứ nói gì tài liệu trên mạng, diễn đàn " Nhưng đó là một cách nghĩ sai lầm. Em thấy trên diễn đàn, các trang web có nhiều cái hay và bổ ích hơn sách. Khi các thầy cô lên diễn đàn, sẽ tìm được nhiều thứ hơn là sách. Ví dụ:Nhiều bài toán hay và nhiều cách giải, có nhiều ý kiến thắc mắc rất gần gũi với việc dạy học của mình và cần suy nghĩ bàn luận; có nhiều tài liệu hay(có ở mục lục của diễn đàn); nhiều phương pháp giải bài mà ít sách viết ra; có thể giao lưu trò truyện với nhiều người, và việc mình đăng bài lên mà có nhiều người like thì đó cũng là niềm vui nho nhỏ trong cuộc sống ...Tuy nhiên ở diễn đàn em thấy ít có tài liệu liên quan đến việc dạy học, như đề thi học kỳ, giáo án kinh nghiệm dạy toán dành cho thầy cô.. một phần là các thầy cô ít đăng và có bên nhiều trang khác như violet,vnmath.... Nhưng em nghĩ nếu có bên kia rồi thì cũng nên đăng vì càng có nhiều thì càng có nhiều thầy cô tham gia diễn đàn, càng ngày có nhiều tài liệu độc đáo, lạ và hay dành cho các thầy các cô. Chúng ta phải làm sao để cho khi search google về đề thi, tài liệu toán thì diendantoanhoc.net là hàng đầu. Khi đó lượt truy cập tăng lên--> nhiều thầy cô sẽ không ngại đăng kí thành viên.
ý kiến "thầy cô bận" thì em không đồng tình, nếu muốn vẫn có thể sắp xếp thời gian-như câu chuyện cái bình đựng sỏi-cát-nước. ý kiến lương giáo viên ba cọc ba đồng và học toán lấy gì mà sống: Điều đó tùy thuộc vào suy nghĩ của thầy cô, nếu muốn thầy cô có thể làm giàu từ nghề này hoặc nghề phụ, như Adam khoo nói trong "Bí quyết tay trắng thành triệu phú"- có thể làm giàu từ bất cứ nghề nào, và nhiều thầy cô tuy dạy học vẫn được coi là giàu, có thể từ viết sách,...hoặc được thăng chức . Và tâm huyết đối với toán thì càng tốt, làm bất cứ thứ gì để đảm bảo niềm đam mê toán, đam mê dạy toán, và khi đam mê thì sẽ có định hướng dạy và đọc toán, cách làm và lên diễn đàn về toán không phải là một ngoại lệ.
Có nhiều thầy cô, và cả chúng em cũng đang bất mãn với nền giáo dục chậm tiến của nước nhà, điều đó làm giảm đi tâm huyết với việc dạy và học của chúng ta, chúng em xem học là nhiệm vụ, thầy cô xem dạy là một nghề, không hơn không kém. Nhưng suy nghĩ, thái độ đó cũng nên thay đổi, em xin giới thiệu một quyển sách để mọi người đọc thêm :Học để đuổi kịp và vượt-Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn. Mặc dù em chưa đọc hết (nó dày đến 785 trang và nhiều ý bị trùng lặp) nhưng phải công nhận quyển sách rất hay, ta thấy được nhiều khía cạnh về nền giáo dục nước ta, nhiều nhà giáo chân chính đang đóng góp nhiều ý kiến mong cho giáo dục phát triển, sự thay đổi chỉ còn ở vấn đề thời gian và chúng ta nên tin tưởng. Chúng ta nên thay đổi suy nghĩ, hành động, đóng góp cho nền giáo dục nhiều hơn, mình là một tấm gương về sự nhiệt huyết, quyết tâm, ắt nhiều người sẽ noi theo và từng bước phát triển.
Còn về ý kiến nên có tiền nhuận bút gì đó thì theo em là không nên vì: Mỗi thành viên VMF nhiệt tình đăng bài, tài liệu khiến cho diendantoanhoc.net đứng đầu trong danh sách tìm kiếm thì tốt hơn, và tiền nhuận bút đó không phải là chính để tăng bài viết và lượt đang nhập, thành viên, chủ yếu là thái độ, suy nghĩ, tâm huyết với toán, và thật sự theo em tiền nhuận bút làm mất đi giá trị của Toán nhiều lắm.
Em sao viết vậy, đây là ý kiến một chiều, nên có gì sai mong mọi người cứ bình luận, nhận xét để em có thể suy nghĩ thêm