Chủ đề này có 7 trả lời

[Zaraki]

Câu I Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 2}}$ có đồ thị là $(C)$.

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.

• Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$, biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB = IB.\sqrt 2$ với $I(2;2)$.

Câu II  

• Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x + 1}  + \sqrt {2y + 1}  = \frac{{{{(x - y)}^2}}}{2} \\  (x + y)(x + 2y) + 3x + 2y = 4 \\  \end{array} \right.$$

• Giải phương trình sau trên tập số thực

$$\frac{{\sin 2x + 3\tan 2x + \sin 4x}}{{\tan 2x - \sin 2x}} = 2.$$

Câu III

• Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(5; - 7)$, điểm $C$ nằm trên đường thẳng có phương trình: $x - y + 4 = 0$ . Đường thẳng đi qua đỉnh $D$ và trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có phương trình: $3x - 4y - 23 = 0$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$ biết điểm $B$ có hoành độ dương.

     b.  Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Gọi $P, Q$ lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ $AB$ và $AC$ sao cho các điểm $P, Q, O$ thẳng hàng. Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên các đường thẳng $BC, AB$. Gọi $D’, E’$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $Q$ lên các đường thẳng $BC, AC$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $DE$ và $D’E’$. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $KDD’$ theo $R$.

 

 

Câu IV Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng đáy bằng [TEX]{60^0}[/TEX]. 

a) Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

b) Tính khoảng cách giữa $SA$ và $BD$ theo $a$.

 

 

Câu V  Cho $a, b, c$ là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$$P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 1} }} - \frac{2}{{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}}.$$

 

Câu VI Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định:

$$\left\{ \begin{array}{l}  {u_1} = \frac{2}{{2013}} \\  u_n^2.(2 - 9{u_{n + 1}}) = 2{u_{n + 1}}(2 - 5{u_n}),\forall n \ge 1 \\  \end{array} \right.$$

Xét dãy số ${v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - {u_1}}} + \dfrac{{{u_2}}}{{1 - {u_2}}} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}$. Tìm $\lim {v_n}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 06-10-2013 - 22:26

[thaoteen21]

Câu II

• Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} = \frac{{{{(x - y)}^2}}}{2} (1) \\ (x + y)(x + 2y) + 3x + 2y = 4 (2)\\ \end{array} \right.$$

từ PT(2)$\Leftrightarrow x^{2}+x(3y+3)+2y^{2}+2y-4=0 $
$\Delta = (3y+3)^{2}-4.(2y^{2}+2y-4)= (y+5)^{2} \Leftrightarrow x=y+1 và x=-2y-4$
sau đó thay vào PT(1)--> giải tiếp

• Giải phương trình sau trên tập số thực

$$\frac{{\sin 2x + 3\tan 2x + \sin 4x}}{{\tan 2x - \sin 2x}} = 2.$$

ĐK: sin 4x$\neq 0$ $\Leftrightarrow x\neq \frac{k\pi }{4}$
PT nhân chéo, chuyển vế tương đương
$3 sin 2x+ sin 4x+tan2x=0 \Leftrightarrow 3.sin2x.cos2x+2sin2x.cos^{2}2x+ sin 2x=0 \Leftrightarrow sin2x.(2cos^{2}2x+3cos2x+1)=0 $
$\Leftrightarrow$ sin2x=0 hoặc cos2x=1 hặoc cos2x=$\frac{-1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 07-10-2013 - 15:48

[E. Galois]

 

Câu I Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 2}}$ có đồ thị là $(C)$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$, biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB = IB.\sqrt 2$ với $I(2;2)$.

 

b) Dễ thấy $I$ là giao của hai đường tiệm cận. Từ điều kiện $AB = IB.\sqrt 2$  ta suy ra tam giác $AIB$ vuông cân đỉnh $I$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm bằng $-1$. Ta có:

$$y'=-1 \Leftrightarrow (x-2)^2=1\Leftrightarrow x=3;x=1 $$

Bài toán trở thành viết PTTT của đồ thị hàm số tại hai điểm đã biết hoành độ.

 

 

Câu 3a)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(5; - 7)$, điểm $C$ nằm trên đường thẳng có phương trình: $(d_1):x - y + 4 = 0$ . Đường thẳng đi qua đỉnh $D$ và trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có phương trình: $(d_2): 3x - 4y - 23 = 0$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$ biết điểm $B$ có hoành độ dương.

Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $(d_2)$. Dễ thấy: $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$

Giả sử $E(4e+1;3e-5) \in (d_2), C(c;c+4) \in (d_1)$, ta có:

$$\left\{\begin{matrix}c-12e=-7\\c-9e=-5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=1\\e=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$$

Từ đó $E\left ( \frac{11}{3};-3 \right ), C(1;5)$. 

Đường thẳng đối xứng với $(d_2)$ qua tâm $I(3;-1)$ của hình chữ nhật có phương trình:

$$(d):3x-4y-3=0$$

Đường tròn đường kính $AC$ có phương trình:

$$(x-3)^2+(y+1)^2 = 40$$

Giao điểm của đường tròn trên và $(d)$ có hoành độ dương chính là điểm $B$

[Rias Gremory]

• Giải phương trình sau trên tập số thực
• 
  

$$\frac{{\sin 2x + 3\tan 2x + \sin 4x}}{{\tan 2x - \sin 2x}} = 2.$$

 

Điều kiện:

$\left\{\begin{matrix} cos2x\neq 0 \\ tan2x-sin2x\neq 0 \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow 3sin2x+tan2x+sin4x=0

\Leftrightarrow 3sin2xcos2x+sin2x+sin4xcos2x=0$

$\Leftrightarrow (cos2x+1)(sin2x+sin4x)=0$

$\begin{bmatrix} cos2x+1=0 \\ sin4x+sin2x=0 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} cos2x=-1 \\ sin2x=0 \\ cos2x=\frac{-1}{2} \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi (L) \\ x=k\frac{\pi }{2}(L) \\ x=(+-)\frac{\pi }{3}+k\pi \end{bmatrix}$

Phương trình có các họ nghiệm $x=(+-)\frac{\pi }{3}+k\pi$

[mathfan]

Có ai giải được câu tìm lim không?     

[Tran Hoai Nghia]

Câu 1:ý 2:

Đây là toàn bộ lời giải của mình(mình tự làm 100% đó).

Dựa vào đồ thị và đề cho, ta có:

$\left\{\begin{matrix} IA^{2}+IB^{2}=AB^{2} & \\ AB=IA\sqrt{2} & \end{matrix}\right. \Rightarrow IA^{2}=IB^{2}\Leftrightarrow IA=IB$

Do đó $\Delta ABC$ vuông cân.

Xét đường thẳng $d:x+y-2=0$(dựa và đồ thị ta đoán ra được).Phương trình hoàng độ giao điểm của d và (C) là:

$\frac{2x-3}{x-2}=2-x$

$\Leftrightarrow x=1$( nhận)

Suy ra d cắt (C) tại 1 điểm duy nhất, suy ra d là tiếp tuyến của (C).

Dựa vào đồ thị thì B(0;2),A(2;0) thuộc d và IAB là tam giác vuông cân, suy ra $d:x+y-2=0$ thỏa yêu cầu bài toán.

Gọi d' là đường thẳng đối xứng với d qua $I(2;2)$, ta có:

$d':x+y-6=0$

Dựa vào đồ thị dễ thấy d' thỏa yêu cầu bài toán.Vậy d$d:x+y-2=0$ và $d:x+y-6=0$ là tiếp tuyến cần tìm.

 

Câu 2:

a/$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\frac{(x-y)^{2}}{2}(1) & \\ (x+y)(x+2y)+3x+2y=4(2) & \end{matrix}\right.$

Điều kiện:$x,y\geqslant \frac{-1}{2}$

Ta có $(2)\Leftrightarrow x^{2}+(3y+3)x+2y^{2}+2y-4=0$

Xem phương trình này là phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y, giải phương trình ta được nghiệm:

$x=-2y-4\vee x=1-y$

Thế $x=-2y-4$ vào (1), ta có:

$\sqrt{-4x-7}+\sqrt{2y+1}=\frac{(3y+4)^{2}}{2}$

ta có:$\left\{\begin{matrix} -4y-7\geqslant 0 & \\ 2y+1\geqslant 0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\leq \frac{-7}{4} & \\ y\geqslant \frac{-1}{2} & \end{matrix}\right.$(vô lí)

Do đó, trường hợp này vô nghiệm.

Thế $x=1-y$(3) vào (1), ta có:

$\sqrt{3-2y}+\sqrt{2y+1}=\frac{(2y-1)^{2}}{2}(\frac{-1}{2}\leqslant y\leqslant \frac{3}{2})$

Đặt $t=y-\frac{1}{2}(-1\leqslant t\leqslant 1)$, phương trình trên trở thành:

$\sqrt{2-2t}+\sqrt{2+2t}=2t^{2}(4)$

Xét hàm số $f(t)=2t^{2}(-1\leqslant t\leqslant 1)\Rightarrow 0\leqslant f(t)\leqslant 2$(5)

Xét hàm số $g(t)=\sqrt{2-2t}+\sqrt{2+2t}(-1\leqslant t\leqslant 1)$

$g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{2+2t}}-\frac{1}{2\sqrt{2-2t}}(-1\leqslant t\leqslant 1)$

$g'(t)=0\Leftrightarrow t=0$ ( nhận)

$g(0)=2\sqrt{2},g(1)=g(-1)=2$

$\Rightarrow 2\leqslant g(t)\leqslant 2\sqrt{2}$(6)

Từ (5) và (6) suy ra $g(t)\geqslant f(t)$.Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} f(t)=2 & \\ g(t)=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=1\vee t=-1 & \\ t=1\vee t=-1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow t=1\vee t=-1 \Leftrightarrow y=\frac{3}{2}\vee y=\frac{-1}{2}$

Nếu $y=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{-1}{2}$

Nếu $y=\frac{-1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}$

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm $(x;y)=(\frac{3}{2};\frac{-1}{2}),(\frac{-1}{2};\frac{3}{2})$.

b/Điều kiện:$x\neq k\frac{\pi }{2},x\neq \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

Phương trình đã cho tương đương:

$3\sin 2x+\tan 2x+\sin 4x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0\vee 3+\frac{1}{\cos 2x}+2\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow 2x=k\pi\vee 2\cos ^{2}2x+3\cos 2x+1=0\Leftrightarrow x=k\frac{\pi }{2}(loai)\vee \cos 2x=-1\vee \cos 2x=\frac{-1}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (loai)\vee x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.

 

Câu 5:THeo đề bài, ta có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+1^{2}\geqslant \frac{(a+b+c+1)^{2}}{4}$( theo bất đẳng thức SCHWARZ)

$\Rightarrow P\leqslant \frac{2}{a+b+c+1}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}(1)$

Đặt x=a+1,y=b+1,z=c+1($x,y,z\geqslant 1$,(1) trở thành:

$P\leqslant \frac{2}{x+y+z-2}-\frac{2}{xyz}$

Ta lại có:$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$(AM-GM).Suy ra:

$\frac{2}{x+y+z-2}-\frac{2}{xyz}\leqslant \frac{2}{3\sqrt[3]{xyz}-2}-\frac{2}{xyz}$

đặt t=$\sqrt[3]{xyz}$($t\geqslant 1$,xét hàm số:

$f(t)=\frac{2}{3t-2}-\frac{2}{t^{3}}(t\geqslant 1)$

$f'(t)=\frac{-6}{(3t-2)^{2}}+\frac{6}{t^{4}}(t\geqslant 1)$

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\vee t=2$

$\lim_{t\rightarrow +\infty }f(t)=0$

Lập bảng biến thiên dễ thấy max f(t)=$\frac{1}{4}$

Vậy max P=$\frac{1}{4}$ khi a=b=c=1 

 

 

Câu 3:

Gọi $d:x-y+4=0$.$C\in d\Rightarrow C(a;a+4)$

$d1:3x-4y-23=0$.$D\in d1\Rightarrow C(\frac{4b+23}{3};b)$

Gọi I là trung điểm của AC$\Rightarrow I(\frac{a+5}{2};\frac{a-3}{2})$

I là trung điểm của BD $\Rightarrow B(\frac{3a-4b-8}{3};a-b-3)$

Gọi N là trung điểm của AB $\Rightarrow N\left ( \frac{3a-4b+7}{6};\frac{a-b-10}{2} \right )$

$N\in d1\Rightarrow a=1\Rightarrow C(1;5),B(\frac{-5-4b}{3};-2-b),I(3;-1)$

ta có:IB=IC$\Leftrightarrow 40=\frac{(14+4b)^{2}}{9}+(b+1)^{2}\Leftrightarrow b=1\vee b=\frac{-31}{5}$

$b=1\Rightarrow B(-3;-3)$(loại)

$b=\frac{-31}{5}\Rightarrow B(\frac{33}{5};\frac{21}{5})$(nhận)

Vậy $B(\frac{33}{5};\frac{21}{5}),C(1;5)$

Câu hình không gian thì thể tích bằng $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

Các bạn thử chấm xem mình được giải gì? thanks.  

[ukio]

Câu VI Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định:

$$\left\{ \begin{array}{l}  {u_1} = \frac{2}{{2013}} \\  u_n^2.(2 - 9{u_{n + 1}}) = 2{u_{n + 1}}(2 - 5{u_n}),\forall n \ge 1 \\  \end{array} \right.$$

Xét dãy số ${v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - {u_1}}} + \dfrac{{{u_2}}}{{1 - {u_2}}} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}$. Tìm $\lim {v_n}$.

 

Gợi ý 

 

chứng minh dãy $u_{n}$ là tăng và không bị chặn trên

và $\frac{u_{k}}{1-u_{_{k}}}=\frac{-4}{3}\left ( \frac{1}{3u_{k}-2}-\frac{1}{3u_{k+1}-2}\right )$

Từ đây dễ dàng tính được tổng rồi suy ra giới hạn.

[E. Galois]

Gợi ý 

 

chứng minh dãy $u_{n}$ là tăng và không bị chặn trên

và $\frac{u_{k}}{1-u_{_{k}}}=\frac{-4}{3}\left ( \frac{1}{3u_{k}-2}-\frac{1}{3u_{k+1}-2}\right )$

Từ đây dễ dàng tính được tổng rồi suy ra giới hạn.

Suy luận thế nào để thu được đẳng thức 

$$\frac{u_{k}}{1-u_{_{k}}}=\frac{-4}{3}\left ( \frac{1}{3u_{k}-2}-\frac{1}{3u_{k+1}-2}\right )$$

nhỉ