Em mới search được link này khá hay về lịch sử của nhà toán học Alexander Grothendieck: https://arxiv.org/pdf/1605.08112.pdf

Hy vọng có ai dịch ra để mọi người cùng đọc với ạ!

Em chia sẻ một chút ý kiến của em về toán olympic, em vốn là người không giỏi về olympic nhưng vẫn luôn quan niệm rằng, mình vẫn luôn theo dõi nó dù mình không còn học cấp 3 nữa (hồi từ lớp 10 lên học toán chuyên, ập vào những bài toán olympic thực sự vô cùng khó, cầm một cái đề giỏi lắm là giải được 1 câu) , và em luôn  cực kì thích thú với hai mảng là số học và tổ hợp, em vẫn cố gắng trao dồi nó cho đến tận bây giờ. Và hiện tại, e đang theo học CNTT, không còn làm toán nhiều nữa, nhưng em nhận ra một số điều thú vị mà kiến thức số học, tổ hợp đem lại cho em, đó là khi em học về mảng quy hoạch động trong tin học thì e thấy nó có nhiều phần liên quan đến tổ hợp đếm, hay hiện tại e đang có học về RSA thì nó lại liên quan đến số học ,đó là những phép đồng dư. Và e càng học thì e cảm thấy rằng, để phát huy những cái hay của toán thì mình cần thêm giữa cầu nối toán sơ cấp và toán cao cấp. Chẳng hạn như bài toán fibonacii, nó có một cách giải liên quan đến ma trận khá là hay hoặc những bài toán liên quan đến công thức truy hồi tuyến tính tương tự như vậy ! Em mong là diễn đàn mình ngày càng có nhiều bài toán mang tính cầu nối giữa sơ cấp với cao cấp, giữa hình học với đại số, rồi những bài toán mô hình hoá những vấn đề thực tế, như vậy toán học sẽ thú vị hơn ạ ! 

Em có thêm một ý kiến nữa: Những bài được đăng toán hiện đại, chúng ta nên lưu lại ở một nơi nào đó để lỡ diễn đàn mất dữ liệu thì vẫn có cái để khôi phục ạ!

Em thấy bài này hay : https://www.quantama...fhASXuh_Dg4fFlU nên share ở đây ạ, hy vọng có ai dịch ra Tiếng Việt để mọi người cùng đọc ạ !

E có thêm một đề xuất nữa là : Sau khi đọc paper này : https://arxiv.org/pdf/2104.06741.pdf [DIOPHANTINE PROBLEMS OVER Z ab MODULO PRIME NUMBERS]

Em thấy là họ định nghĩa lại định lý thặng dư Trung Hoa theo một cách khác, có vẻ cao cấp. Nên e mong là có các post để làm cầu nối giữa những thứ sơ cấp và cao cấp như thế này ạ ! 

Dạ e có một chút ý tưởng như này nhé: Em thấy ECC nó xuất phát từ cái phương trình: $y^2=x^3+ax+b$, tuy nó chỉ xuất phát từ phương trình đơn giản này mà lại mở ra biết bao ứng dụng trong mật mã học 

Em có xem trên youtube:  [Geometry of Elliptic Curve] và em thấy bài này nó thể hiện rõ giữa đại số và hình học (mặc dù em xem nhưng em không hiểu nhiều lắm đâu, vì nó có nhiều cái cao cấp quá).

Nên em đề xuất là các anh có thể dựa trên đây để viết một post về nó được không ạ ! 

Ngoài ra em có search được một file pdf về ECC:https://ocw.mit.edu/...cts/asarina.pdf

Nên em share ở đây luôn ạ !

Bài 9: [IMO 1988] Cho $n$ là một số nguyên dương và $A_1,A_2,...,A_{2n+1}$ là các tập hợp con của tập hợp $B$. Giả sử rằng: 

(a) Mỗi $A_i$ có đúng $2n$ phần tử.

(b) Mỗi $A_i\cap A_i(1\le i<j\le 2n+1)$ chứa đúng một phần tử.

(c) Mọi phần tử của $B$ đều thuộc vào ít nhất hai tập con $A_i$.

Hỏi rằng với những giá trị nào của số $n$ thì chúng ta có thể đánh dấu mọi phần tử của $B$ bởi các số $0$ và $1$ sao cho mỗi $A_i$ có đúng $n$ phần tử được đánh số $0$

Bài 10: [IMO 1966] Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, còn $\alpha, \beta, \gamma$ tương ứng là ba góc đối diện với ba cạnh trên. Chứng minh rằng, nếu $a+b=tan(\frac{\gamma}{2})(a*tan(\alpha)+b*tan(\beta))$, thì tam giác đang xét là tam giác cân.

Bài 11: [IMO 1990] Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thoả : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y},\forall x,y\in \mathbb{Q}^{+}$

Bài 13: [IMO 1987] Cho $n$ là một số nguyên dương. Với mỗi số nguyên không âm $k$, kí hiệu $p_n(k)$ là số các hoán vị của tập hợp $\left\{1,2,...,n\right\}$, mà có đúng $k$ điểm cố định. Chứng minh rằng: $\sum\limits_{k=0}^{n}k*p_n(k)=n!$

Chú ý. Một hoán vị $f$ của tập hợp $S$ là một song ánh đi từ $S$ vào $S$. Một phần tử $i\in S$ được gọi là điểm cố định của hoán vị $f$ nếu như $f(i)=i$

Bài 15: [IMO 1986] Cho $d$ là một số nguyên dương khác $2,5$ và $13$. Chứng minh rằng có thể tìm được hai số nguyên dương $a$ và $b$ từ tập hợp $\left\{,2,5,13,d\right\}$ sao cho $ab-1$ không phải là số chính phương.

Bài 8: [IMO 1987] Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ nào từ tập hợp các số nguyên không âm vào chính nó thoả mãn $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.

Bài 14: [IMO 1985] Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh $AB$ của tứ giác sao cho ba cạnh còn lại tiếp xúc với đường tròn đó. Chứng minh rằng: $AD+BC=AB$

Bài  12: [IMO 2004] Trong tứ giác lồi $ABCD$ đường chéo $BD$ của nó không phải là phân giác của góc $\angle{ABC}$ và $\angle{CDA}$. Một điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ và thoả mãn: $\angle{PBC}=\angle{DBA}$ và $\angle{PDC}$ và $\angle{BDA}$.

Chứng minh rằng $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi $AP=CP$.

Bài 5: [IMO 1995] Hãy xác định giá trị lớn nhất của $x_0$ sao cho tồn tại một dãy các số thực dương $x_0,x_1,...,x_{1995}$ thoả mãn $x_0=x_{1995}$ và với mọi $i=1,2,3,...,1995$ thì: $x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}$

Bài 7: [IMO 1978] Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và với các cạnh $AB,AC$ ở các điểm $P,Q$ tương ứng. Chứng minh rằng: Trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Mùa đông đến rồi, sợ diễn đàn lạnh lẽo, nên mình tạo topic này có tên : "Mỗi ngày một bài toán IMO", mục đích chính là để post lại các bài IMO đã qua để mọi người cùng thảo luận cho vui, học hỏi là chính, có thể đóng góp nhiều lời giải khác nhau để nâng cao kiến thức. 

Không có gì hơn, có mấy điều, mong các bạn chú ý :

+ Không được spam tránh gây loãng topic

+ Mỗi ngày, mình sẽ đăng một bài, nên nếu bạn nào có ý định đề nghị bài nào đó hay thì có thể gửi qua tin nhắn của mình trên diễn đàn cũng được nhé

Ngoài ra, mình khuyến khích các bạn có thể dẫn một số bài liên quan hoặc tương tự đến những bài IMO này để mọi người có thể mở rộng thêm những kiến thức về bài toán IMO được nhắc tới.

Một lần nữa không có gì hơn, mình mong các bạn tham gia nhiệt tình sôi nổi để diễn đàn không bị cô đơn giữa mùa đông sắp đến nhé ! 

Để mở đầu, mình bắt đầu một bài như sau:

Bài 1: [IMO 1990] Cho $n\ge 3$ là một số nguyên và xét tập hợp $E$ gồm có $2n-1$ điểm nằm trên một đường tròn. Giả sử rằng có đúng $k$ điểm được tô màu đen. Một cách tô màu như thế được gọi là "tốt' nếu như có ít nhất một cặp điểm màu đen sao cho phần trong của một trong hai cung nhận nó làm đầu mút chứa chính xác $n$ điểm của $E$. Hãy xác định giá trị bé nhất của $k$ sao cho với mọi cách tô màu $k$ điểm của $E$ đều là tốt. 

Bài 3: [IMO 1985] Cho một tập hợp $M$ gồm $1985$ số nguyên dương phân biệt, sao cho không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn $26$. Chứng minh rằng $M$ chứa ít nhất một tập con bốn phần tử mà tích của chúng là một luỹ thừa bậc bốn của một số nguyên.

Bài 2: [IMO 2002] Hãy xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho: $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ với mọi $x,y,z,t\in \mathbb{R}$

Bài 4: [IMO 1994] Với bất kỳ một số nguyên dương $k$ nào ta ký hiệu $f(k)$ là số các phần tử của tập hợp $\left\{k+1,k+2,...,2k\right\}$ mà trong biểu diễn ở cơ số $2$ (hệ nhị phân)  thì có đúng ba số $1$

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $m$ tồn tại ít nhất một số nguyên $k$ sao cho $f(k)=m$

b) Xác định tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho có đúng một số nguyên dương $k$ thoả mãn $f(k)=m$

Bài 6: [IMO 1963] Chứng minh rằng: $cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}$

Ta giải tổng quát với $p_A, p_B$ lần lượt là xác suất $A,B$ tung ra mặt ngửa.

Gọi $X_n$ là biến cố "trò chơi dừng lại ở lượt tung xu thứ $n$". Ta sẽ tính $P(X_n)$.

TH1: Nếu $n$ lẻ (tức là A thắng). Đặt $n=2k+1$ thì để đạt trạng thái này, $A,B$ phải thay phiên nhau tung ra mặt sấp $k$ lần, và lần $2k+1$ A tung ra mặt ngửa. Vì thế

\[P(X_{2k+1}) = {p_A}{\left( {1 - {p_A}} \right)^k}{\left( {1 - {p_B}} \right)^k}\]

TH2: Nếu $n$ chẵn (tức là B thắng). Đặt $n=2k$. Trạng thái này chỉ xảy ra khi $A,B$ thay phiên nhau tung ra mặt sắp $k-1$ lần, rồi $A$ tung mặt sấp và cuối cùng $B$ tung mặt ngửa. Do đó:

\[P(X_{2k}) = {\left( {1 - {p_A}} \right)^k}{\left( {1 - {p_B}} \right)^{k - 1}}{p_B}\]

Do đó, kỳ vọng $A$ thắng (biến cố $Y_A$) là:

\[\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {P\left( {{X_{2k + 1}}} \right)}  = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}}  = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}} = \frac{{{p_A}}}{{{p_A} + {p_B} - {p_A}{p_B}}}\]

 

Phần còn lại là thế số $p_A=\frac{1}{3}$ và $p_B=\frac{2}{5}$, ta có $\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \frac{5}{9}$

Bài giải hay anh ! Anh cho em hỏi cái đoạn $\sum\limits_{k = 0}^\infty {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}} = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}}$ có phải anh dùng hàm sinh: $\sum\limits_{k=0}^{+\infty}x^{k}=1+x+x^2+...=\frac{1}{1-x}$ trong đó $x=(1-p_A)(1-p_B)$ đúng không ạ ? 

updated :

+ APMO 2020 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2020_sol.pdf

+ APMO 2021 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2021_sol.pdf

+ APMO 2022 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2022_sol.pdf

Cho hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Hình chữ nhật hay và hình vuông vậy bạn ? 

Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\implies \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Do đó: $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}$

Từ đây, bắt đầu tính toán $S_{m+n}+S_{m-n}$ và $S_m.S_n$, thu được kết quả như sau:

+ $S_{m+n}.S_{m-n} =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (I)$

+ $S_m.S_n =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (II)$

Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh