Đã gửi bởi
Đổi gió, tiện cũng chia sẻ cho các bạn một kĩ thuật nhỏ nhưng khá hay khi kết hợp bđt $Vacs$ và phương pháp này.
Trước tiên ta nói về bất đẳng thức $Vacs$ Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + b + 1}} + \frac{1}{{{c^2} + c + 1}} \ge 1\]
Chứng minh:
Bài này ta hoàn toàn có thể dùng kĩ thuật ở trên để chứng minh, nhưng mình sẽ chứng minh nó bằng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$.
Do $abc=1$ nên sẽ tồn tại $x;y;z>0$ sao cho $a=\dfrac{yz}{x^2}; b=\dfrac{zx}{y^2}; c=\dfrac{xy}{z^2}$
Khi đó ta có:
\[LHS = \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{\frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}{z^2}}}{{{x^4}}} + 1}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^4}}}{{{x^4} + {x^2}yz + {y^2}{z^2}}}} } \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{{x^4} + {y^4} + {z^4} + xyz\left( {x + y + z} \right) + {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}}} \ge 1\]
Thật vậy BĐT cuối tương đương:
\[{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}x \ge xyz\left( {x + y + z} \right)\]
Đây là bđt quen thuộc. Nên ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng của bđt này thì mình sẽ post sau.giờ có việc bận rổi.
bạn ơi có thể giải bài này theo pp UCT đc ko vậy, post mình cách giải nhé, mình làm thử mà bị bí rồi...thanks bạn !
