Cho $V$ là không gian Euclide $n$ chiều .Chứng minh $f:V\to\mathbb{R}$ là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vecto $a\in V$ cố định sao cho $f(x)=<a,x>\;\forall x\in V$($<a,x>$ là tích vô hướng quen thuộc)

Nếu $k>n$, khi đó $A$ là nghiệm của đa thức $q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$. Vậy luôn có $A^n=0$

Bạn giải thích chỗ này cho mình được không?
Cho ma trận $$N=\left(\begin{matrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$$ Khi đó $N$ là lũy linh vì $N^4=0$
Nhưng $N^3\neq 0,\; N^2\neq 0$
$$N^2=\left(\begin{matrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$$

chỉnh sửa một tý.

Nếu tồn tại $c$ sao cho $sin(f(x))=0$ thì ta có $c$ chính là số cần tìm.

Nếu $sin(f(x))$ khác $0$ với mọi $x\in (0;1]$ thì làm như trên.

Mình thấy $sin(f(x))=0$ thì $cot(f(x))$ không xác định mà.

Bài 39:Cho hàm $f:[0;1]\to\mathbb{R}$ liên tục thỏa mãn $\int_0^1 xf(x)dx=0$.Chứng minh rằng tồn tại $a\in[0;1]$ sao cho $$f(a)=a\displaystyle \int_a^1 f(x)dx$$
Bài 40:(DHSP HCM 2011)::Cho hàm $f$ khả vi liên tục trên $[a;b]$.Chứng minh rằng:$$\displaystyle\max_{x\in [a,b]}|f(x)|\leq \dfrac{1}{2}\left[|f\left(a\right)+f\left(b\right)|+\int_a^b |f'\left(x\right)|dx\right]$$
Bài 41:Cho $f$ là hàm khả vi liên tục trên $[a;b]$ sao cho $\int_0^1 f(x)dx=0$.Chứng minh rằng $$\left|\displaystyle\int_0^1 xf(x)dx\right|\leq\dfrac{1}{12}\displaystyle\max_{x\in [0;1]} |f'(x)|$$

Mình không hiểu từ chỗ ''$q(x)=x^k$ , suy ra UCLN của $p$ và $q$ có dạng $r(x)=x^r \;\;, r \in \mathbb{N}^*$ , hơn nữa, do $deg p =n$ nên $deg r \le n$'' sao lại suy ra $A^n=0$
Bạn chỉ giúp chỗ này với

Câu 2 mình có ý tưởng chứng minh $lim(a_n-b_n)=0$ và dãy $(a_n+b_n)$ có giới hạn để suy ra $lim a_n=\lim b_n=\dfrac{1}{3}$
Nhưng mình chưa chứng minh được dãy $(a_n+b_n)$ có giới hạn.Có bạn nào giúp phần này không ?

Câu 3 và câu 6 ,có bạn nào giải được chưa ?

Có bạn nào có quyển dự tuyển toán olimpic sv các trường mấy năm gần đây thì scan lên đây được không ?

Bạn có thể hiểu thế này: Nếu $q(x)=x^k$ thì tất cả các giá trị riêng của $A$ là nghiệm của $q(x)$.

Chỗ này thế nào hả bạn? $A^k=0$ sao lại suy ra các trị riêng của $A$ là $\lambda=0 $?

Phần đa thức mình không rõ lắm.Bạn phác qua các bước chứng minh cho mình với

Xét xem dãy sau có hội tụ không và tìm giới hạn (nếu có)
$x_0=a\in\mathbb{R},x_1=b\in\mathbb{R},x_{n+2}=-\dfrac{1}{2}\left(x_{n+1}-x_{n}^2\right)^2+x_{n}^4\;\forall n\in\mathbb{N} $ và $|x_n|\leq \dfrac{3}{4},\forall n\in\mathbb{N}$

thay x_a vao đề ta có P(e^x_a + x_a Q(x_a) +x²_a Q² (x_a) )=Q(e^x_a + x_a P(x_a) +x²_a P² (x_a​) )
=> e^x_a + x_a Q(x_a) +x²_a Q² (x_a) cũng là 1 nghiệm của H(x) (do P(x_a)=Q(x_a))
cứ liên tục như vậy => x_a là max là vô lý

Câu "cứ liên tục như vậy => x_a là max là vô lý'' khẳng định như vậy là sao hả bạn ? Bạn đã so sánh các nghiệm như thế nào ?

ta có x_a> 1 =>e^x_a + x_a Q(x_a) +x²_a Q² (x_a)>x_a
mình nghĩ là như vậy.

Như thế là không đúng,vì chưa kết luận luận $x_a>1$ và không đủ dữ kiện để chứng minh $e^{x_a}+x_a Q(x_a)+x_{a}^2 Q^2(x_a)>x_a$
Bài 6,mình nghĩ đến một tích phân đường nào đó

Câu 6:
Cho $f \in C^2[0;a] \;, a>0, f(x) \ge 0,f''(x) \ge 0,\; \forall x \in [0;a]$. Giả sử $f(0)=f(a)=1$. Gọi $m=\min_{[0;a]} f(x)$, chứng minh
$$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+1-m^2$$

Câu này mình chỉ chứng minh được $$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+2(1-m^2)$$
Liệu đề có vấn đề gì không,bạn phudinhgioihan cho ý kiến đi ?

Lời giải và đề bài không khớp nhau,bạn xem lại đi

Bài 31: (mới chế )

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ có đạo hàm cấp 2 liên tục sao cho $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0\;, f''(x) \ge 0 \;\forall x \in [a;b]$

Chứng minh tồn tại $c \in [a;b] $ sao cho $\dfrac{(b-a)^3}{6} f''( c ) \ge \int_a^b f(x)dx \ge \dfrac{(b-a)^3}{24}f''( c )$

Mình nghĩ bất đẳng thức vế trái phải là một số $d$ khác chứ không phải là $c$

Ta có
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}x f'(x)dx=\dfrac{1}{2}\int_{a}^{b} x^2 f''(t)dt$$
Như vậy cần chứng minh tồn tại $c\in [a,b]$ sao cho $$\dfrac{(b-a)^3}{6} f''( c ) \ge \dfrac{1}{2}\int_{a}^{b} x^2 f''(t)dt \ge \dfrac{(b-a)^3}{24}f''( c )$$
Bước tiếp theo, bạn phudinhgioihan làm thế nào?

Bài 42 (IMC 2012)Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ liên tục sao cho $f'(x)>f\left(f(x)\right),\forall x\in\mathbb{R}$ Chứng minh rằng $$f\left(f\left(f(x)\right)\right)\le 0,\forall x\geq 0$$

Bài 43:Cho hàm $f:[ a,b]\to\mathbb{R}$ khả vi 3 lần trên$[a,b]$ với $f(a)=f(b)$.Đặt $M=\sup_{x\in [a,b]}|f'''(x)|$ Chúng minh rằng
$$\left|\int\limits_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)dx - \int\limits_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x)dx\right| \leq \dfrac{(b-a)^4 M}{192} $$

Bạn post lại link trên với,mình không vào được

Thầy cho em hỏi cách thêm một gói package như gói beamer vào miktex với?Em có tải mấy mẫu slide.tex(ví dụ như file đính kèm bên dưới) làm bằng latex mà không mở được.Em hỏi thêm nếu muốn làm slide bằng latex mà không cần dùng mấy gói này thì làm như thế nào?

Cho $A,B$ là các ma trận vuông đối xứng cùng cấp có các trị riêng đều dương.Chứng minh rằng ma trận $C=A+B$ cũng có các trị riêng dương.

Thầy ơi,em thấy ra thế này.Em thấy hình như nó không tự động tải gói còn thiếu về.Vậy cần làm thế nào hả thầy?

Bài 44: không sử dụng kết quả bài 35 hãy chứng minh rằng:
$$\lim\limits_{n\to +\infty} \int_a^b f(x)sin^2( nx)dx=\dfrac{1}{2}\int_a^b f(x)dx$$ trong đó $f(x):[a;b]\to\mathbb{R} $ là hàm liên tục trên $[a;b]$
Bài 45:Cho dãy số $x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{2}{2n+2k-1}$.
Tìm $\lim\limits_{n\to +\infty} n^2 (ln2-x_n)$

Thầy ơi,thầy có các mẫu trình bày tiêu đề văn bản không ạ ? Em thấy trong word có một số kiểu chữ nghệ thuật nên em muốn làm trong latex.Thầy giúp em với

Thầy ơi,em hỏi một số câu:1) trong môi trường bảng tabular,nếu muốn định dạng riêng cho từng ô, ví dụ như dòng thứ nhất cột một căn trái,dòng thứ hai căn phải thì làm thế nào ạ?
2) Trong việc chèn ảnh png,jpg,thì em gặp một vấn đền về việc thay đổi vị trí chèn của ảnh như bị đẩy sang trang mới chẳng hạn. Vậy cách khắc phục thế nào ạ?
3)Em có sử dụng đoạn code sau trong latex (llấy từ thầy Điển)

\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
{2.3ex \@plus .2ex}%
{\centering\Huge\scshape}}
\makeatother
\begin{document}

\section*{Văn bản }

\end{document}

với mục đích làm tiêu đề nhưng khi biên soạn thì em thấy không cân xứng giữa chữ V và chữ N(hơi nhỏ).Vậy làm thế nào để chữ N lớn bằng chữ V ,ạ?

 

 Mình có Lời giải gốc của bài toán này không tự nhiên lắm