đặt$\sqrt{e^{2x}-1}$=t$\Rightarrow$ $e^{x}$ theo t,đưa $e^{x}dx$ theo t,sau đó giải như bình thường

Mình thử rồi, sau đó nó ra dạng $\sqrt{x^{2}-1}$ không biết giải tiếp thế nào!!!

1) $\int_{3}^{0}\frac{dx}{(x-2)^{4}}$

2) $\int_{3}^{0}\frac{dx}{x\left ( lnx \right )^{2}}$

3) $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{x\left ( lnx \right )^{2}}$

4) $\int_{-\infty }^{+\infty } sinx dx$

$\int_{ln3}^{ln2}\frac{e^{x}dx}{\sqrt{e^{2x}-1}}$

Bài 1:
Có 6 học sinh, trong đó có A và B. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách để sắp xếp 6 học sinh này thành hàng ngang sao cho A và B luôn đứng cạnh nhau (A, B có thể đổi vị trí cho nhau). Kết quả: 240 cách
b) Có bao nhiêu cách để sắp xếp 6 học sinh này thành vòng tròn sao cho A và B luôn đứng đối diện nhau (giữa A và B là 2 người khác). Kết quả: 48 cách


Bài 2:
Trong một cuộc họp của 3 quốc gia, mỗi quốc gia cử 3 đại biểu tham dự. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách để bố trí chỗ ngồi cho 9 đại biểu quanh một bàn tròn sao cho 3 vị bất kỳ đến từ 1 quốc gia bất kỳ luôn ngồi cạnh nhau.
Kết quả: 216 cách

(2 bài toán trên không khó nhưng ở lớp mình đã xảy ra những cuộc tranh luận gay gắt về kết quả của bài toán, đến mức thầy giáo cũng không giải quyết được, nên mình post lên đây để VMF vào cuộc)

TÌm số hạng tổng quát, biết: $$u_{n+1}=\frac{3u_{n}+1}{u_{n}+1}$$
--------------------------
Công thức toán được kẹp bởi cặp dấu $ bạn nhé.

$cong_thuc$

Tính:
$$\lim_{n \to \infty } \frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+...+\frac{n}{n^2+n^2}$$
--------------------------
Công thức toán được kẹp bởi cặp dấu $ bạn nhé.

$cong_thuc$

Bổ sung thêm một cách làm:
(có sử dụng một số kết quả chứng minh của bạn Mylovemath)


1) Dựng hình bình hành ADKE.
N là trung điểm DE
=> K, N, A thẳng hàng và N là trung điểm của KA.

2) $\angle KEA + \angle EAD = 180^{\circ}$
$\angle BAC + \angle EAD = 180^{\circ}$
=> $\angle BAC = \angle KEA$

3) Có EK = AD = AB
EA = AC

4) Từ (2) và (3) suy ra tam giác ABC = tam giác EKA =>
$\left\{\begin{matrix} KA = BC\\ \angle ACB = \angle EAK \end{matrix}\right.$

5) Chứng minh được AN = 1/2 KA = 1/2 BC = IM (do tam giác BIC vuông tại I)

6) Tứ giác AICE nội tiếp => $\angle ACI = \angle AEI$
$\angle IAC = \angle IEC$
và $\angle AEI + \angle IEC = 45^{\circ}$

7) Có $\angle KAE + \angle IAC = \angle BCA + \angle IEC = \angle BCA + 45^{\circ} - \angle IEA = \angle BCA - \angle ICA + 45^{\circ} = \angle BCI + 45^{\circ}$

8) Mà $\angle BCI = \angle MIC$ => $\angle KAE + \angle IAC = \angle MIC + 45^{\circ} = \angle MIC + \angle AIE (do \angle AIE = 45^{\circ})$

9) Vậy góc NAI = MIA
(5) => NAIM là hình thang cân => AI song song với MN (đpcm)

Cho tam giác ABC với 2AB < AC. Dựng M, N lần lượt là các điểm nằm trên AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tam giác AMN và MN min.

Có thể dựng được đoạn thẳng x sao cho:
$\frac{x}{p} = \frac{m^{2}}{n^{2}}$
với m, n, p là số thực cho trước hay không?

Hạ $OM \perp Ox; ON \perp Oy$. M,N là vị trí cần dựng.

Song song chứ sao vuông góc nhỉ?

Tóm tắt cách giải như sau:
Tam giác ACO vuông tại C (do tc tiếp tuyến), có AC=4cm, OC=r=2cm => Tính được AO theo Pytagore là $\sqrt{20}$ cm.
Dựng CH vuông góc với AO (H thuộc AO) thì BC=2CH. Theo tính chất tam giác vuông:
CH x AO = AC x CO => CH = $\frac{AC\times CO}{AO}$
Từ đó tính được CH => Tính được BC

Cho đường tròn (O₁, R₁) với 2 dây AB, BC. Hãy dựng tứ giác ABCD sao cho ABCD nội tiếp (O₁, R1) và ngoại tiếp (O2, R₂).
(Bài toán có thể có 1 hay nhiều nghiệm hình)

Cho góc $\widehat{xOy}$ và một điểm P cố định sao cho tia OP nằm giữa 2 tia Ox và Oy. Hãy dựng đường thẳng qua P cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho $\Delta OMN$ có diện tích nhỏ nhất.

Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $MC$ cắt $DC$ tại $E$, từ $A$ kẻ đường thẳng song song $MD$ cắt $DC$ tại $F$. Lấy $I$ là trung điểm $EF$, đường thẳng $MI$ là đường thẳng cần dựng.

Quá hay. Nhưng mà vấn đề là suy nghĩ thế nào để tìm ra cách giải này?

Cho tứ giác ABCD bất kì với M thuộc đoạn thẳng AB. Hãy dựng 1 đường thẳng qua M sao cho nó chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

Gọi vận tốc của tàu là x (km/h), vận tốc dòng nước là y (km/h). (0<x<y<24)
Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là 24 km/h, có nghĩa là: x + y = 24 (1)
Khi tàu chuyển động ngược dòng, nó có vận tốc: x - y
Chiếc bè chuyển động nhờ dòng nước, nên có vận tốc: y
Trong cùng một thời gian, vận tốc tỉ lệ thuận với quãng đường, nên: x - y = 3y (2)
Từ (1) và (2) ta có y = 4,8 km/h
x = 19,2 km/h

Cho tam giác ABC với r là bán kính đường tròn nội tiếp; r_a r_b rc là bán kính các đường tròn bàng tiếp. Chứng minh:
$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}$

Hàm trên không có nguyên hàm sơ cấp bạn ơi

Thật hả? Mình cũng đã nghi nghi. Nhưng làm sao chứng minh điều đó?
Thế còn tích phân này có tính được không:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^4+16}}$

Bạn để ý: Khi đưa (2n+3) vào căn, thì ở trong căn, tử số là đa thức bậc 3, trong khi mẫu số (luôn dương) là một đa thức bậc 4 => Giới hạn là 0

Cho tứ diện ABCD có: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau.
Gọi AH là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Chứng minh:
$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AD^2}$

Cho em đóng góp 1 bài (cũng dễ thôi nhưng em muốn tham khảo ý kiến các cao thủ để tìm ra cách hay nhất):
Bài 26:
$\int \frac{dx}{x^4+1}$

$\int \sqrt{x^4+1}$

Sau khi thử cách tích phân từng phần, nó dẫn đến một cái khác:

$\int \frac{dx}{^{\sqrt{sin^4x+cos^4x}}}$

Có ai giải được một trong 2 câu trên coi như đã giúp mình làm xong bài tuần này. Thanks trước nha!