Bài toán 28. (Tập huấn đội tuyển Việt Nam 2016). Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
\[ \sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}+\sqrt{c^2+2ab} \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}+2\sqrt{ab+bc+ca}.\]
Lời giải bài 28. Phân tích về dạng S.O.S ta được
$\sum \frac{(a-b)^{2}}{\sqrt{c^{2}+2ab}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{\sum (a-b)^{2}}{\sqrt{ab+bc+ca}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức C-S ta có
$\sum \frac{(a-b)^{2}}{\sqrt{c^{2}+2ab}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{[\sum (a-b)^{2}]^{2}}{(a-b)^{2}(\sqrt{c^{2}+2ab}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})}$
Ta chỉ cần chứng minh
$(\sqrt{ab+bc+ca}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\sum (a-b)^{2}\geq \sum (a-b)^{2}(\sqrt{c^{2}+2ab}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})$
$\Leftrightarrow\sqrt{ab+bc+ca}\sum (a-b)^{2} \geq \sum (a-b)^{2}\sqrt{c^{2}+2ab}$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\sqrt{ab+bc+ca}-\sqrt{c^{2}+2ab})\geq 0$
Bây giờ ta sử dụng bất đẳng thức $\sqrt{x}-\sqrt{y}\geq \frac{x-y}{2\sqrt{x}}$ ta có
$\sum (a-b)^{2}(\sqrt{ab+bc+ca}-\sqrt{c^{2}+2ab})\geq \frac{\sum (a-b)^{2}[ab+bc+ca-2ab-c^{2}]}{2\sqrt{ab+bc+ca}}= \frac{\sum (a-b)^{2}(a-c)(b-c)}{\sqrt{ab+bc+ca}}$
Mà $\sum (a-b)^{2}(a-c)(b-c)=0$ nên ta có điều phải chứng minh
Bài toán 29. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho $a,b,c$ là các số thực không âm chứng minh
$\sqrt{4a^{2}+bc}+\sqrt{4b^{2}+ca}+\sqrt{4c^{2}+ab}\leq \frac{5}{2}(a+b+c)$