cho tu giác ABCD nội tiếp (O) , AC cắt CD tại I, AD cắt BC tại E đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và OCD cắt nhau tại điểm thứ 2 là M. . cmr I, E, M thẳng hàng
bài tập về định lý passcal và brocard
#1
Đã gửi 14-02-2018 - 18:52
#2
Đã gửi 15-02-2018 - 11:49
Lời giải
Gọi $Y$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Do $YA.YB=YC.YD$ nên $Y$ thuộc trục đẳng phương của $(OAB)$ và $(OCD)$ hay $Y, O, M$ thẳng hàng.
Theo định lý Brocard ta có $O$ là trực tâm của tam giác $IEY$ hay $I$ là trực tâm của tam giác $OEY$.
Gọi $M'$ là giao điểm của $EI$ và $OY$, $Z$ là giao điểm của $OI$ và $YE$, theo kết quả quen thuộc thì $Z$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $YEABCD$ suy ra $YA.YB=YZ.YE=YO.YM'$ suy ra tứ giác $OM'AB$ nội tiếp hay $M'$ trùng $M$.
Vậy $E,I,M$ thẳng hàng
- Khoa Linh yêu thích
#3
Đã gửi 18-02-2018 - 22:02
Lời giải
Gọi $Y$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Do $YA.YB=YC.YD$ nên $Y$ thuộc trục đẳng phương của $(OAB)$ và $(OCD)$ hay $Y, O, M$ thẳng hàng.
Theo định lý Brocard ta có $O$ là trực tâm của tam giác $IEY$ hay $I$ là trực tâm của tam giác $OEY$.
Gọi $M'$ là giao điểm của $EI$ và $OY$, $Z$ là giao điểm của $OI$ và $YE$, theo kết quả quen thuộc thì $Z$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $YEABCD$ suy ra $YA.YB=YZ.YE=YO.YM'$ suy ra tứ giác $OM'AB$ nội tiếp hay $M'$ trùng $M$.
Vậy $E,I,M$ thẳng hàng
mình chưa học về miquel có thể giải thích rõ hơn hoặc cách khác được k
#4
Đã gửi 19-02-2018 - 11:17
mình chưa học về miquel có thể giải thích rõ hơn hoặc cách khác được k
Chưa học thì sớm muộn gì cũng phải học !
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh