$\frac{x}{x+1}-2\sqrt{\frac{x+1}{x}}> 3$

Điều kiện: $x<-1$ hoặc $x>0$

Xét $x<-1$ ta có: $VT<0$

                            $ VP>0$

$\Rightarrow VT<VP$ với mọi $x<-1$ $\Rightarrow$ BPT ko có nghiệm $x<-1$

Xét $x>0$, ta có phương trình đã cho tương đương với:

$\Leftrightarrow \frac{x}{x+1}>2\sqrt{\frac{x+1}{x}}+3$

Nhận xét: $VT<1$ với mọi $x>0$

                $VP>3$ với mọi $x$

$\Rightarrow VT<VP$ với mọi $x>0$ $\Rightarrow$ BPT ko có nghiệm $x>0$

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Ta có: 

$\left ( \frac{1}{a}+1+c \right )\left (a^{3}+b^{2}+c \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}=9$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a}+1+c \right )}{9}=\frac{1+a+ac}{9}$ 

Do đó ta chứng minh được:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{3+(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{9}$

Mà ta có: $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=9 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Từ đây ta có: 

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq \frac{3+3+3}{9}=1\Rightarrow $ Đpcm.

Cho $\Delta ABC$ (BA $\neq$ BC). Giả sử đường tròn tâm O bán kính R đi qua hai điểm A, C cắt các cạnh BA và BC lần lượt tại K, N. Các đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC và \Delta BKN$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt B, M. Chứng minh rằng OM vuông góc BM.