Quy nap thoi ma . Cho n co dinh va k nguyen duong thoa man $1 \leq k \leq n$, ta se cm (2).
k=1 hien nhien dung .Gia su (2) dung den k=n ta se cm no dung den k=n+1
$ ( 1+ \dfrac{1}{n}) ^{k+1}<(1+ \dfrac{1}{n})(1+ \dfrac{k}{n}+ \dfrac{ k^{2} }{ n^{2} })=1+ \dfrac{k+1}{n}+ \dfrac{ k^{2}+k }{ n^{2} }+ \dfrac{ k^{2} }{ n^{3} }$
Ta se cm $ \dfrac{ k^{2}+k }{ n^{2} }+ \dfrac{ k^{2} }{ n^{3} } \leq \dfrac{ (k+1)^{2} }{ n^{2} } \Leftrightarrow k^{2} \leq n(k+1) $ dung do $k \leq n-1$
lam manh: $ (1+ \dfrac{1}{n}) ^{n} \leq 3- \dfrac{3}{n+2}$

Nếu thế thì bạn cũng đã áp dụng luôn cái bt (2) rồi , ý mình muốn hỏi là tại sao từ bài toán ban đầu ta lại có bài toán phụ là cái BT (2) đó ! Ý muốn nói là làm thế nào mà xuất hiện cái bt đó chứ mình không hỏi chứng minh nó !

Cho bài toán sau
Chứng mình với mọi số tự nhiên n thì
$(1 + \dfrac{1}{n})^n < 3 $ ( 1)

Bài Giải

Rõ ràng là ta không thể quy nạp trực tiếp theo n mà cần tìm một cách giải quyết thích hợp
BDT đúng với n =1 . n= 2 ,
Bây giờ ta xét $ n \geq 3 $ va chứng mình rằng với mọi số nguyên dương k thỏa mãn đk
$ 1 \leq k \leq n $
Thì
$( 1+ \dfrac{1}{n})^n < 1 + \dfrac{k}{n} + \dfrac{k^2}{n^2} $ (2)

PS : AI giải thích tại sao lại ra lại ra BDT 2 được không , minh chưa hiểu pp nào lại đưa ra như vậy

Chứng mình rằng :
$\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {..... + \sqrt 2 } } } } = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}$

PS : Bài này có thể chuyển sang dãy số được đúng không ???

ĐK:$\left\{ \begin{matrix} c{\rm{os}}6x \ne 0 \\ \cos 4x \ne 0 \\ \sin 8x \ne 0 \\ \end{matrix} \right.$
Với điều kiện trên pt (1) tương đương với:
$3\dfrac{{\sin 2x(3 - 4\sin ^2 2x)}}{{\cos 2x(4\cos ^2 2x - 3)}} - 2\dfrac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{1 - \cos ^2 4x}}{{\cos 4x.\sin 4x}}$
$ \Leftrightarrow \sin 2x(\dfrac{{9 - 12\sin ^2 2x - 2(4\cos ^2 2x - 3)}}{{\cos 2x(4\cos ^2 2x - 3)}} - \dfrac{{2\cos 2x}}{{\cos 4x}}) = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{{4\cos ^2 2x + 3}}{{4\cos ^3 2x - 3\cos 2x}} = 2\dfrac{{\cos 2x}}{{\cos 4x}}$
$ \Leftrightarrow (4\cos ^2 2x + 3)(2\cos ^2 2x - 1) = 8\cos ^4 2x - 6\cos ^2 2x$
$ \Leftrightarrow \cos ^2 2x = \dfrac{3}{8}$
$ \Leftrightarrow \cos 4x = - \dfrac{1}{4}$
$x = \pm \dfrac{1}{4}\arccos ( - \dfrac{1}{4}) + k2\pi (k \in Z)$
Kết hợp điều kiện trên, ta có nghiệm của pt là $x = \pm \dfrac{1}{4}\arccos ( - \dfrac{1}{4}) + k2\pi (k \in Z)$

Theo em thì bài này cũng có thể giải theo bằng cách đưa về phương trình của tan thì có thể sẽ nhanh hơn trên một chứt !
Đó là $ \dfrac{2}{sin8x} = \dfrac{1}{sin4xcos4x} = \dfrac{sin^24x + cos^24x}{sin4xcos4x} = tan4x + cot4x $

Giải phương trình
$ tan x + \dfrac{1}{4cotx} = sinx + cosx $
PS : Phương trình này vô nghiệm sao !

$b) 2tanx + cot2x = 2sin2x + \dfrac{1}{sin2x} $
ĐKXĐ: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}(k \in Z) $
Với đk trên pt ban đầu tương đương với:
$\dfrac{{1 - \cos 2x}}{{\sin 2x}} - 2\dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}} + 2\sin x\cos x = 0$
$ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{\sin x}}{{2\sin x\cos x}} - \dfrac{1}{{\cos x}} + 2\cos x) = 0$
$ \Leftrightarrow 2\cos x - \dfrac{1}{{2\cos x}} = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x = - \dfrac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi (k \in Z)$
Kết hợp với điều kiện , ta có pt đã cho có nghiệm $x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi (k \in Z)$.
$c) tan^2x ( 1 - sinx ) + cosx = 1 $
$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z)$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\cos ^3 x - sin^3 x}}{{\cos ^2 x}} - \dfrac{{\cos ^2 x - sin^2 x}}{{\cos ^2 x}} = 0$
$ \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)(1 + \sin x\cos x - \sin x - \cos x) = 0$
$\Leftrightarrow.......$

Anh có thế hướng dẫn em câu A không ah! bời vì câu đó em vẫn chưa ra còn hai câu kia em làm được rồi ah ! Đang rất cần , anh làm ơn giúp em

Giải các PT sau
a) $ 3tan6x - 2tan2x + cot4x = \dfrac{2}{sin8x} $
b) $2tanx + cot2x = 2sin2x + \dfrac{1}{sin2x} $
c)$ tan^2x ( 1 - sinx ) + cosx = 1 $

Bạn dùng thẻ latex thay cho thẻ tex thì công thức toán học mới hiện lên đuợc