thienlonghoangde654321 nội dung
Có 5 mục bởi thienlonghoangde654321 (Tìm giới hạn từ 16-05-2020)
#248170 mot so chuyen de
Đã gửi bởi thienlonghoangde654321 on 25-11-2010 - 16:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
#243485 chuyende:cac ki thuat su dung B-C-S và Cauchy
Đã gửi bởi thienlonghoangde654321 on 10-10-2010 - 18:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
File gửi kèm
- CAC_KI_THUAT_SU_DUNG_BDT_COSI_VA_BUNHIA.doc 2.01MB 2103 Số lần tải
- CAC_KI_THUAT_SU_DUNG_BDT_COSI_VA_BUNHIA.doc 2.01MB 1755 Số lần tải
#243484 chuyende:cac ki thuat su dung B-C-S và Cauchy
Đã gửi bởi thienlonghoangde654321 on 10-10-2010 - 18:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
tai file;
#243483 phương pháp cân bằng hệ số trong chứng minh bđt
Đã gửi bởi thienlonghoangde654321 on 10-10-2010 - 17:57 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Bất đẳng thức
File gửi kèm
- chuyendetieptuyentrongviecchungminhbatdangthuc.pdf 644.37K 12888 Số lần tải
#243482 phương pháp cân bằng hệ số trong chứng minh bđt
Đã gửi bởi thienlonghoangde654321 on 10-10-2010 - 17:53 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Bất đẳng thức
chứng minh
Phụ lục A: về các bất đẳng thức Carlson:2 BĐT được đề cập đến trong CD3, VD4 đều có tên chung là các BĐT Carlson, dễ thấy rằng mỗi BĐT Carlson cần đến 1 phương án giải quyết khác nhau, mặc dù kỹ thuật của chúng đều là cân bằng hệ số. Để hiểu rõ hơn về vấn đề này mời các bạn thử giải bài toán sau
BT: các BĐT sau có đúng không, nếu đúng hãy chứng minh, có thẻ làm chặt hơn không, nếu có thể hãy chỉ ra đánh giá tốt nhất:
i) $(\sum_{i=1}^{n}{x_i})^4<54(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^2})(\sum_{i=1}^{n}{i\cdot{x_{i}^2}})(\sum_{i=1}^{n}{i^2x_{i}^2})$
ii)$(\sum_{i=1}^{n}{x_i})^{15}<3\cdot{10^5}(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^3})(\sum_{i=1}^{n}{i\cdot{x_{i}^3}})(\sum_{i=1}^{n}{i^2x_{i}^3})(\sum_{i=1}^{n}{i^3x_{i}^3})(\sum_{i=1}^{n}{i^3x_{i}^3})(\sum_{i=1}^{n}{i^4x_{i}^3})$
Phụ lục B: chứng minh định lý euler:$\lim_{n\to{\infty}}{\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{i^2}}=\dfrac{\pi^2}{6}$:
Chúng ta đã biết công thức Moivre: $\cos{nx}+i\sin{nx}=(\cos{x}+i\sin{x})^n$, cân bằng hệ số phần ảo rồi thay $n:=2n+1$ ta có
$\sin{(2n+1)x}=\sin^{2n+1}{x}(C^{1}_{2n+1}cotg^{2n}{x}-C^{3}_{2n+1}cotg^{2n-2}{x}........)$
Như thế n số $cotg^{2}{\dfrac{k\pi}{2n+1}},k=\overline{1,n}$ là tất cả các nghiệm của đa thức bậc n: $C^{1}_{2n+1}X^N-C^{3}_{2n+1}X^{n-1}..........$, như thế áp dụng định lý Viet ta có $\sum_{i=1}^{n}{cotg^2{\dfrac{k\pi}{2n+1}=\dfrac{C^{3}_{2n+1}}{C^{1}_{2n+1}}=\dfrac{n(2n-1)}{3}\Rightarrow{\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{k\pi}{2n+1}}}}=\dfrac{2n(n+1)}{3}$, áp dụng bất đẳng thức kép: $\sin{\alpha}<\alpha<tg{\alpha},\forall{\alpha\in{(0,\dfrac{\pi}{2})}}\Rightarrow{\dfrac{1}{\sin{\alpha}}>\dfrac{1}{\alpha}>cotg{\alpha}$
Dẫn tới: $\dfrac{\pi^2}{6}\cdot{[(1-\dfrac{2}{2n+1})(1-\dfrac{1}{2n+1})]<\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{i^2}}<\dfrac{\pi^2}{6}\cdot{[(1+\dfrac{1}{2n+1})(1-\dfrac{1}{2n+1})]$, lấy lim 2 vế, áp dụng nguyên lý kẹp, ta có điều phải chứng minh
Tài liệu tham khảo: báo toán học và tuổi trẻ, tạp chí kvant số 6 năm 1974
- Diễn đàn Toán học
- → thienlonghoangde654321 nội dung