Cho dãy số 1; 11; 21; 1211; 111221.

Hỏi, số tiếp theo đằng sau số 111221 là số bao nhiêu?

Cho dãy số 1; 11; 21; 1211; 111221.

Hỏi, số tiếp theo đằng sau số 111221 là số bao nhiêu?

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H giả sử AB khác AC. gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC , gọi E và F lần lượt là chân các đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC. gọi P là giao điểm của MN với tiếp tuyến của (O) tại A . gọi Q là giao điểm thứ hai khác A của (O) với dường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . gọi R là giao điểm của AQ và EF. cmr PR vuông góc với OH

hinh hoc phang

câu a mình làm được rồi 

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H giả sử AB khác AC. gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC , gọi E và F lần lượt là chân các đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC. gọi P là giao điểm của MN với tiếp tuyến của (O) tại A . gọi Q là giao điểm thứ hai khác A của (O) với dường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . gọi R là giao điểm của AQ và EF. cmr PR vuông góc với OH

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H giả sử AB khác AC. gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC , gọi E và F lần lượt là chân các đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC. gọi P là giao điểm của MN với tiếp tuyến của (O) tại A . gọi Q là giao điểm thứ hai khác A của (O) với dường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . gọi R là giao điểm của AQ và EF. cmr PR vuông góc với OH

cho phép (f) P $\rightarrow$ P

                    M  $\rightarrow$ M'

sao cho MOM'=90 độ ( tính góc theo chiều dương , ngược chiều kim đồng hồ )

chứng minh (f ) là phép biến hình

xin nêu cách chứng minh có vẻ ngắn hơn của chủ thớt vậy

Capture.PNG

xét cực và đối cực với đường tròn $(O)$

ta có $MI$ là dường đối cực của $N$ do đó $ON \perp MI$

tương tự thì $OM\perp NI$

do đó $O$ là trực tâm $\Delta MIN$

 

một bài cũng sử dụng định lí brokard là VMO 2012

1 bai tap ung dung

cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M là một điểm trên tia đối BA. một cát tuyến qua M cắt nửa đường tròn tại C,D sao cho MD<MC gọi K là giao điểm của (AOC) và (BOD).cmr MK vuong goc voi OK

Lời giải

 

Gọi $Y$ là giao điểm của $AB$ và $CD$.  Do $YA.YB=YC.YD$ nên $Y$ thuộc trục đẳng phương của $(OAB)$ và $(OCD)$ hay $Y, O, M$  thẳng hàng.

 

Theo định lý Brocard ta có $O$ là trực tâm của tam giác $IEY$ hay $I$ là trực tâm của tam giác $OEY$. 

 

Gọi $M'$ là giao điểm của $EI$ và $OY$, $Z$ là giao điểm của $OI$ và $YE$, theo kết quả quen thuộc thì $Z$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $YEABCD$ suy ra $YA.YB=YZ.YE=YO.YM'$ suy ra tứ giác $OM'AB$ nội tiếp hay $M'$ trùng $M$.

 

Vậy $E,I,M$ thẳng hàng  

mình chưa học về miquel có thể giải thích rõ hơn hoặc cách khác được k

cho tu giác ABCD nội tiếp (O) , AC cắt CD tại I, AD cắt BC tại E đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và OCD cắt nhau tại điểm thứ 2 là M. . cmr I, E, M thẳng hàng

Sử dụng định lý Brocard và phương tích chứng minh $ \angle OMI, \angle ONI$ là các góc vuông.

không hiểu

cho tam giác ABC ,AB>AC đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc BC tại E . Điểm D là giao điểm thứ 2 của (I) với AE. lấy điểm F (khác  E ) trên đoạn AE sao cho CE=CF . tia CF cắt BD tại G. cmr CF=FG

cho tam giác ABC ,AB>AC đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc BC tại E . Điểm D là giao điểm thứ 2 của (I) với AE. lấy điểm F (khác  E ) trên đoạn AE sao cho CE=CF . tia CF cắt BD tại G. cmr CF=FG

cho tam giac nhon ABC co AC<BC goi I la tam duong tron ngoai tiep H la truc tam tam giac F la chan duong vuong goc ha tu C P la diem cua AB sao cho FA=FP.M à trung điêm của BC .PH giao BC tại X,Y là giao điểm của OM và FX , Z là giao của FO và AC cmr 4 điểm F,M,Y,Z đồng viên

cho tu giac abcd noi tiep (O) co hai duong cheo giao nhau tai I M,N theo thu tu la giao diem thu 2 cua cac cap duong tron AOB.COD và BOC,AOD cmr I,O,M,N dong vien

cho tam giac abc co b,c co dinh A thay doi sao cho tam giac abc nhon goi D la trung diem cua BC và E,F tuong ung la hinh chieu vuong goc cua D len AB,AC

cho nua duong tron tam O duong kinh AB M la 1 diem tren tia doi tia BA. mot cat tuyen qua M cat nua duong tron tai C,D sao cho MD<MC . goi K la giao cua (AOC) (BOD) cmr MKvuong goc OK

cho tam giac abc noi tiep duong tron (O) P la 1 diem tren canh BC, M la trung diem BC .AP cat (O) tai diem thu 2 la P' . duong tron ngoai tiep tam giac PP'M cat (O) tai diem thu hai la N.AN cat lai duong tròn ngoại tiếp tam giác PP'M tại Q . đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB,AC lần lượt tại V,K cmr Q là trung điểm của KV

đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC tại D, AB tại F. AD,CF lần lượt cắt (I) tại điểm thứ 2 là H và K. cmr (FD.HK)/(FD.DK)=3

đường tròng (I) nội tiếp tam giacs ABC tiếp xúc BC tại D và AB tại F ,AD,CF cắt (I) tại điểm thứ 2 là H và K. cmr (FD.HK)/(FH.DK)=3

CHUYEN DE TU GIAC DIEU HOA

duong tron noi tiep tam I cua tam giac abc theo thu tu tiep xuc voi BC, CA tai D,E. AD  cat (I) tai P . Gia su BPC=90 . cmr EA+AP=PD

cho tam giác nhọn ABC không cân nọi tiếp đường tròn (O) có dương cao AH a tam đường tròn nội tiếp la I. AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. A' là điểm đối xứng vói A qua O. MA' cắt các đường thẳng AH,BC theo thứ tự tại N va K

1/ cmr NHIK nội tiếp đường tròn

2/đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) tại D, AD cắt BC tại S. cmr nếu AB+AC=2BC thì là trọng tâm tam giác AKS

một tập hợp X các số nguyên dương được gọi là có tính chất T nếu tập X có thể chia thanh hai tập hợp con  A,B khác rỗng rời nhau sao cho tổng của tất cả các phần tử của tập  hợp A bằng tổng của tất cả các phần tử của tập hợp B. tìm tất cả các số nguyên dương n dể tạp hợp X={2018,2018+1,2018+2,....,2018+n} co tinh chat T

tren cac canh BC,CA,AB va ve phia ngoai tam giac AABC ta dung cac hinh vuong BCMN,ACPQ,ABEF .. goi G la trong tam tam giac ABC .ki hieu A1 la giao diem cua AG va FQ; B1 la giao diem cua BG va NE;C1 la giao dim cua CG va MP.ta xac dinh cac dim A2,B2,C2 soa cho AGC2F,BGA2N,CGB2P la cac hinh binh hanh. cmr cac duong thang di qua A2,B2,C2 tuong ung vuong goc voi B1C1,C1A1,A1B1 va dong quy