Ta sử dụng phương pháp cân bằng hệ số

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

$a^{3}$+$a^{3}$+$x^{3}$ $\geqslant$ 3x$a^{2}$ <=> 1/2(2$a^3$+$x^3$) $\geqslant$ 3/2x$a^2$

tương tự ta có 1/2(2$b^3$+$y^3$) $\geqslant$ 3/2y$b^2$

2$c^3$+$z^3$ $\geqslant$ 3z$c^2$

=> $a^3$+$b^3$+2$c^3$ $\geqslant$ 3/2x$a^2$+3/2y$b^2$+3z$c^2$ - 1/2$x^{3}$-1/2$y^{3}$-$z^{3}$ 

để sử dụng giả thiết ta cần chọn 3/2x=3/2y=3z <=> x=y=2z

để ý rằng $x^2$+$y^2$+$z^2$=12

tới đây giải hệ tìm x;y;z là xong

đề sai r bạn. VP phải là $(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^{2}$. bạn nhân lần lượt cho tử và mẫu của các phân số trên với $c^{2}$;$a^{2}$;$b^{2}$;$\sqrt[3]{abc}^{2}$ 

r sau đó sử dụng bđt Cauchy-Schwarz là ra. để ý rằng (a+b)(b+c)(c+a) = $a^{2}$(b+c) + $b^{2}$(c+a)+$c^{2}$(a+b) + 2abc 

 

 

 

câu 2:(4 điểm)

chứng minh rằng có vô hạn bộ số gồm $4$ số nguyên dương $(x,y,z,t)$ sao cho ước chung lớn nhất của $4$ số là $1$ và thỏa mãn $x^3+y^3+z^2=t^4$

Ta có :

$(a+1)^{4}$-$(a-1)^{4}$=$8a^{3}$+8a

=> $8a^{3}$ + 8a + $(a-1)^{4}$ = $(a+1)^{4}$ (1)

Đặt a = $k^{3}$ ( k chẵn)

(1) <=> $(2k^{3})^{3}$ + $(2k)^{3}$ + $[(k^{3}-1)^{2}]^{2}$ = $(k^{3}+1)^{4}$

Vì $2k^{3}$ và $k^{3}+1$ là 2 số nguyên tố cùng nhau => GCD($2k^{3}$;2k;$(k^{3}-1)^{2}$;$k^{3}+1$))=1

Đặt x = $2k^{3}$ ; y=2k; z=$(k^{3}-1)^{2}$;t=$k^{3}+1$ ( k chẵn ; k nguyên dương)

với mọi k chẵn và k nguyên dương thì pt đã cho có vô hạn bộ số => đpcm