giải thích giúp mình bài này với

Cơ bản là dùng lượng liên hợp

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{(n+1)}}=\frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{(n+1)} }{\left [ (n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{(n+1)} \right ]\left [ (n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{(n+1)} \right ]} \\ =\frac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{(n+1)}}{n\left ( n+1 \right )}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Tính $B=\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{60}+\frac{1}{120}+\frac{1}{210}+...+\frac{1}{6840}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

Ta có: $\frac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}-\frac{1}{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )} \right ]$

Nên $B=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{18.19.20}=$

$\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3} \right +\frac{1}{2.3}-...+\frac{1}{18.19}-\frac{1}{19.20})=\frac{189}{760}$

d, $D= 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ (n-2)(n-1) + (n-1)n$

Ta có $D=1(1+1)+2(1+2)+3(1+3)+..+(n-1)(n-1+1)$

$=1+1^2+2+2^2+3+3^2+...+(n-1)^2+n-1$

$=(1+2+3+...+n)+\left [ 1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2 \right ]$

CONTINUE...

Mình có bài này chắc là sử dụng fermat nhỏ nhưng làm mà ko ra à. Mọi người chỉ mình nhé:

Tìm dư trong phép chia a cho b biết rằng:

a=1³+2³+3³+...+99³

^{b=1+2+3+...+99}

^{Cách làm của mình này:}

$1^{3}\equiv 1(mod 3); 2^{3}\equiv 2(mod 3); 3^{3}\equiv 3(mod 3); ....... 99^{3}\equiv99(mod 3); \Rightarrow 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^3\equiv1+2+3+..+99(mod 3)$

Đến đây thì mình xin chịu. Mà cách làm của mình chẳng biết có đúng ko nữa. ai biết làm chỉ mình nhé. Mình sắp thi rồi.

Dùng cái này:

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left ( 1+2+3+...+n \right )^2=\frac{n^2\left ( n+1 \right )^2}{4}$

Khi đó:

$1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left ( 1+2+3+...+99 \right )^2\\ \Leftrightarrow a=b^2$

7)n là số nguyên dương lẻ .CM:$ A = 46^n + 296.13^n \vdots 1947 $ (Hungari-1947)

Vì $n$ lẻ nên $n=2k+1$

Ta có $A = 46^n + 296.13^n=46.2116^k+3848.169^k=46(2116^k-169^k)+3894.169^k=46.1947.B+2.1947.169^k\vdots 1947$

Suy ra $A\vdots 1947\forall x$ lẻ

Cho $x\in \mathbb{N}$, tìm hai chữ số tận cùng của

$$x^4+(x+1)^4+...+(x+99)^4$$

-Bạn ơi, chỗ cuối sao lại là 9 được? Theo công thức của bạn thì phải là 99 chứ!

Bạn cho mình hỏi là dòng thứ 2 và thứ 4 có liên quan gì với nhau vây?

Ừa gõ thiếu, sửa lại rồi     

Mình đoán số cuối cùng là 99. Có thể bạn ấy gõ nhầm thôi mà. Nhưng dòng thứ hai chứng minh bằng quy nạp ạ? 

Dùng quy nạp có thể chứng minh được đấy bạn à. 

Bài 213. Tìm $\overline{xyz}$ biết $\sqrt[3]{\overline{xyz}}=\left ( x+y+z \right )^{4^n}$ với $n\epsilon \mathbb{N}$

Hiển nhiên $x+y+z>1$

Ta có $4<\sqrt[3]{\overline{xyz}}<10\Leftrightarrow 4<\left ( x+y+z \right )^{4^n}<10$ và $\overline{xyz}=\left [ \left ( x+y+z \right ) ^{4^n} \right ]^3$

Xét $n=0$

  Khi $x+y+z=5\Leftrightarrow \overline{xyz}=125\Rightarrow x+y+z=8$ loại

  Khi $x+y+z=6\Leftrightarrow \overline{xyz}=216\Rightarrow x+y+z=9$ loại

  Khi $x+y+z=7\Leftrightarrow \overline{xyz}=343\Rightarrow x+y+z=13$ loại

  Khi $x+y+z=8\Leftrightarrow \overline{xyz}=512\Rightarrow x+y+z=8$ nhận

  Khi $x+y+z=9\Leftrightarrow \overline{xyz}=729\Rightarrow x+y+z=18$ loại

Xét $n>1$ thì $x+y+z\geq 2\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )^{4^n} \geq 16>10$ loại.

Vậy $x=5,y=1,z=2$

 

B1:Tim x,y $\in Q$ de $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{2-\sqrt{3}}$

B2: Tim x,y,z $\in N*$ de $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$

B4:Tim x,y ∈ Z de $4y^2=2+\sqrt{199−x2−2x}$

B5:Tim x,y thuoc Z de y=$\sqrt{\frac{x^4+2x^2p+p^2}{x^2}}-\sqrt{p^4x^2-2p^2x+1}$

Trong đó p là số nguyên tố

Moi nguoi giup nha

 

$1.)$ Bình phương hai vế $x+y-\sqrt{4xy}=2-\sqrt{3}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=2\\ 4xy=3 \end{matrix}\right.$

Từ đây dễ dàng giải tiếp

$2.)$ Bình phương hai vế $x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+z\\ yz=3\Rightarrow y,z\in U\left ( 3 \right ) \end{matrix}\right.$

Từ đây dễ dàng giải tiếp

Bài 214:

c,  GPT nghiệm nguyên sau: $x^{2}-2xy+5y^{2}=y+1$

Viết lại: $x^2-2y.x+5y^2-y-1=0$

Coi đây là phương trình bậc hai ẩn $x$, ta có $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow y^2-\left ( 5y^2-y-1 \right )\geq 0\Leftrightarrow 4y^2-y-1\leq 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{17}}{8}\leq y\leq \frac{1+\sqrt{17}}{8}\Rightarrow y=0$

Suy ra $x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1$

223.

a) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn $3x^{2}+6y^{2}+2z^{2}+3y^{2}z^{2}-18x-6=0$

 

PT đã cho viết thành:

$3x^{2}+6y^{2}+2z^{2}+3y^{2}z^{2}-18x-6=0\\ \Leftrightarrow \left ( 3y^2+2 \right )\left ( z^2+2 \right )+3\left ( x-3 \right )^2=37\\ \\ \left ( 3y^2+2 \right )\left ( z^2+2 \right )\geq 4\Rightarrow 0\leq 3\left ( x-3 \right )^2\leq 33\Leftrightarrow 0\leq\left ( x-3 \right )^2\leq 11$

Từ đó tìm ra $x$, sau đó thay vào tìm ra $y,z$, bài toán đã trở nên đơn giản!!!

PT đã cho $4x^{2}-40x+24=4y^{2}\Leftrightarrow (2x-10)^{2}-76=(2y)^{2}\Leftrightarrow (2x-10-2y)(2x-10+2y)=76$

Chú ý 2x - 10 - 2y và 2x - 10 + 2y cùng tính chẵn lẻ

Để thế này cũng được $x^2-10x+6=y^2\Leftrightarrow (x-5)^2-19=y^2$

Bài 118. Cho $a,b$ là các số thực thỏa $a^3+b^3=16$. Hỏi ta tìm được bao nhiêu tổng $a+b\in \mathbb{Z}$.

Bài 209:

a) Tìm các số nguyên tố p, q sao cho phương trình: $x^{2}-px+q=0$ có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.

ĐK: $p^2-4q\geq 0$

Giả sử $x_{1}$ là một nghiệm nguyên tố của phương trình, ta có: $x_{1}^2-px_{1}+q=0\Leftrightarrow q=x_{1}\left ( p-x_{1} \right )$

Vì $p,q,x_{1}$ nguyên tố nên

$$\left\{\begin{matrix} p-x_{1}=1\\ q=x_{1} \end{matrix}\right.\Rightarrow p-q=1$$

Suy ra $p,q$ khác tính chẵn lẽ

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p=3\\ q=2 \end{matrix}\right.(tm)$

 

B1:Tim x,y $\in Q$ de $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{2-\sqrt{3}}$

B2: Tim x,y,z $\in N*$ de $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$

B4:Tim x,y ∈ Z de $4y^2=2+\sqrt{199−x2−2x}$

B5:Tim x,y thuoc Z de y=$\sqrt{\frac{x^4+2x^2p+p^2}{x^2}}-\sqrt{p^4x^2-2p^2x+1}$

Trong đó p là số nguyên tố

Moi nguoi giup nha

 

$5.)$ $y=\sqrt{\frac{x^4+2x^2p+p^2}{x^2}}-\sqrt{p^4x^2-2p^2x+1}=\frac{x^2+p}{\left | x \right |}-\left | p^2x-1 \right |$

Vì $y$ nguyên nên $\frac{x^2+p}{\left | x \right |}\in \mathbb{Z}\Rightarrow p\vdots x\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\pm 1\\ x=\pm p \end{bmatrix}$

Thay vào $y=\frac{x^2+p}{\left | x \right |}-\left | p^2x-1 \right |$ có thể dễ dàng giải tiếp.

Bài 152. GPT nghiệm nguyên :

$4y^{2}=2+\sqrt{199-x^{2}-2x}$

Sót bài nhỉ.

TXĐ $D=\left \{ x,y\in \mathbb{Z} | -1-10\sqrt{2}\leq x\leq -1+10\sqrt{2} \right \}$

Ta có $4y^{2}=2+\sqrt{199-x^{2}-2x}\leq 2+\sqrt{200}< 17$

$\Rightarrow y^{2}\leq 4$

$\Leftrightarrow -2\leq y\leq 2$

Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên chỉ cần xét từng trường hợp.

Bài 125 : Giải phương trình nghiệm tự nhiên $2^{x}+3^{y}=z^{2}$

Mới học logarit nên nếu có sai thì cứ góp ý nhiều vào

$*$ Cho $a,n> 0$, $a\neq 1$, và một số $m$ sao cho $n=a^m$ thì ta có $n=a^m\Leftrightarrow log_{a}(n)=m$

Một trong những tính chất của logarit: $a^x=b^{xlog_{b}(a)}(a,b\neq 1)$

Áp dụng tính chất trên, ta có $3^y=2^{ylog_{2}(3)},z^2=2^{2log_{2}(z)}$

Suy ra $2^x+3^y=z^2\Leftrightarrow 2^x+2^{ylog_{2}(3)}-2^{2log_{2}(z)}=0\Leftrightarrow 1+2^{ylog_{2}(3)-x} -2^{2log_{2}(z)-x}=0$

Suy ra ít nhất một trong hai số $2^{ylog_{2}(3)-x},2^{2log_{2}(z)-x}$ bằng $1$

$-$ Nếu $2^{ylog_{2}(3)-x}=1\Rightarrow 2^{2log_{2}(z)-x}=2$

$2^{ylog_{2}(3)-x}=1\Rightarrow 2^{2log_{2}(z)-x}=2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ylog_{2}(3)-x=0\\ 2log_{2}(z)-x=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} log_{2}(3)=\frac{x}{y}\\ log_{2}(z)=\frac{x+1}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{\frac{x}{y}}=3\\ \\ 2^{\frac{x+1}{2}}=z \end{matrix}\right.$

Hệ vô nghiệm.

$-$ Nếu $2^{2log_{2}(z)-x}=1\Rightarrow 2^{ylog_{2}(3)-x}=0$ vô lý vì $2^n$ khác $0$ với mọi $n$.

Vậy pt vô nghiệm.

$(2x)^{3}\leq 8x(x^{2}+1)\Leftrightarrow 8x\geq 0 (?)$

Điều này không thể khẳng định vì x nguyên

Bài này dùng phương pháp kẹp là đúng nhưng cần xét một số trường hợp

Đây là suy nghĩ của mình :

 

Rút gọn :

$8x^{3}+8x=y^{^{3}}$

• Xét x dương :

$(2x)^{3}<y^{3}=8x^{3}+8x<(2x+1)^{3}$

Phương trình vô nghiệm

• Xét x âm :

(2x-1)^{3}<y^{3}=8x^{3}+8x<(2x)^{3}

Phương trình vô nghiệm

• Xét $x = 0 thì y = 0$

KẾT LUẬN : $(x ; y) = ( 0 ; 0 )$

Cảm ơn bạn đã có ý kiến sửa chữa cho bài $128$.

Thêm mấy bài nữa nhé

Bài 126: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,\ y)$ thỏa mãn 

$$(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$$

Ta có $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3\Leftrightarrow 8x(x^2+1)=y^3$

$(2x)^3\leq 8x(x^2+1)=y^3\leq (2x+1)^3$

CONTINUE...

Bài 128 : Tìm tất cả các số tự nhiên n và các số nguyên dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ thỏa mãn hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=3n-2 & & \\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}=1& & \end{matrix}\right.$

Vì $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ nguyên dương nên

$n\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}\leq x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=3n-2$

Và $1=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}\geq \frac{n}{\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}\Leftrightarrow n\leq \sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}$

Suy ra $n\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}\leq 3n-2\leq 3\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}-2< 3\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}$

$\Rightarrow n< 3\Rightarrow n=0,1,2$

Với $n=0$, hệ vô nghiệm.

Với $n=1$ thì $x=1$

Với $n=2$ thì $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=4\\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x_{1}=x_{2}=2$.

Bài 133.

Giải phương trình trên tập các số nguyên:

$x^4+2y^2-7x^2+4x+2y+20=0$

Bài này sai 

 

 Nhìn cái đề đã là phương trình vô nghiệm rồi

VT là 1 sô chính phương còn VP $5(p+q)^{2}$ ko là scp

Tại sao vế trái là số chính phương vậy bạn?   Tui thấy kết luận VT chính phương là hơi sớm đấy!

Bài 94: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2-10x+6=y^2$

Bài 134 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên : 

                $(n+1)^{n}=2^{n}.n!$

$-$ Xét $n=0$, ta thấy đó là một nghiệm của pt

$-$ Xét $n> 0$, ta có

   Dễ thấy $(n+1)^n\vdots 2\Rightarrow n+1\vdots 2$

   Đặt $n=2a-1$, ta có $(n+1)^{n}=2^{n}.n!\Leftrightarrow (2a-1+1)^n=2^n.n!\Leftrightarrow 2^n.a^n=2^n.n!\Leftrightarrow a^n=n!$

   Với mọi số nguyên $n$ lớn hơn $1$ thì $n!$ không thể biểu diễn dưới dạng $a^n$ với $a\in \mathbb{N}$

   Nói cách khác, với $n> 1$ thì pt vô nghiệm.

   Suy ra $n=1$.

Vậy pt có nghiệm $\boxed {0;1}$

Bài 208: Giải hệ phương trình nghiệm hữu tỉ

$$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=2\\ x+y+z-xyz=2 \end{matrix}\right.$$

(Off lâu quá nên giờ thua mấy bác hết, thua toàn tập luôn )