2 anh em có tổng số tuổi gấp 3 lần hiêu số tuổi,biết rằng nếu nhân 2 số tuổi với nhau thì được tích gấp 2 lần tổng số tuổi.Tính tuổi anh,tuổi em.
Bài này em tính ra được kết quả 3 va 6 ,em xem có anh nào giải hay hơn không.

Quan trong la cach giai danh cho lop nao

Cách giải của bạn theo hướng qui nạp là đi lên chứ ko phải đi xuống mà bạn lại trừ. Mà mình cũng chưa kiểm tra mấy trường hợp trừ của bạn có đúng ko. Nhưng theo mình đề này sai. Cho một vd là với m=8,t=1 ta thu được k=17 và ta xét dãy gồm 99 số.Thử xét các số từ 9999..971(20 số 9) đến 100...069 (20 số 0) thử xem có tìm được số nào có tổng các chữ số chia hết cho 17 ko. chú ý là số đầu của dãy có tổng các chữ số chia cho 17 dư 1 và số cuối cùng có tổng các chữ số chia 17 dư 16.

Đúng rồi, ví dụ của bạn là Ok. trong chứng minh của tớ có đoạn :
tong cac chu so cua B(n)B(n-1)..B(1)+999…9(t-1 so 9) la khong bang k neu ma co B(n),B(n-1),....B(t)=9.
Thanks for your checking and discussion.
Best regards,

Cách giải của bạn theo hướng qui nạp là đi lên chứ ko phải đi xuống mà bạn lại trừ. Mà mình cũng chưa kiểm tra mấy trường hợp trừ của bạn có đúng ko. Nhưng theo mình đề này sai. Cho một vd là với m=8,t=1 ta thu được k=17 và ta xét dãy gồm 99 số.Thử xét các số từ 9999..971(20 số 9) đến 100...069 (20 số 0) thử xem có tìm được số nào có tổng các chữ số chia hết cho 17 ko. chú ý là số đầu của dãy có tổng các chữ số chia cho 17 dư 1 và số cuối cùng có tổng các chữ số chia 17 dư 16.

Ý nhầm , dấu + chứ không phải dấu - ,tất cả đều là.
B(n)B(n-1)..B(1)+999…9(t-1 so 9) . Tớ sửa không hết

Ý của tớ dang giải thích là :B(n)B(n-1)..B(1)+999…9(t-1 so 9)=B(n)*10^n+B(n-1)*10^(n-1) +....B(1)-10^t-1=(B(n))*10^n+ B(n-1)*10^(n-1)+..(B(t)+1)*10^t+...+B(1)-1
To se xem truong hop cau noi

Thế nếu n>t thì sao bạn thực hiện 2 bước ở sau được lấy cái vd của bài Romania đi là có 39 số với t=1 thì $ 10^t-1=9 $, bạn cm là A-1=38 có tổng các chữ số chia hết cho 11 và hướng của bạn là cứ cộng vào 9 thì tổng các chữ số nó ko đổi, nhưng nếu giả sử mình lấy khoảng 39 số đó là từ 95 đến 133 thì bạn cộng làm sao (cộng đến 92 mà cộng cho số có n-1 số 9 thì sẽ là 99 nó vượt quá giới hạn rồi)

trong vi du cua ban 11=9*1+3=9*t+m , t=1
vay so ban phai cong la 9 ( t chu so 9) chu khong phai la 99.
Neu ban cong so 38 voi 9*t thi trong khoang tu 95 den 133 co so :(101,110,119,128) ( trong khoang tu 56 den 94 co so 92 co tong : 11, vay ban cong 92+9=101, ban tiep tuc cong 101+9=110,110+9=119 nghia la 92+9*3=119 nhung 9*3=27<39)
Nghia ban se chung minh sau moi 1 den 38,38 den 38+9,39+9 den 38+9*2,...,38+9*(m-1) den 38+9*m,38+9m den 38+9*(m+z) voi 9*z<39 se luon ton tai mot so co tong cac chu so chia het cho 11. Thi xem nhu bai toan Romania se duoc chung minh.

Ban co cach giai nao hay thi sharing cho to voi.

Thế nếu n>t thì sao bạn thực hiện 2 bước ở sau được lấy cái vd của bài Romania đi là có 39 số với t=1 thì $ 10^t-1=9 $, bạn cm là A-1=38 có tổng các chữ số chia hết cho 11 và hướng của bạn là cứ cộng vào 9 thì tổng các chữ số nó ko đổi, nhưng nếu giả sử mình lấy khoảng 39 số đó là từ 95 đến 133 thì bạn cộng làm sao (cộng đến 92 mà cộng cho số có n-1 số 9 thì sẽ là 99 nó vượt quá giới hạn rồi)

sorry, to danh nham la roi lai copy nen khi sua lai đoan đầu , quên sửa lại đoạn sau, phai la :

Neu tong cac chu so cua B(n)B(n-1)..B(1) la k
B(n)B(n-1)..B(1)+999…9(t-1 so 9)=B(n)*10^n+B(n-1)*10^(n-1) +....B(1)-10^t-1=(B(n))*10^n+ B(n-1)*10^(n-1)+..(B(t)+1)*10^t+...+B(1)-1
Voi B(t)#9 va B(1)#0 thi ta co the tinh tong cac chua so cua B(n)B(n-1)..B(1)-999…9(t-1 so 9) la B(n)+B(n-1)+...B(1)=k.
Voi B(t)=9 va B(1)=0 thi cung tong cac chua so cua B(n)B(n-1)..B(1)-999…9(t-1 so 9) la k
Voi hoac B(t)=9 hoac B(1)=0 thi tong la tong cac chua so cua B(n)B(n-1)..B(1)-999…9(t-1 so 9) la
k+9 ( voi B(1)=0) -> khi do tong cac chua so cua (B(n)B(n-1)..B(1)+999…9(t-1 so 9)-9) la =k
k-9
Voi B(t)=9 -> khi do tong cac chua so cua (B(n)B(n-1)..B(1)+999…9(t-1 so 9)-9*10^(t-2)) la =k.


Vi du truong hop ban noi la: tu 95 den 133 ban co the cong 38+9*9=119. so do co tong chia het :11
Please comment if any more

Thế tại sao số 91 có tổng các chữ số là 10 còn số 100 có tổng các chữ số là 1. Bạn cần giải thích rõ ràng hơn nữa đi. Bài toán có A số tự nhiên liên tiếp nên mình nghĩ cái số tự nhiên A-1 chẳng liên quan j` đến dãy đó cả.

Xin loi vi to khong noi ro . Bay gio to giai thich ve bai toan nhu sau:
Neu ta chung minh duoc rang tu A den A+z (voi z<A) ton tai mot so co tong cac chu so chia het cho k tuc la tu A den 2A ton tai mot co tong chia het cho k. Hay noi dung hon neu ta chung minh duoc khoang cach giua 2 so (ma co tong cac chu so chia het cho k) <A thi ta suy ra DPCM

Neu tong cac chu so cua B(n)B(n-1)..B(1) la k
B(n)B(n-1)..B(1)+999…9(t-1 so 9)=B(n)*10^n+B(n-1)*10^(n-1) +....B(1)-10^t-1=(B(n))*10^n+ B(n-1)*10^(n-1)+..(B(t)+1)*10^t+...+B(1)-1
Voi B(t)#9 va B(1)#0 thi ta co the tinh tong cac chua so cua B(n)B(n-1)..B(1)-999…9(n-1 so 9) la B(n)+B(n-1)+...B(1)=k.
Voi B(n)=9 va B(1)=0 thi cung tong cac chua so cua B(n)B(n-1)..B(1)-999…9(n-1 so 9) la k
Voi hoac B(n)=9 hoac B(1)=0 thi tong la tong cac chua so cua B(n)B(n-1)..B(1)-999…9(n-1 so 9) la
k+9 ( voi B(1)=0) -> khi do tong cac chua so cua (B(n)B(n-1)..B(1)-999…9(n-1 so 9)-9) la =k
k-9 voi B(n)=9 -> khi do tong cac chua so cua (B(n)B(n-1)..B(1)-999…9(n-1 so 9)-9*10^(n-2)) la =k.
Ban co the xet ky hon cho moi trong hop..
Nhung la thay 999…9(t-1 so 9)< A ( A co t chu so nhu da phan tich )
Vay suy ra DPCM

CMR không thể biểu diễn bất kì 1 số nguyên tố nào thành tổng bình phương của 2 số khác nhau.

5=1+4 thi sao ha ban

Cách của bạn cũng giống như cách của bạn PTH_Thái Hà ở trên thôi.

Sorry, tai to khong de y.

Chẳng nhẽ bài giải của TST chỉ có 1 dòng đó thôi sao. Bạn giải thích rõ được không? Tại sao tổng các chữ số của A-1 chia hết cho k thì trong A stn liên tiếp có 1 số có tổng chia hết cho k.

neu mot so (A-1)( co chu so sau cung khac 0) co tong cac chu so bang k thi so (A-1)+9 cung co tong cac chu so bang k . Tu do ban co suy luan tren

Cho tập hợp A và tập hợp B gồm hữu hạn các số nguyên dương và mỗi tập có nhiều hơn hai phần tử.
Ta nói rằng hai số nguyên là "thân thiết" với nhau nếu ước số chung lớn nhất của hai số a, b khác 1.
Biết mỗi phần tử của A đều không "thân thiết" với ít nhất một phần tử của B và mỗi phần tử của B đều "thân thiết" với ít nhất một phần tử của A.
Chứng minh rằng tồn tại hai cặp $ a_{1}, a_{2}$ thuộc A và $b_{1}, b_{2}$ thuộc B sao cho:
$a_{1}, b_{1}$ "thân thiết" với nhau;
$ a_{2}, b_{2}$ "thân thiết" với nhau
nhưng $a_{1}$ không "thân thiết" với $b_{2}$
và $a_{2}$ không "thân thiết" với $b_1$.

Nó thuộc chương trình lớp 10, và có liên quan gì đấy đến tích Đề-các của tập hợp ạ...

Ban co the chung minh bang phuong phap phan chung

Nếu n=1 thì bài toán sai! Nếu $ n \ge 2 $ thì ta có: $ \sum a_1(a_1-n)=0 $
Rõ ràng phải có ít nhất 1 trong n thừa số ko âm nên phải có ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng m. Suy ra đpcm

ban oi, neu a_1<0 thi a_1(a_1-n)>0

Thế phải chăng dựa vào lời giải này của bạn ta làm cho bài Romania TST như sau:
Vì 38 có tổng các chữ số chia hết cho 11 nên suy trong 39 số tự nhiên liên tiếp tồn tại 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 11???

Dung vay do ban

Chịu

Chiu la sao

Giúp em bài này với ạ, em đang cần gấp mà nghĩ mãi chả ra (

Giải phương trình

$log_5 (sqrt{x^2-3x+2}+2) + (\dfrac{1}{5})^{3x - x^2+1} =2$

Dat sqrt{x^2-3x+2}=t>=0 vay ta co log_5 (t+2) + (5)^{t^2-3} =2 va de dang chung minh duoc ve trai cua phuong trinh la ham dong bien. Vay phuong trinh co mot nghiem.
dat tiep : log_5 (t+2)=A vay t+2= 5^{A}
va A+(5)^{t^2-3}=2
Tu 2 bieu thuc ta suy ra A+(5)^{t^2-3}=5^{A}-t --> (5)^{t^2-3}+t=5^{A}+(-A).
Bieu thuc tren bang nhau neu t^2-3 =A va t=-A. Tu 2 phuong trinh tren ta co t^2-3=-t -> t^2+t-3=0 ->(t+1/2)^{2}=13/4, tu do tinh ra t( voi t>0)-> tinh ra x

Giúp em bài này với ạ, em đang cần gấp mà nghĩ mãi chả ra (

Giải phương trình

$log_5 (sqrt{x^2-3x+2}+2) + (\dfrac{1}{5})^{3x - x^2+1} =2$

Dat sqrt{x^2-3x+2}=t>=0 vay ta co log_5 (t+2) + (5)^{t^2-3} =2 va de dang chung minh duoc ve trai cua phuong trinh la ham dong bien. Vay phuong trinh co mot nghiem.
dat tiep : log_5 (t+2)=A vay t+2= 5^{A}
va A+(5)^{t^2-3}=2
Tu 2 bieu thuc ta suy ra A+(5)^{t^2-3}=5^{A}-t --> (5)^{t^2-3}+t=5^{A}+(-A).
Bieu thuc tren bang nhau neu t^2-3 =A va t=-A. Tu 2 phuong trinh tren ta co t^2-3=-t -> t^2+t-3=0 ->(t+1/2)^{2}=13/4, tu do tinh ra t( voi t>0)-> tinh ra x

Đặt $A=10^{t}-1+(m+1) 10^{t}$
Phân tích $A-1=10^{t}-1+(m+1) 10^{t}-1 =10^{t}(m+2)-1-1=10^{t} (k-9t+2)-1-1=10^{t} (k-9t+1)+10^{t}-1=10^{t} (k-9t+1)+9 .10^{t-1}+9.10^{t-2}+..+9.10+9-1= 10^{t}.(k-9t+1)+9.10^{t-1}+9.10^{t-2}+..+9.10+8$. Tuc A-1 co t chu so dang :(k-9t+1),9,9,9,9,...9,8 ( vi du so 299998) . Vay tong cac chua so cua A-1 la : $(k-9t+1)+9(t-1)+8=k-9t+1+9t-9+8=k$ . Vay tong cac chu so cua A-1 $\vdots k$ -> trong A so nguyen duong lien tiep ton tai so co tong cac chu so chia het cho k[

Cách hết sức đơn giản nè bạn:
Giả sử:
$\begin{array}{l} n^2 + n + 2 \equiv 0\left( {\bmod 15} \right) \\ \Leftrightarrow n^2 + n \equiv 13\left( {\bmod 15} \right) \\ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) \equiv 13\left( {\bmod 15} \right) \\ \end{array}$
Điều khẳng định cuối cùng không thể xảy ra, suy ra đpcm

Thân

n^{2}+n+2= (3k+r)^{2}+(3k+r)+2=9 k^{2}+6kr+3k+ r^{2}+r+2 ( r=0,1,2)
Nhung r^{2}+r+2 khong chia het chỏ voi r=0,1,2 vay n^{2}+n+2 khong chia het cho 3

đề thế này hả :
Tìm số có 3 chữ số $\bar{abc}$ thỏa :
$\bar{ab}.c = a\bar{mn}$
$\bar{mn}^2 = 2\bar{abc}$

??? m, n là như thế nào đó bạn ????

Co the giai the nay :
mn 2 -> mn^2 4 -> c la chan. Nhung do 2*abc la so chinh phuong nen c =2 hoac 8 ( vi so chinh phuong co so tan cung la 1,4,5,6,9).
mat khac 100<amn=ab*c< 31*c -> c>3. Vay c=8.

Do ab la ngay cua thang nen a<=3 vay amn=ab*c=8*ab<8*31=248. Vay a<=2.
2*100<mn^2=2*abc<2*298=596 -> 14<mn<=24.
mn^2=2*ab8 -> n=4 or 6 ( vi chi co 4 ava 6 thi mn^2 moi co tan cung bang 6)
Vay mn=16 or 24.
mn=16-> mn^2=256=2*ab8 -> abc=128 , nhung ab*c=12*8=96 amn
mn=24 -> mn^2=576=2*ab8 -> abc=288, ma 28*8=224 . thoa man mn=24.

Nagy thang nam sinh cua ban do la 28-8

bài 1 thì như ta đã biết n và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9 nên hiệu của chúng chia hết cho 9

Co the nhu sau : gia su n co k chu so : a_{k} a_{k-1}... a_{1} thi n-S(n)= a_{k}* 10^{k}+ a_{k-1}* 10^{k-1}+.... a_{1}- a_{k}- a_{k-1}...- a_{1}= a_{k}*( 10^{k}-1) + a_{k-1}* 10^{k-1}+ ...+ a_{2} *9. Ma 10^{k}-1 :vdots9 1-1 9 0 . Tu do suy ra DPCM.