Do $x,y \geq 0$ và $x^2+y^2=1$ nên $0 \leq x \leq 1$;$0 \leq y \leq 1$

Suy ra $x^2 \geq x^3; y^2 \geq y^3$ và $1=x^2+y^2 \geq x^3+y^3$

Mặt khác, theo BĐT Holder:

$(x^3+y^3)(x^3+y^3)(1+1) \geq (x^2+y^2)^3=1$ Nên $x^3+y^3 \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Mình chưa học Holder nên bạn còn cách khác không

Cho x,y,z thõa mãn

$x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-1 \right )+z\left ( z-1 \right )\leq \frac{4}{3}$

Chứng minh rằng

$x+y+z\leq 4$

$\frac{2(2a+b)}{a(a+2b)}-\frac{1}{a}=\frac{4a+2b-a-2b}{a(a+2b)}=\frac{3a}{a(a+2b)}=\frac{3}{a+2b}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a} $$

Tại sao lại tương đương bạn

Cho$x,y\geq 0$ và$x^{2}+y^{2}\doteq 1$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

Ta dễ có với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\left(1+\frac1{n^2}\right)^n > 1+n\cdot\frac1{n^2} \implies \sqrt[n]{\frac{n+1}n} < 1+\frac1{n^2}$$.

Áp dụng vào bài toán, ta có:

$$1+\sum_{i=2}^n \sqrt[i]{\frac{i+1}i} < 1+(n-1)+\sum_{i=2}^n \frac1{i^2} < n+1$$

 

THCS bữa nay khó thế ((

 chỗ $\left ( 1+\frac{1}{n^{2}} \right )^{n}> 1+n.\frac{1}{n^{2}}$ này là sao bạn

Cho $a> b> c> 0$. Chứng minh rằng

$a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}> a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$

Cmr:

$-\frac{1}{2}\leq \frac{\left ( a+b \right )\left ( 1-ab \right )}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}\leq \frac{1}{2}$

Chứng minh rằng với $1\leq n\epsilon N$

$\sqrt[n]{n}< 1+\frac{1}{\sqrt{n}}$

Chứng minh rằng

$S=1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+...+\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}< n+1$

Cho  $\left\{\begin{matrix} x,y> 0\\x+y= 1 \end{matrix}\right.$ Tìm GTNN của

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Cái này người ta yêu cầu c/m mà bạn 

Vậy thì mình cm min  $\left ( x+27 \right )\left ( x+28 \right )\left ( x+29 \right )\left ( x+30 \right )= -1$ là xong

Ta có: 

$\left ( x+27 \right )\left ( x+28 \right )\left ( x+29 \right )\left ( x+30 \right )= \left ( x^{2}+57x+810 \right )\left ( x^{2}+57x+812 \right )=\left ( x^{2}+57x+810 \right )^{2} +2\left ( x^{2}+57x+810 \right )+1-1=\left ( x^{2}+57x+811 \right )^{2}-1\geq -1$

Ta có:

$\left ( x-\frac{3}{2} \right )\left ( x-\frac{1}{2} \right )\left ( x+\frac{1}{2} \right )\left ( x+\frac{3}{2} \right )= \left ( x^{2}-\frac{9}{4} \right )\left ( x^{2}-\frac{1}{4} \right )= \left ( x^{2}-\frac{1}{4} \right )^{2}-2\left ( x^{2}-\frac{1}{4} \right )+1-1= \left ( x^2-\frac{1}{4}-1 \right )^{2}-1= \left ( x^2-\frac{5}{4} \right )^{2}-1\geq -1$

Suy ra:

Min  $\left ( x+27 \right )\left ( x+28 \right )\left ( x+29 \right )\left ( x+30 \right )= -1$

Suy ra:

Min $\left ( x+27 \right )\left ( x+28 \right )\left ( x+29 \right )\left ( x+30 \right) +27282930 \doteq 27282930-1\doteq 27282929$

bđt là hàm thuần nhất bậc 0 nên chuản hóa a+b+c=3
$\sum \sqrt{1+\frac{16a}{b+c}}=\sum \sqrt{\frac{b+c+16a}{b+c}}=\sum \frac{3(b+c+16a)}{\sqrt{9b+9c}.\sqrt{b+c+16a}}\ge\sum \frac{3(15a+3)}{\frac{9c+9b+b+c+16a}{2}}=\sum \frac{9(a+5)}{5(a+b+c)+3a}=\sum\frac{9(a+5)}{3(a+5)}=3+3+3=9$
em là thành viên mới nên còn nhiều thiếu sót , mong mọi người bỏ qua 

Chỗ từ 3(15a+3) ra 9(a+5) là sai, bạn xem lại nhé

Cho a,b,c là 3 số dương

Chứng minh rằng

                                 $\sqrt{1+\frac{16a}{b+c}}+\sqrt{1+\frac{16b}{c+a}}+\sqrt{1+\frac{16c}{a+b}}\geq 9$

.

Ta có : $\frac{1}{2+a^2b} = \frac{1}{2}.\frac{2}{2+a^2b} = \frac{1}{2} . ( 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b})$

Do $2 + a^2b = 1 + 1 + a^2b \geq 3\sqrt[3]{a^2b}$ $\Rightarrow 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b} \geq 1 - \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}} = 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3}$

Mà $\sqrt[3]{a^4.b^2} = a . \sqrt[3]{a.b^2} \leq a.\frac{a+2b}{3} = \frac{a^2+2ab}{3}$

$\Rightarrow 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3} \geq 1 - \frac{a^2+2ab}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} \geq \frac{1}{2}(1-\frac{a^2+2ab}{9})$ ( 1 ) 

Làm tương tự , ta có : $\frac{1}{2+b^2c}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{b^2+2bc}{9})$  ( 2 ) 

$\frac{1}{2+c^2a}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{c^2+2ac}{9})$ ( 3 ) 

 

Từ (1) ; (2) ; (3) $\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} + \frac{1}{2+b^2c} + \frac{1}{2+c^2a} \geq \frac{1}{2}(3-\frac{(a+b+c)^2}{9}) \geq \frac{1}{2}(3-\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{9}) = \frac{1}{2}(3-\frac{3.3}{9}) = 1$

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$

Cảm ơn bạn nhé

Cho a,b,c dương thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a^{2}b}+\frac{1}{2+b^{2}c}+\frac{1}{2+c^{2}a}\geq 1$