Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y≤1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P = \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} $$

Bài tập

Bài 1:

Làm các phép tính sau:

a. $\frac{x}{{xy - {y^2}}} - \frac{y}{{{x^2} - xy}}$

b. $\frac{{x - y}}{{2x + 2y}} + \frac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{2{y^2} - 2{x^2}}}$

Bài 2:

Tính bằng cách hợp lý:

a. $\frac{{{x^2} - xy}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}} + \frac{{{y^2} + xy}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} + \frac{{2xy}}{{{y^2} - {x^2}}}$

b. $\frac{{{x^4} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}}} + \frac{{{x^2} - {{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}} + \frac{{{x^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{x^4} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Bài 3:

Cho $n \in Z$, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a. $A = \frac{{{n^3}}}{6} - \frac{{{n^2}}}{2} + \frac{n}{3}$

b. $B = \frac{{{n^4}}}{{12}} - \frac{{{n^3}}}{6} - \frac{{{n^2}}}{{12}} + \frac{n}{6}$

Bài 4:

Tính tổng:

$P = \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {{x^2} + xz - {y^2} - yz} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {{y^2} + xy - {z^2} - xz} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {{z^2} + zy - {x^2} - xy} \right)}}$

Bài 5:

Tìm $x \in Z$ để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a. $A = \frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{2x - 5}}$

b. $B = \frac{{3{x^3} + 9{x^2} - x - 5}}{{x + 3}}$

Bài 6:

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2}}$

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$Q = \frac{{2{x^2} - 4x + 17}}{{{x^2} - 2x + 4}}$

Bài 7:

Tìm m và n sao cho:

$\frac{{{x^2} + 5}}{{{x^3} - 3x + 2}} = \frac{m}{{x + 2}} + \frac{n}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Bài 8:

Tính tổng:

a. $\frac{{y + z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{z + x}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{x + y}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $\frac{1}{{x\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{y\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{z\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Bài 9:

Tính các tổng sau:

a. $A = \frac{x}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{z}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $B = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{{y^2}}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{{z^2}}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

c. $C = \frac{{{x^3}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{{y^3}}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{{z^3}}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Bài 10:

Tính các giá trị của các biểu thức sau:

a. $A = \frac{{5a - b}}{{3a + 7}} + \frac{{3b - 2a}}{{2b - 7}}$ với $a \ne  - \frac{7}{3};b \ne \frac{7}{2}$ và $2a - b = 7$

b. $B = \frac{{8a + 5b}}{{5a - 1}} + \frac{{3a + b}}{{4b + 1}}$ với $a \ne \frac{1}{5};b \ne \frac{1}{4}$ và $3a + 5b =  - 1$

Bài 11:

Tính tổng:

a. $P = \frac{x}{{ - xy + x + 1}} - \frac{y}{{yz - y + 1}} + \frac{z}{{xz + z - 1}}$ với $xyz = 1$ và các mẫu thức đều khác 0.

b. $Q = \frac{x}{{xy + x + 2\;}} + \frac{y}{{yz + y + 1}} + \frac{{2z}}{{xz + 2z + 2}}$ với $xyz = 2$ và các mẫu thức đều khác 0.

Bài 12:

Cho $x,y,z$ đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện $xy + yz + zx = 0$. Tìm giá trị của tổng:

$A = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2yz}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + 2zx}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + 2xy}}$

Bài 13:

Cho $x,y,z \ne  \pm 1$ và $xy + yz + zx = 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Bài 14:

Cho $xyz \ne 0$ và $x + y + z = 0$. Tính:

$A = \frac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$

Bài 15:

Cho ba số $a,b,c \ne 0$ và ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} = \frac{3}{{abc}}$

 

 

 

             

A. Một số kiến thức cần nhớ

​- Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

​- Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

​- Phép cộng các phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp.

- Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ , ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$:

$$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left( { - \frac{C}{D}} \right)$$

​B. Một số ví dụ minh họa

​Ví dụ 1: 

Thực hiện phép tính:

$$\frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}}$$

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

$$\frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}} = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$​

$ = \frac{{2x - \left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2x - x + 1 + {x^2} - 3}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}$

Ví dụ 2:

Cho biểu thức:

$P = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{1 - {x^3}}}$

a. Rút gọn P.

b. Tìm $x \in Z$ để P có giá trị nguyên.

 

Hướng dẫn giải

a. Rút gọn P:

$P = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{1 - {x^3}}} = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$P = \frac{{2.\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \left[ { - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}} \right]$

$ \Leftrightarrow P = \frac{{2{x^2} + 2x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$ \Leftrightarrow P = \frac{{2{x^2} + 2x + 2 + 2{x^2} - 3x + 1 + {x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{5{x^2} + 5x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{5}{{x - 1}}$

b. Với $x \in Z \Leftrightarrow x - 1 \in Z \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow 5 \vdots x - 1$

$x - 1 \in \left\{ { \pm 1, \pm 5} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 4,0,2,6} \right\}$

Ví dụ 3:

Cho $n \in Z$ . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

$A = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}}}{2} + \frac{{5n}}{3}$

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

$A = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}}}{2} + \frac{{5n}}{3} = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}.3}}{{2.3}} + \frac{{5n.2}}{{3.2}} = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{75{n^2}}}{6} + \frac{{10n}}{6}$

$ \Leftrightarrow A = \frac{{125{n^3} + 75{n^2} + 10n}}{6} = \frac{{5n\left( {25{n^2} + 15n + 2} \right)}}{6} = \frac{{5n\left( {5n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right)}}{6}$

Nhận xét: $5n;5n + 1;5n + 2$ là 3 số nguyên liên tiếp suy ra có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2 nên: .

$5n\left( {5n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right) \vdots 6 \Leftrightarrow A \in Z$

Ví dụ 4:

Rút gọn các biểu thức sau:

a. $A = \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $B = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Hướng dẫn giải

a.

$A = \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

$ = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{ - 1}}{{\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{ - 1}}{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)}} = \frac{{ - 1\left( {y - z} \right) - 1\left( {z - x} \right) - 1\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0$

​b.

$B = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

$ = \frac{{ - yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{ - zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{ - xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)}} = \frac{{ - yz\left( {y - z} \right) - zx\left( {z - x} \right) - xy\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{yz\left( {z - y} \right) + xz\left( {x - z} \right) + xy\left( {y - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{{y{z^2} - {y^2}z + x{y^2} - {x^2}y + xz\left( {x - z} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{y\left( {{z^2} - {x^2}} \right) - {y^2}\left( {z - x} \right) + xz\left( {x - z} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{{\left( {xy + yz - {y^2} - xz} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 1$

​Chào các bạn, mình thấy trên diễn đàn có nhiều topic dành cho các bạn học sinh giỏi, nhưng ít chủ đề dành cho các bạn có lực học trung bình khá.

​Mình muốn lập topic này để làm nơi rèn luyện cho các bạn, rất mong nhận được sự ủng hộ của tất cả mọi người.

​Chuyên đề đầu tiên là Phép cộng và phép trừ phân thức đại số - Toán 8.

Test

$$M = ( - \sqrt 2 + \sqrt {10} )(\sqrt 2 + \sqrt {10} ):\sqrt[3]{{ - 64}}$$

Tính giá trị biểu thức:

$$M = \left( {\sqrt 8 - 3\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right).\left( {\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right):\sqrt[3]{{ - 64}}$$

$$B = \sqrt {11} + \sqrt {12} $$

$B = \sqrt {11}  + \sqrt {12} $

Thử: