Hôm trước hai phó quản trị, mình và Zaraki có dịp gặp nhau ở Hà Nội. Đã 7-8 năm từ lần cuối thấy mặt nhau. Ngồi chém gió chủ yếu về đời sống tinh thần của dân nghiên cứu đồng thời được Zaraki tặng cho hai cuốn kinh thánh của ngành hình học đại số. 

 

1) Toán olympic ngày càng chứng tỏ không giúp ích nhiều cho khoa học và toán học (ở đây không bàn chuyện toán olympic có giúp tìm ra nhân tài);

2) Tạm bỏ qua (không có nghĩa bỏ hẳn) các yếu tố liên quan đến văn hóa, kinh tế để bàn về toán ở phổ thông hay nghiên cứu, nếu không muốn việc thảo luận trở nên phức tạp hơn.

Đặt câu hỏi: vậy nên học toán gì ở phổ thông nhằm thu hút các em làm khoa học và toán học? Một gợi ý là tham khảo chương trình toán phổ thông ở các nước khác. Nhưng khoan hãy nói toán phổ thông ở Pháp có ích cho khoa học hơn hay không, việc mình thấy thích hơn là chúng ta tự thảo luận. Mặt khác, không hy vọng thay đổi bộ mặt giáo dục nước nhà được vì diễn đàn không phải bộ giáo dục, nên những thứ thay đổi được trước mắt chỉ có thể làm được trên diễn đàn. Nhưng, sân chơi mà diễn đàn đã tạo ra thì không hề nhỏ, nên nếu có hướng đi đúng thì diễn đàn có thể tạo ra đóng góp lớn, giống như đã làm cách đây khoảng 20 năm với bất đẳng thức ở Việt Nam.

Xã hội thì cũng không cần quá nhiều người làm toán nên từ phong trào này mà chắt lọc ra vài bạn đi học Toán cũng là quý rồi; nhưng mà cách tư duy ở Toán phổ thông thì đúng là đôi khi lại thấm đậm vào các bạn học nó quá sâu đến nỗi ngạc nhiên với Toán cao cấp (dù không cao cấp lắm!). Diễn đàn hay thay đổi bộ mặt qua từng thời kỳ như sóng vậy, tùy vào từng lứa.

 

Sự phản khoa học của Toán phổ thông thì không cần bàn trong đa số các bài Toán vì nó mang tính chất luyện gà; nói thêm một chút nữa lại có mấy ông xù lông lên ngay. Như anh Bách đã nói, có một số kiến thức số học khá có ích mà mình đã liệt kê dưới đây, nhưng mình cũng phải bổ sung thêm rằng một vấn đề ở phổ thông là chương trình đôi khi dạy không theo một hệ thống quy chuẩn nào mà thường bẻ nhỏ thành các chuyên đề nhưng bản thân những chuyên đề này hoặc là một thứ cực kì vô nghĩa không thì cũng là diễn giải lại một kiến thức cao hơn; như vậy có chăng điều thứ hai đáng được bàn tới hơn mà một ví dụ điển hình ở đây là số học như anh Nxb đã nói. Bản thân mình thi thoảng cũng cần dùng các kiến thức số học trong một ngành không liên quan gì đến lý thuyết số lắm, ví dụ như:

 

1. Ví dụ đầu tiên là luật thuận nghịch bình phương và định lý cấp số cộng Dirichlet: lấy ví dụ nếu $\mathbb{HP}^{\infty}$ là không gian xạ ảnh quaternion và $f: \mathbb{HP}^{\infty} \to \mathbb{HP}^{\infty}$ là một ánh xạ liên tục thì nó cảm sinh một đồng cấu

$$f^*: H^{4}(\mathbb{HP}^{\infty},\mathbb{Z}_p) \to H^4(\mathbb{HP}^{\infty},\mathbb{Z}_p),$$

ở đây $p$ là một số nguyên tố lẻ; đồng cấu này gửi phần tử sinh $\gamma$ của $H^4 \cong \mathbb{Z}_p$ sang $d\gamma$ và $d$ gọi là bậc của $f$. Câu chuyện khá thú vị ở đây là $d$ chỉ có thể là bình phương một số nguyên vì sau khi áp dụng toán tử Steenrod $P^1$ ta thu được $P^1(\gamma) = 2\gamma{(p+1)/2}$, tính theo hai cách cho ta

$$P^1 f^*(\gamma) = f^*P^1(\gamma) = f^*(2\gamma^{(p+1)/2}) = 2d^{(p+1)/2}\gamma^{(p+1)/2}, \ \ P^1f^*(\gamma) = P^1(d\gamma) = 2d\gamma^{(p+1)/2},$$

như vậy ta kết luận được $d^{(p-1)/2} \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p)$ với mọi $p$ nguyên tố lẻ. Đến đây ta phải dùng luật thuận nghịch bình phương Gauss và định lý cấp số cộng Dirichlet mới chứng minh được $d$ luôn là bình phương một số nguyên, tiến thêm chút nữa bằng định lý Lefschetz ta chứng minh được mọi ánh xạ liên tục như vậy đều có điểm cố định.

 

2. Tiếp theo là định lý Lucas: ngay trong bản thân quá trình tính toán các toán tử Steenrod ta cũng phải thường xuyên dùng định lý Lucas. Thậm chí ngay gần đây khi mình làm thesis cũng có một lần dùng cái này sau khi tính toán ra một họ cấu xạ $f_i = \binom{n}{i} \mathrm{id}$ thì phải tìm ước chung của $\binom{n}{i}$ với $i < n$. Đây là một ứng dụng hay của định lý Lucas, hình như từng xuất hiện trong các đề thi olympic.

 

3. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, ví dụ nếu dùng K-lý thuyết tô-pô để giải bài toán bất biến Hopf một (Hopf invariant 1 problem) ta thu về một bài toán số học rất sơ cấp: tìm $n$ mà $2^n \mid 3^n - 1$; đây là một bài toán quá dễ với các bạn học sinh THPT sau khi áp dụng nhẹ nhàng định lý LTE:

 

Despite chiefly featuring in mathematical olympiads, it is sometimes applied to research topics, such as elliptic curves.

 

4. Các phương pháp đếm, tổ hợp là cần thiết, dĩ nhiên mình đồng ý là cần nhiều xác suất hơn nhưng bản thân trải nghiệm cá nhân mình làm project (vẫn là tô-pô đại số) thì đã phải dùng phương pháp đếm hai cách đôi ba lần.

 

Trên đây đều là những tư duy cần thiết, dù rằng nếu mình chưa từng học qua mấy cái này thì lúc làm mình vẫn hiểu thôi nhưng sẽ tốn thời gian tìm hiểu hơn (dù gì mình không học number theory). Trau dồi một chút đại số tuyến tính hay tổ hợp hoặc số học là các bạn có thể đọc được rất nhiều thứ hay, kể cả đường cong elliptic. Thế nên có người từng đùa rằng "thứ các nhà toán học hiểu rõ nhất là đại số tuyến tính và tổ hợp nên hầu hết mọi nỗ lực làm toán là để quy về hai thứ này." Tuy nhiên vẫn phải nhắc lại đại số tuyến tính, ví dụ, là một môn học cơ bản nhưng có hệ thống trình bày lý thuyết nên rất nhiều bạn đã vấp phải bức tường ngắn cách hai phương pháp tư duy tại đây (đây là quan sát cá nhân của mình).

 

Về phần diễn đàn mình vẫn tin rằng phải theo lứa nên sẽ không bàn luận thêm. Mình mong có một ngày mục toán hiện đại của diễn đàn sẽ sôi nổi hơn.

Em có một câu hỏi mong mọi người giải đáp giúp là: Hình học phẳng trong olympic liệu có quan trọng không ạ; em đã từng thấy rất nhiều anh chị đề cập đến việc hình euclid sẽ vô dụng khi ta học toán cao cấp nhưng nếu thật sự hình học phẳng "vô dụng" vậy thì sao nó vẫn đóng vai trò khá quan trọng trong toán olympic; bằng chứng là trong VMO và TST năm nay có đến 2 bài hình và một trong 2 đều là câu khó nhất đề và tại sao các thầy giáo lại đưa nó vào trong các đề thi HSG nếu nó "vô dụng" ? Mong mọi người trả lời giúp em  . 

Chứ chả nhẽ cho các em làm hình học đại số trong đề thi? Đùa thôi, em pick bất kì một trong các lý do sau thì có thể xem như câu trả lời của anh.

 

1) Nó vô dụng vì không có ứng dụng gì?

2) Vì thi Olympic cũng vô dụng không kém?

3) Vì các thầy biết nó vô dụng nhưng bỏ thi thì không được?

4) Có vài thầy giả vờ rằng nó không vô dụng?

 

Em đang hỏi bọn anh theo cách này vì tiền đề là em giả sử cái gì thầy các em làm cũng là đúng, vậy các thầy không dạy các em học toán thì phải biết đặt câu hỏi hay hoài nghi à? Còn em muốn biết sao nó vô dụng theo kiểu cách chứng minh đàng hoàng thì hỏi anh nmlinh16, chắc một post cũng đủ tóm tắt cho em hiểu tại sao rồi.

Em chưa rõ anh Bách định triển khai mọi thứ ra sao, nhưng có lẽ anh cần bắt đầu xem như nào để em (hay mọi người) còn theo. Nếu có phần gì em đảm nhận được em sẽ cố.

À vậy là hiểu nhầm ý của @tienmai, về việc viết hệ thống và kiến thức trên diễn đàn thì mình thấy không cần thiết và cũng không tin ai đủ kiên nhẫn để làm điều này. Nếu làm kiểu Pi thì được nhỉ.

Bạn Lê Đăng Khương ngày nào còn tranh luận ở đây giờ đã bỏ học HUS từ sớm để về làm giáo viên, lập ra một đạo phái con của đạo phái mạng nhện. Nhìn và nghĩ mà thấy lực bất tòng tâm với thời đại.

 

Từng đọc trên diễn đàn toán học một topic rất sôi nổi là "Học gì ở toán phổ thông". Hình như những dự định của các anh không còn tiếp tục? Hẳn là mọi người có lí do và kế hoạch riêng. Mong các anh sẽ tiếp tục. Những cố gắng của các anh có thể giúp được ai đó, dù chỉ một thôi, cũng là rất đáng quý.

Chào em, có ba điều anh muốn nói

• Thứ nhất, em không nên coi thường những ai làm hình học affine.
• Thứ hai, anh không coi đó là chuyện tới mức thời đại.
• Thứ ba, bọn anh vẫn học toán.

Khổ nhất là một số nhánh phải vừa deeply, vừa broadly…

Cái này đúng hehe, nhưng kia nói về phương pháp và vấn đề tạm thời khi học thôi, tốt nhất luôn nên khảo sát một ví dụ cực kỳ chi tiết thì sẽ giúp cho việc bắt khái niệm tổng quát tốt. Hồi xưa cày cuốc các thứ cứ thích trừu tượng nhưng giờ chỉ mong có càng nhiều ví dụ càng tốt.

 

Diễn đàn chúng ta sẽ chờ đợi anh Nxb giải vài cái giả thuyết trong $\infty$-catetgory rồi ra vài bài với Lurie.

 
Trong video có một câu rất hay của Jeff Kahn, advisor của Park: It's good to be quick, but it's more important to be deep. Câu này rất đúng với những người làm nghiên cứu như anh em mình.

Rất giống hồi em làm nghiên cứu hè với một prof, ông ấy lúc nào cũng luôn miệng (đại ý): don't be rush, it is much more important to know something deeply rather than to know things broadly.

Thực ra khi nói vậy thì anh đang nghĩ tới cái đồng luân mà chú đang làm =)).

Đúng vậy, lúc em lên nhận thầy đã được ổng bảo, mày có một cái lợi và một cái hại khi theo bọn tao. Lợi là mày sẽ biết rất nhiều đối đồng điều và ra trường nhảy qua làm 2-3 ngành cũng được nhưng hại là mày phải học nhiều gấp 2-3 lần so với mặt bằng chung.

 

Thực ra $\infty$-category của anh cũng đâu có dễ. Mà nhân tiện bên viện toán đang có workshop hình học đại số, hình như chiều hai tiếng trước giờ Việt Nam vừa có talk đầu tiên về Riemann-Hilbert correspondence and derived algebraic geometry. Quên không bảo anh.

Anh nghĩ tàn dư của Toán phổ thông là tạo cho học sinh cảm giác rằng tính toán là công việc tầm thường, chỉ có suy luận trừu tượng mới có ý nghĩa. Điều này là hết sức sai lầm. Đối với học ĐH, việc em có hiểu lý thuyết hay không sẽ thể hiện ở việc em có khả năng tính toán các ví dụ cụ thể không. Nếu câu trả lời là không thì chứng tỏ ta vẫn chưa thực sự hiểu hết lý thuyết.

Cái này em nghĩ thực chất đúng cả với các bậc học cao hơn. Ví dụ cá nhân em thông thường khi bắt đầu vào một bài toán nghiên cứu mới sẽ lao vào tìm càng nhiều ví dụ để tính càng tốt và tính toán song hành với việc học lý thuyết là rất nhanh và hiệu quả. Nói đơn giản, có cung cầu đầy đủ.

 

p/s: em nghĩ diễn đàn nên có nút downvote. 

II. Hàm Zêta vào cuộc chơi

 

Nhắc lại một số tính chất cơ bản của hàm Zêta Riemann: nó xác định với $\mathscr{Re}(s) > 1$ bởi chuỗi $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$, và thỏa mãn phương trình Euler

$$(5) \ \ \ \zeta(s) = \prod_p (1 - p^{-s})^{-1},$$

trong đó tích chạy trên tập tất cả các số nguyên tố. Riemann chứng minh rằng $\zeta$ có thể thác triển thành một hàm phân hình trên mặt phẳng phức với một cực duy nhất tại $s=1$, và nếu đặt

$$\xi = \frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s),$$

thì $\xi$ là một hàm nguyên (xác định trên toàn bộ mặt phẳng phức) và thỏa mãn phương trình $\xi(s) = \xi(1-s)$. Hơn nữa ông giả thuyết rằng (chưa được chứng minh) giả thuyết Riemann rằng mọi nghiệm của $\xi$ nằm trên đường thẳng $\mathscr{Re}(s)=1/2$.

 

Một thời gian sau, Dedekind mở rộng lý thuyết của Riemann lên một trường số $K$ (mở rộng hữu hạn của $\mathbb{Q}$), bằng cách định nghĩa $\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a}}(N\mathfrak{a})^{-s}$, trong đó $\mathfrak{a}$ chạy trên tất cả các ideal của vành $\mathfrak{o}$ các số đại số nguyên trên $K$, chuẩn $N\mathfrak{a}$ là số phần tử của vành $\mathfrak{o}/\mathfrak{a}$. Ông mở rộng công thức Euler thành

$$(6) \ \ \ \zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}} (1-  (N\mathfrak{p})^{-s})^{-1},$$

trong đó tích chạy trên tất cả các ideal nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $\mathfrak{o}$; rất nhiều năm sau Hecke chứng minh rằng $\chi_K$ có thể thác triển thành một hàm phân hình và thỏa mãn một phương trình hàm tương tự như phương trình hàm Riemann cho $\xi$. Một cách hình thức, ta thấy rằng $(6)$ chỉ dùng hai tính chất của vành $\mathfrak{o}$: $1)$ $\mathfrak{o}$ là một vành Dedekind: $2)$ trường $\mathfrak{o}/\mathfrak{p}$ là hữu hạn với mọi ideal nguyên tố $\mathfrak{p}$. Thật vậy, nếu $\mathfrak{a} = \mathfrak{p_1}^{v_1}...\mathfrak{p_r}^{v_r}$ là một phân tích thành các ideal nguyên tố của ideal $\mathfrak{a}$ thì $\mathfrak{o}/\mathfrak{a}$ đẳng cấu với tích trực tiếp $\prod \mathfrak{o}/\mathfrak{p_i}^{v_i}$, và với mọi ideal nguyên tố $\mathfrak{p}$, mỗi $\mathfrak{o}/\mathfrak{p}$-module $\mathfrak{p}^h/\mathfrak{p}^{h+1}$ đều đẳng cấu với $\mathfrak{o}/\mathfrak{p}$; điều đó chứng tỏ rằng chuẩn là nhân tính, từ đó kéo theo $(6)$ (chứng minh tính hội tụ của tích vô hạn cần một số đánh giá đơn giản về số lượng của các ideal nguyên tố của một chuẩn cho trước). Năm $1923$, E. Artin nhận xét rằng các tính chất này đúng cho các vành định nghĩa theo cách sau: bắt đầu với một trường hữu hạn $\mathbb{F}_q$, xét trường $K_0 = \mathbb{F}_q(T)$ các phân thức hữu tỷ một biến và một mở rộng bậc hai $K = K_0(v)$ với $v^2=P(T)$, trong đó $P$ là một đa thức không có nghiệm bội. Bao đóng nguyên $\mathfrak{o}$ của $\mathbb{F}_q[T]$ trong $K$ thỏa mãn $1)$ và $2)$, $\mathfrak{o}/\mathfrak{p}$ hơn nữa còn là một mở rộng hữu hạn của $\mathbb{F}_q$ với mọi ideal nguyên tố $\mathfrak{p}$; rất dễ để chứng minh chuỗi và tích vô hạn trong định nghĩa của $\zeta_K$ hội tụ với $\mathscr{Re}(s)>1$. Hơn nữa Artin còn thấy rằng lý thuyết này đơn giản hơn của Dedekind rất nhiều, lý do là các hàm ở đây đều có dạng $Z(q^{-s})$ trong đó $Z(u)$ là một hàm hữu tỷ với hệ số trong $\mathbb{Q}$; phương trình hàm biểu diễn thương $Z(1/qu)/Z(u)$ bởi một hàm hữu tỷ với không điểm và cực cho trước; sau đó ông giả thuyết rằng không điểm của $Z(u)$ tất cả đều nằm trên đường tròn $\left| u \right| = q^{1/2}$ và đồng thời tự chứng minh giả thuyết này với một số đa thức $P$ bậc nhỏ. 

 

Bây giờ các ideal nguyên tố $\mathfrak{p}$ thỏa mãn $\mathfrak{o}/\mathfrak{p} \cong \mathbb{F}_q$ ($N\mathfrak{p}=q$) tương ứng $1-1$ với các đồng cấu $\mathfrak{o} \to \mathbb{F}_q$; mọi đồng cấu như vậy gửi $(T,v)$ tới $(a,b) \in \mathbb{F}_q^2$ thỏa mãn $b^2=P(a)$. Nói cách khác số nghiệm của phương trình $y^2 = P(x)$ trong $\mathbb{F}_q^2$ chính là số lượng $N_1$ các ideal nguyên tố mà $N\mathfrak{p}=q$; tuy nhiên từ phương trình Euler $(6)$ ta thấy

$$\log Z(u) = N_1 u + ...$$

gần $u=0$, như vậy nghiên cứu $Z(u)$ giúp ta hiểu về $N_1$. "Giả thuyết Riemann" của Artin sinh ra đánh giá

$$(7) \ \ \ \left|N_1 -q \right| \leq  c.q^{1/2},$$

làm chặt hơn kết quả trước đó của ông về việc đếm số nghiệm của phương trình Gauss.

 

Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.

VI. Đối đồng điều etale và định lý Deligne

 

Sử dụng kết quả cho các đường cong của mình, Weil đã chứng minh được giả thuyết của mình với các siêu mặt thỏa mãn công thức Kunneth cũng như một số ta tạp Grassman. Nhưng tại thời điểm đó không có một lý thuyết đối đồng điều nào đủ "tốt" có thể được định nghĩa. Khoảng năm $1953$, Cartan và Serre đã dùng đối đồng điều Leray với hệ số là các bó như một công cụ cực kỳ hữu hiệu để nghiên cứu các đa tạp phức và Serre đã chỉ ra làm cách nào để chuyển các kĩ thuật này sang thế giới của các đa tạp đại số trên một trường đóng đại số với đặc số $p$. Nhưng khi $p>0$, những nhóm đối đồng điều được định nghĩa không thỏa mãn công thức Lefschetz $(13)$, trong đó vế trái là một số nguyên, mà không phải một phần tử của một trường có đặc số $p$. Chỉ sau khi Grothendieck xây dựng lý thuyết lược đồ từ một ý tưởng của Serre thì ông đã có thể mở rộng ý tưởng ban đầu theo cả hai hướng "tôpô" và "bó", cho ứng mỗi đa tạp (hoặc lược đồ) $X$ một đại số đối đồng điều $H^{\bullet}(X_{et},\mathbb{Q}_l)$ trên trường l-adic $\mathbb{Q}_l$, trong đó $l$ là một số nguyên tố khác với đặc số của trường ban đầu (các trường $l$-adic đã được khám phá bởi Weil và Deuring).

 

Độ sâu sắc và phức tạp của các kỹ thuật liên quan trong định nghĩa của "đối đồng điều etale" $H^{\bullet}(X_{et})$ như là để loại trừ mọi khả năng trong việc đưa ra bất kỳ một chi tiết nào nữa trong định nghĩa của nó. Hãy để chúng tôi chỉ ra Grothendieck (với sự giúp đỡ của M. Artin (con trai của E. Artin) và J. L. Verdier) đã có thể chứng minh các tính chất (A), (B), (C) và gần đây Deligne đã chứng minh (D) đúng với mọi đa tạp trên một trường hữu hạn $\mathbb{F}_q$; tuy nhiên không một tính chất nào tương tự như (E) đã được chứng minh cho đối đồng điều etale (hoặc bất kỳ một lý thuyết đối đồng điều nào được đưa ra gần đây). Các tính chất (A), (B), (C) là đủ để chứng minh $(15)$, cũng như phương trình hàm

$$(16) \ \ \ Z_V(1/q^d u) = \pm q^{n\chi/2} u^{\chi}Z_V(u)$$

trong đó

$$(17) \ \ \ \chi = \sum_{i=0}^{2d} (-1)^i \mathrm{dim} H^i(X_{et},\mathbb{Q}_l).$$

Tuy nhiên, gần đây người ta mới biết rằng các hệ số của $P_j$ trong $(15)$ là độc lập với số nguyên tố $l$. Điều này được chứng minh bởi Deligne năm $1973$ cùng với phần khó nhất của giả thuyết Weil là $\left|\alpha_{ij}\right|=q^{1/2}$.

 

Một lần nữa ta nhắc lại rằng không thể mô tả một cách tuyệt đối khéo léo các chứng minh, điều này hơi khác với chứng minh của Hasse và Weil, do nó không thể dựa trên một lập luận "positivity". Ta hạn chế bài toán xuống trường hợp $i=d$ $(H^d(X))$ để chứng minh rằng $\left|\alpha_{dj}\right|=q^{d/2}$ tương đương với

$$(18) \ \ \ q^{(d-1)/2} \leq \left|\alpha_{dj}\right| \leq q^{(d+1)/2}$$

lý do là nếu ta áp dụng kết quả này với $X^k$ và sử dụng công thức Kunneth sẽ thu được

$$q^{(kd-1)/2} \leq \left|\alpha_{dj}^k \right| \leq q^{(kd+1)/2}$$

sau đó cho $k$ tới $+\infty$ và thu được điều phải chứng minh. Thậm chí trong $(18)$ ta có thể giả sử là $d$ chẵn và sau đó có thể chứng minh bằng quy nạp; đây là một bước sâu sắc và khó trong chứng minh, dựa trên kĩ thuật cũ "monodromy" của Picard và Lefschetz: kĩ thuật này hoàn toàn mang tính tôpô trong trường hợp cổ điển, nhưng nó đã được cải tiến bởi Grothendieck và những người cùng trường phái sang đối đồng điều etale.

 

Như mọi khi, trong toán học, sự đột phá này mở ra một con đường trong việc khai phá các vấn đề mới; nhưng chừng nào bài toán ban đầu của Gauss còn được quan tâm, nó là điểm cuối của vấn đề, vì định lý của Deligne suy ra rằng, số các điểm bậc $1$ của một siêu mặt xạ ảnh không suy biến $d$ chiều thỏa mãn đánh giá

$$\left| N - (1 + q+...+q^d )\right| \leq bq^{d/2}$$

trong đó hằng số chẵn $b$ có thể tính cụ thể: nó là số Betti thứ $d$ của các siêu mặt trên $\mathbb{C}$ có cùng bậc với $V$.

 

Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.

Câu chuyện về "các giả thuyết Weil" là một ví dụ tuyệt vời của toán học, và là một trong các ví dụ kinh điển thể hiện sự thống nhất của toán học. Ý tưởng cốt lõi cho chứng minh của nó đến từ sáu người: E. Artin, F. K. Schmidt, H. Hasse, A. Weil, A. Grothendieck và P. Deligne, trong khoảng năm mươi năm $(1923-1973)$.

 

I. Số nghiệm của phương trình đồng dư

 

Như mọi vấn đề trong lý thuyết số, câu chuyện bắt đầu từ Gauss. Trong công trình về luật thuận nghịch bình phương của mình, Gauss đưa ra công thức tổng Gauss $\sum_{s=0}^p \mathrm{exp}\left({\frac{2\pi i x^2}{p}}\right)$ với $p$ nguyên tố; để tính các tổng này, bằng một số lập luận sơ cấp, ông suy ra cần tính số nghiệm của các phương trình đồng dư

$$(1) \ \ \ ax^3 - by^3 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ ax^4 - by^4 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ y^2 \equiv ax^4 - 1 \ (\mathrm{mod} \ p),$$

trong đó $a,b$ là các số nguyên cố định không chia hết cho $p$, nghiệm $(x,y)$ được xét theo đồng như modulo $p$, như vậy thực chất ta đi đếm số nghiệm trong $\mathbb{F}_p$ - trường $p$ phần tử; chúng ta đi tìm một biểu diễn asymptotic (dưới dạng một hàm đơn giản của $p$) với $p$ chạy trên một tập vô hạn các số nguyên tố. Một thời gian ngắn sau, Jacobi nhận xét rằng, ngược lại, bằng các tính chất cơ bản của tổng Gauss, ta có thể thu được một đánh giá tốt về số nghiệm trong các trường hợp tổng quát hơn, ở đó các phương pháp sơ cấp khó khả thi. Jacobi sau này gần như không có nhiều tiến triển trong vấn đề này cho tới khi Hardy và Littlewood, trong khi nghiên cứu bài toán Warning, với mong muốn tìm ra các tính chất của "chuỗi kì dị", thấy rằng cần phải đưa ra một đánh giá tiệm cận cho số nghiệm cho phương trình đồng dư

$$(2) \ \ \ x_1^k + ... + x_r^k \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p),$$

trong đó $p$ là một số nguyên tố chạy tới $+\infty$. Hai ông đã sử dụng phương pháp của Jacobi; tổng quát hơn, năm $1949$, cả Hua-Vandier và A. Weil đã độc lập chứng minh rằng phương pháp này có thể đánh giá số nghiệm $N$ của phương trình

$$(3) \ \ \ a_0x_0^{k_0} + ... + a_r x_r^{k_r} = 0 \ (a_0,...,a_r \neq 0)$$

trong mọi trường $\mathbb{F}_{q}$ với $q = p^m$; kết quả được đưa ra

$$(4) \ \ \ N = q^r + O(q^{(r+1)/2})$$.

Kết quả tương tự được đưa ra bởi Danvenport $(1931)$ và Mordell $(1933)$ cho các phương trình dạng $y^m = P_n(x)$ trong $\mathbb{F}_p$ với một số $m,n$ nhỏ; trong đó $P_n$ là một đa thức bậc $n$. Kết quả thu được là $N  = p + O(p^{\phi(m,n)})$ trong đó $1/2 < \phi(m,n) < 1$.

 

 

Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.

III. Hình học đại số dấn thân

 

Cho $k$ là một trường bất kỳ, người ta mô tả tập nghiệm $(x_1,...,x_r) \in k^r$ của phương trình $P(x_1,...,x_r)=0$ với $P$ là một đa thức bất khả quy trong $k[T_1,...,T_r]$ như một "siêu mặt đại số affine" ("đường cong" khi $r=2$, "mặt" khi $r=3$) trong "không gian affine" $k^r$, Hơn nữa, với mọi mở rộng trường $K/k$, ta có thể xét các nghiệm $P(y_1,...,y_r)$ với giá trị $y_i$ trong trường $K$ lớn hơn, như vậy ta có một "siêu mặt đại số" $V$ trong $K^r$; nói các hệ số của $P$ nằm trong $k$ giờ được thay bởi việc nói $V$ xác định (hay định nghĩa) trên $k$. Kinh nghiệm cho thấy việc chuyển đổi giữa ngôn ngữ hình học và trực giác sang một đa tạp "trừu tượng" chỉ có ích khi $K$ là đóng đại số (hãy thử nghĩ về $x_1^2+x_2^2+1=1$ khi $k=\mathbb{R}$). Ta sẽ hạn chế sự quan tâm xuống trường hợp $K=\overline{k}$, bao đóng đại số của $k$; hơn nữa, ta chỉ xét các siêu mặt $V$ không suy biến trong $\overline{k}^r$, i.e. tại các điểm mà "mặt phẳng tiếp xúc" được định nghĩa duy nhất theo nghĩa thông thường (có nghĩa là tất cả các đạo hàm riêng không đồng thời triệt tiêu trong $V$). Với mọi điểm $x=(x_1,...,x_r) \in V$, toa độ $x_i \in \overline{k}$, do đó có một mở rộng hữu hạn nhỏ nhất $k(x)$ của $k$ chứa tất cả $x_j$ và $[k(x):k]=\mathrm{deg}(x)$ được gọi là bậc của điểm $x$. Nếu $\mathfrak{m}$ là hạt nhân của đồng cấu $k[T_1,...,T_r] \to \overline{k}$ gửi mỗi $T_i$ tới $x_i$ thì $\mathfrak{m}$ là một ideal cực đại của $k[T_1,....,T_r]$ và $k[T_1,...,T_r]/\mathfrak{m}$ đẳng cấu với $k(x)$; ta viết $k(\mathfrak{m})=k(x)$ và $\mathrm{deg}(\mathfrak{m}) =\mathrm{deg}(x)$; có thể chứng minh rằng mọi ideal cực đại $\mathfrak{m}$ của $k[T_1,...,T_r]$ chứa $P(T_1,...,T_r)$ ứng với một điểm $x$ của $V$ với bậc $\mathrm{deg}(\mathfrak{m})$.

 

Khi $k=\mathbb{F}_q$, đặt

$$(8) \ \ \ Z_V(u) = \prod_{P \in \mathfrak{m}}(1 - u^{\mathrm{deg}(\mathfrak{m})})^{-1};$$

hàm $Z(u)$ định nghĩa bởi E. Artin bằng với hàm $Z_C(u)$, trong đó $C$ là "đường cong affine" $x_2^2 - P(x_1) = 0$ xác định trên $\mathbb{F}_q$. Một cách tổng quát ta gọi $Z_V$ là hàm zêta của $V$. Các điểm của $V$ trong $(\mathbb{F}_q)^r$ là các điểm mà $\mathrm{deg}(x)$ là ước của $n$; hiển nhiên số lượng các điểm như vậy $\leq q^{nr}$, như vậy số lượng các ideal cực đại $\mathfrak{m}$ mà $P \in \mathfrak{m}$ tương ứng với các điểm này có ước lượng tiên nghiệm $\leq q^{nr}$, điều này chứng tỏ rằng $(8)$ hội tụ với $u$ nhỏ; hơn nữa, với $u$ nhỏ ta có thể viết

$$(9) \ \ \ uZ'_V(u)/Z_V(u) = \sum_{P \in \mathfrak{m}} \frac{\mathrm{deg}(\mathfrak{m}) u^{\mathrm{deg}(\mathfrak{m})}}{1 - u^{\mathrm{deg}(\mathfrak{m})}} = \sum_{v=1}^{\infty} \sum_{P \in \mathfrak{m}} \mathrm{deg}(\mathfrak{m}) u^{v\mathrm{deg}(\mathfrak{m})} = \sum_{v=1}^{\infty} N_v u^v$$

trong đó $N_v$ là số điểm của $V$ trong $(\mathbb{F}_q)^r$.

 

Cách định nghĩa này có thể mở rộng cho các dạng đa tạp không suy biến khác, không nhất thiết phải bị nhúng trong "không gian affine" $\overline{k}^r$. Lịch sử mà nói, ngôn ngữ của hình học đại số trong lý thuyết của các hàm zêta được giới thiệu vào năm $1931$ bởi F. K. Schmidt, người nghiên cứu các đường cong xạ ảnh trên trường $\mathbb{F}_q$. Ông chứng minh rằng lý thuyết Dedekind-Weber của đường cong đại số trên $\mathbb{C}$ (bao gồm định nghĩa về giống và định lý Riemann-Roch) có thể mở rộng cho đường cong xạ ảnh trên một trường đóng đại số $\overline{k}$ bất kỳ; điều này cho phép ông chứng minh rằng mọi đường cong xạ ảnh không suy biến $C$ với giống $g$ định nghĩa trên $\mathbb{F}_q$, hàm zêta có thể biểu diễn dưới dạng

$$(10) \ \ \ Z_C(u) = \frac{P_{2g}(u)}{(1-u)(1-qu)}$$

trong đó tử số là một đa thức bậc $2g$ với hệ số nguyên và ta có một phương trình hàm

$$(11) \ \ \  Z_C(1/qu) = (qu^2)^{1-g}Z_C(u).$$

Giả thuyết Riemann cho $C$ do đó nói rằng không điểm của $P_{2g}$ nằm trên đường tròn $\left|u \right|=q^{1/2}$; điều này tương đương với bất đẳng thức

$$(12) \ \ \ \left|N_v - q^v- 1\right| \leq 2g.q^{1/2} \ \text{với mọi} \ v \geq 1.$$

 

Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.

Bài này vừa lên tạp chí Pi, bản ở diễn đàn là bản chưa edit, mình sẽ chỉnh sửa lại.

 

V. Các "thay thế" bởi đối đồng điều của Hasse và Weil

 

Để hiểu tại sao Weil đã có thể đi tới những khái niệm như vậy, ta phải quay lại chứng minh của Hasse cho các đường cong giống $1$ trên $\mathbb{F}_q$. Trong lý thuyết cổ điển của các đường cong không suy biến trên trường số phức, với một đường cong $C$ ta định nghĩa jacobian $J = J(C)$, có thể xem như đối ngẫu Pontrjagin của nhóm đồng điều $H_1(C,\mathbb{Z})$; đối ngẫu này được cho bởi dạng song tuyến tính $(\gamma,\omega) \mapsto \int_{\gamma}\omega$ định nghĩa trên các chu trình $\gamma$ và các dạng vi phân abel chỉnh hình $\omega$ trên diện Riemann $C$ ("chu kỳ" của $\omega$ trên $\gamma$). Nếu $C$ có giống $g$ thì $J(C)$ là một xuyến phức $\mathbb{C}^g/\Delta$ trong đó $\Delta$ là một nhóm rời rạc với hạng $2g$, thỏa mãn điều kiện song tuyến tính Riemann cổ điển. Ta có thể định nghĩa $J$ một cách đại số, bằng cách xét các nhóm cộng $G/G_i$ của các lớp của các ước bậc $0$ trên $C$, chia thương cho quan hệ tuyến tính: ta gắn mỗi ước $D$ bậc $0$, vốn có thể viết dưới dạng $\partial \gamma$ với $1$-xích $\gamma$ trên diện Riemann, một lớp $\phi(D)$ trong $\mathbb{C}^g/\Delta$ của vector $\left(\int_{\gamma}\gamma_1,...\int_{\gamma}\omega_g\right)$, trong đó các $\omega_j$ lập thành một cơ sở của không gian các dạng vi phân chỉnh hình; định lý Abel-Jacobi nói rằng phép tương ứng này là toàn ánh và có hạt nhân $G_i$. Từ đó ta có thể xem $J$ như một nhóm đại số (một trường hợp cụ thể của nhóm đại số trên $\mathbb{C}$ là các đa tạp abel) với sự giúp đỡ của (siêu việt) điều kiện song tuyến tính Riemann. Cuối cùng, nếu $x_0$ là một điểm trên $C$,

$$x \mapsto \phi((x) - (x_0))$$

là một cấu xạ từ $C$ vào $J$ và là đẳng cấu nếu $g=1$.

 

Phương pháp đầu tiên của Hasse để làm việc với các đường cong $C$ mà $g=1$ xác định trên $\mathbb{F}_q$ là "nâng" $C$ thành một đường cong $C_0$ "cổ điển" xác định trên $\mathbb{Q}$: nếu $E$ là trường các hàm hữu tỷ trên $C$, ông chứng minh rằng ta có thể xác định $C_0$ bằng cách, nếu $\omega_1,\omega_2$ là các hàm chu kì của các hàm elliptic ứng với $C_0$ (nên trường $E_0$ của các hàm này là trường các hàm hữu tỷ trên $C_0$), $\omega_1/\omega_2$ "nên" sinh ra một trường ảo quadratic $K$ trên $\mathbb{Q}$ và $E$ sẽ là trường thặng dư của vành các số nguyên của $K$ modulo một ideal nguyên tố nào đó của vành. Hasse từ đó đã dùng các kết quả cổ điển về "các phép nhân phức" của $C_0$ (i.e. tự đồng cấu của jacobian $J(C_0)$) để xác định số điểm của $C$ với bậc $1$, do đó kết thúc chứng minh "giả thuyết Riemann" cho $C$.

 

Một thời gian sau, Hasse đưa ra một phương pháp có tính bản chất hơn: như đã nói, $J(C)$ có thể định nghĩa một cách đại số như một nhóm "trừu tượng", và cấu xạ Frobenius có thể xem như một tự đồng cấu của nhóm này; Hasse chứng minh rằng tử số của hàm zêta $Z_C$ trong $(10)$ (trong trường hợp này là một đa thức bậc $2$) chính là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu Frobenius. Công cụ chính cho phương pháp này là số nguyên $v(\lambda)$ liên kết với mỗi tự đồng cấu $\lambda$ của $J(C)$: nếu $E$ là trường các hàm hữu tỷ của $C$, $\lambda$ định nghĩa một "đối cấu xạ" $R(\lambda)$ - một tự đẳng cấu của $E$ và $v(\lambda)$ là bậc $[E:R(\lambda)(E)]$, hữu hạn nếu $\lambda$ là toàn cấu. Hasse chứng minh rằng với mọi số nguyên $a,b$ thì

$$v(a.1 + b.\lambda) = a^2 + \sigma(\lambda)ab + v(\lambda)b^2$$ với mọi tự đồng cấu toàn ánh $\lambda$ của $J(C)$, tính xác định dương của dạng song tuyến tính này đưa ra chứng minh cho "giả thuyết Riemann."

 

Rất khó để mở rộng theo một cách hiển nhiên phương pháp của Hasse cho các đường cong giống $1$ lên các đường cong giống $g$ xác định trên $\mathbb{F}_q$: lý thuyết cổ điển chứng minh được rằng $J(C)$ "nên" là một nhóm đại số $g$ chiều (thay vì đẳng cấu với $C$ như trong trường hợp $g=1$ của Hasse), và cho tới tận năm $1940$ không ai mở rộng hình học đại số trên trường đặc số $p>0$ lý thuyết của các nhóm đại số, và nói riêng lý thuyết của các đa tạp abel. Chỉ một mình A. Weil đã làm điều này, người đặt viên gạch đầu tiên, trong cuốn Foundations of algebraic geometry, cho các tính chất cơ bản của các số giao (intersection numbers) độc lập với những gì có trong tôpô đại số. Bằng cách này ông đã có thể nghiên cứu cấu trúc vành của các tự đồng cấu của một đa tạp abel $A$; với mọi tự đồng cấu toàn ánh $\lambda$ của $A$, Weil định nghĩa số nguyên $v(\lambda)$ như Hasse (bây giờ $E$ là trường các hàm hữu tỷ trên $A$) và chứng minh

$$v(a.1 + b.\lambda) = a^{2g} + \sigma(\lambda)a^{2g-1}b +...+ v(\lambda)b^{2g}.$$

Bây biến $\sigma(\lambda)$ được xem như một "thay thế" cho $\mathrm{Tr}(f^{(1)})$ khi $\lambda$ là tự đồng cấu của $J(C)$ ứng với một cấu xạ $f$ của $C$. Một "phương án thay thế" cho đối ngẫu Poincaré được phát hiện trong một đối ngẫu tổng quát cho các đa tạp abel, có thể định nghĩa nghĩa hoàn toàn đại số (trong trường hợp cổ điển người ta định nghĩa nó bởi đối ngẫu Pontrjagin); cuối cùng, nếu $\lambda'$ là "chuyển vị" của một tự đồng cấu $\lambda$ trong đối ngẫu này thì ta có thể chứng minh $\sigma(\lambda \lambda') > 0$ với $\lambda \neq 0$, tính chất này (xem như một "thay thế" cho tính xác định dương của phép nhân vô hướng Hodge) cho phép Weil đưa ra chứng minh "giả thuyết Riemann" cho đường cong có giống bất kỳ.

 

Trong tất cả các công trình này, Weil đã không ngừng giữ trong trí óc ông lý thuyết cổ điên của các "tương ứng" xây dựng bởi Hurwicz: một tương ứng trên $C$ có thể xem như một cấu xạ "đa trị", ,mà cụ thể hơn như một đường cong $\Gamma$ trên diện $C \times C$; tốt hơn nữa, nó được định nghĩa như một ước (tổ hợp tuyến tính của các đường cong) trên $C \times C$. Một tương ứng $\Gamma$ gắn (một cách tự nhiên) mỗi ước $D$ trên $C$ (tổ hợp tuyến tính của các điểm trên $C$) một ước khác $\Gamma(D)$, một lần nữa điều này định nghĩa một tự đồng cấu của $J(C)$; ngược lại nó chỉ ra mọi tự đồng cấu của $J(C)$ đều thu được từ cách định nghĩa này. Trong trường hợp cổ điển, công thức Lefschetz $(13)$ có thể mở rộng để đưa ra một số giao của một tương ứng với "tương ứng đồng nhất", i.e. đường chéo $\Delta$ của $C \times C$, và thực tế điều này đã được Hurwicz chứng minh năm $1866$, sử dụng lý thuyết tích phân abel; Weil thực ra đã có thể chứng minh một công thức tương tự một cách thuần túy đại số, điều đã dẫn ông đề xuất các giả thuyết mang tên mình.

 

Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.

IV. Tôpô đại số, ngày mơ ước!

 

Quay lại trường hợp siêu mặt $V$ trong $(\overline{\mathbb{F}}_q)^r$, nhận xét rằng các phần tử của $\overline{\mathbb{F}}_q$ thuộc $\mathbb{F}_{q^n}$ chính là nghiệm của phương trình $t^{q^n}=t$. Xét ánh xạ

$$\Phi: (x_1,...,x_r) \mapsto (x_1^{q},...,x_r^q)$$

từ $(\overline{\mathbb{F}}_q)^r$ vào chính nó. Do hệ số của $P$ nằm trong $\mathbb{F}_q$, do đó thỏa mãn $t^q = t$, ta có

$$P(\Phi(x)) = (P(x))^q,$$

do đó $\Phi$ ánh xạ $V$ lên chính nó; hạn chế của $\Phi$ lên $V$ được gọi là cấu xạ Frobenius của $V$. Năm $1936$, Hasse nhận thấy rằng với một đường cong $C$, số $N_v$ chính là số điểm $x \in C$ thỏa mãn $\Phi^v(x) = x$; nói cách khác, $x$ là một điểm bất động của $\Phi^v$. For a moment, chúng ta hãy bỏ qua chuỗi các sự kiện tính theo niên đại mà giả vờ rằng ta đang làm việc với các đa tạp đại số $X$ trong không gian xạ ảnh phức. Từ Picard và  Poincaré người ta đã nhận thấy rằng hầu hết các tính chất của các đa tạp đại số được liên hệ chặt chẽ với các tính chất đồng điều. Trong phiên bản hiện thời (chủ yếu từ các công trình của Lefschetz và Hodge), với một đa tạp xạ ảnh không suy biến bất khả quy $X$ với chiều $d$ trên $C$ (do đó là một đa tạp khả vi chiều $2d$), các tính chất này xoay quanh đại số đối đồng điều $H^{\bullet}(X) = \bigoplus_i H^i(X)$ của $X$ trên trường $K$ với đặc số $0$; nó là một đại số phân bậc trên $K$, thỏa mãn các tính chất sau:

• (A) Mỗi $H^i(X)$ là một $K$-không gian vector hữu hạn chiều, bằng $0$ ngoại trừ $0 \leq i \leq 2d$;
• Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên $H^{2d}(X) \cong K$ và với mỗi $i$, phép nhân trên $H^{\bullet}(X)$ là một phép ghép cặp không suy biến $H^{i}(X) \times H^{2d-i}(X) \to H^{2d}(X) \cong K$ (đối ngẫu Poincaré) cho phép ta đồng nhất $H^{2d-i}(X)$ với $$H_i(X) = \mathrm{Hom}_K(H^i(X),K)$$, đồng điều của $K$ tại chiều $i$.
• Với các đa tạp không suy biến $X, Y$, tồn tại một đẳng cấu tự nhiên của các đại số phân bậc $$H^{\bullet}(X) \otimes H^{\bullet}(Y) \cong H^{\bullet}(X \times Y) \ \text{(công thức Kunneth)}.$$
• (B) Mọi cấu xạ $f: X \to X$ cảm sinh ra một đồng cấu tuyến tính $f^{(i)}:H^i(X) \to H^i(X)$, sao cho tổng của $f^{(i)}$ là một đồng cấu $f^{\bullet}:H^{\bullet}(X) \to H^{\bullet}(X)$ của các đại số phân bậc. Các điểm bất động của $f$ là phép chiếu lên $X$ của giao của đồ nghị $\Gamma$ của $f$ và đường chéo $\Delta$ của $X \times X$; nếu $\Gamma$ giao $\Delta$ transversally tại mỗi điểm (tức là các không gian tiếp xúc của chúng có giao chỉ là một điểm), số lượng điểm bất động của $f$ được tính bởi công thức vết Lefschetz $$(13) \ \ \ N  = \sum_{i=0}^{2d} (-1)^i \mathrm{Tr}(f^{(i)}).$$
• (C) Nếu $Y$ là một đa tạp con không suy biến của $X$ với chiều $d-1$, tồn tại các đồng cấu tuyến tính tự nhiên $H^i(X) \to H^i(Y)$ là song ánh với $i \leq d-2$ và đơn cấu với $i = d-1.$
• (D) Lấy $h \in H^2(X)$ ứng với lớp đồng điều trong $H_{2d-2}(X)$ của một lát cắt siêu mặt của $X$ (từ đối ngẫu Poincaré), đặt $L: a \to ha$ là phép nhân trái bởi $h$ trong $H^{\bullet}(X)$; khi đó $L^{d-i}: H^i(X) \to H^{2d-i}(X)$ là đẳng cấu khi $i \leq d$.

Một lập luận đại số đơn giản cho thấy nếu một cấu xạ $f: X \to X$ thỏa mãn $f^{(2)}(h) = q.h$ với $q > 0$ là một số hữu tỷ, và nếu $g_i = q^{-i/2}f^{(i)}$ (xem như một tự đồng cấu của $H^{i}(X) \otimes_K \overline{K}$), $g_i$ là song ánh, và $g_i^{-1}$ được đồng nhất với $\text{}^tg_{2d-i}$ bởi đối ngẫu Poincaré. Do đó nếu $\alpha_{ij}$ là các giá trị riêng của $f^{(i)}$ trong $\overline{K}$, tập các phần tử $q^{i/2}\alpha_{ij}$ chính là tập các phần tử $\alpha_{2d-i,j}/q^{d-(i/2)}$.

 

(E) Trong mỗi $H^i(X)$ với $i \leq d$ có một không gian con $A^i(X)$ ổn định dưới tác động của $f^{(i)}$ với mọi cấu xạ $f: X \to X$, và trên mỗi $A^i(X)$, ta có thể trang bị một cấu trúc $\mathbb{Q}$-không gian vector cùng một tích vô hướng không suy biến thỏa mãn: với mỗi $f$ thỏa mãn (D) thì mỗi $g_i$ là unita với tích vô hướng này; điều này suy ra tất cả các giá trị riêng của $f^{(i)}$ (phần tử của $\overline{\mathbb{Q}}$) có giá trị tuyệt đối là $q^{1/2}$.

 

Quay lại với siêu mặt $V$ xác định trên $\mathbb{F}_q$, giả sử ta có thể ứng mỗi $V$ với một đại số phân bậc $H^{\bullet}(V)$ có tất cả các tính chất vừa nêu, đồng thời $\Phi^{(2)}(h) = q.h$ trong đó $\Phi$ là đồng cấu Frobenius. Không khó để thấy đồ thị của $\Phi^v$ giao $\Delta$ transversally; do đó, nếu $\alpha_{ij}$ là các giá trị riêng của $(\Phi^v)^{(i)}$, số $N_v$ được cho bởi

$$(14) \ \ \ N_v = \sum_i (-1)^i \sum_j \alpha_{ij}^v;$$

và ta cũng có ($d= r-1=\mathrm{dim}(V)$)

$$(15) \ \ \ Z_V(u) = \frac{P_1(u)P_3(u)...P_{2d-1}(u)}{P_0(u)P_2(u)...P_{2d}(u)}$$

trong đó $P_i(u) = \mathrm{deg}(1 - u.\Phi^{(i)})$ là một đa thức hệ số nguyên. Nói riêng, $Z_V(u)$ là một hàm hữu tỷ; hơn nữa $Z_V(1/q^d u)$ có không điểm và cực giống với $Z_V(u)$ ngoại trừ khi $u=0$, và ta có $\left|\alpha_{ij}\right|=q^{1/2}$. Cuối cùng, nếu tất cả hệ số của $V$ là các lớp đồng dư modulo $p$ của các số nguyên, hệ số của phương trình của một đa tạp không suy biến $V_0$ trong $\overline{\mathbb{Q}}^r$, bậc của mỗi $P_i$ sẽ bằng số Betti thứ $i$ của $V_0$.

 

Các phát biểu trên là các giả thuyết Weil cho $Z_V$.

 

Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.

Thực ra nếu anh nói vô ích thì nhiều thứ vô ích mà, còn chuyện người P-Đ kể cho vui miệng tý thôi. Ngay cả việc làm nhiều hội thảo hội nghị cũng có thể nói là không có ích cho nghiên cứu chứ đừng nói viết la cà trên mạng.

Em viết một là vì khi rảnh hai là vì trước đây thi thoảng em cũng đi đọc trên mạng thấy vài chỗ có ích nên mình viết mà ai đọc được một vài chi tiết thấy hay hay đã tốt rồi. Đi hội nghị, hội thảo cũng thế.

Em cũng biết một ông ở khoa làm về rigid space và có dùng vài cái của Ayoub nhưng cụ thể thế nào không rõ. Vấn đề còn tùy thuộc vào $2$-hàm tử mà mình dùng vì có một số tính chất cái này có cái kia không.

Tớ cũng muốn học về six operations (không nhất thiết là $l$-adic, topological version tớ mà hiểu cũng là tốt rồi, cũng không biết có khác nhau lắm không?) vì cái này có áp dụng cho lý thuyết biểu diễn được (nên họ mới gọi geometric representation theory). Theo cảm tưởng thì cái này như một công thức, không nhất thiết phải biết mọi chi tiết, chỉ cần biết đủ dùng là được rồi? 

Hôm nọ tớ có viết một file(đọc kết hợp với bài motivic integration hôm qua trên diễn đàn của tớ sẽ trọn bộ hơn) trong đó có giới thiệu sơ qua về six operations. Thực ra tất cả six operations đều có thể thiết lập chung từ một framework phát triển bởi Joseph Ayoub (xem định lý 3.2 trong file tớ gửi). Ý tưởng chung là giờ người ta làm trên các phạm trù dẫn xuất (derived category) thay vì làm trên phạm trù thông thường, vấn đề là lấy dẫn xuất như thế nào:

• Trong topology thì lấy dẫn xuất trên phạm trù bó các nhóm abel.
• Trong $l$-adic thì lấy dẫn xuất trên phạm trù các bó $l$-adic.
• Trong lý thuyết đồng luân motivic thì lấy phạm trù đồng luân trên một phạm trù tiền bó nào đó.

Six operations thực chất gọi là six operations formalism (hình thức luận sáu toán tử), nên không cần đi quá sâu vào chi tiết đâu. Ban đầu nó được phát triển vì người ta nhận thấy nhiều tính toán chỉ cần manipulate bằng six operations là được rồi, còn nguồn gốc thì dĩ nhiên đa số tới từ topology.

Em vào trường này thì đang định xin học về chương trình Langlands ạ. Trường đại học ở Úc em học có nhiều người làm trong mảng lý thuyết biểu diễn ((geometric) representation theory) nên hồi đó em cũng cố theo học mảng này. Nói thế thôi ạ chứ em cũng quèn lắm, cũng chỉ có kiến thức mỗi mảng một ít, chưa cố đi chuyên sâu vào cái nào cả. 

 

Giờ em cũng chỉ đang cố đọc hiểu bài của Bằng với anh nxb viết ạ. Rồi nếu mà thấy thạo toán bằng tiếng việt một tí nữa thì em sẽ xin viết một bài ạ. 

Chương trình Langlands thì làm sao mà quèn được hả Toàn ? Diễn đàn mình cũng còn một anh nữa làm về Langlands hay sao, nhưng mình không tiện nhắc tên vì lâu cũng không liên lạc.

 

Thực ra cậu cứ viết bằng tiếng Anh cũng được, nhân đây em nghĩ ở mục toán hiện đại anh em có thể sử dụng hai ngôn ngữ vì đi vào nghiên cứu sâu có rất nhiều thuật ngữ không được dịch, chưa kể dùng tiếng Anh hay Việt cũng tùy gu từng người và nếu đã từng nghiên cứu dù là ở mức undergrad thì ít nhất cũng phải đọc được tiếng Anh.

Chính xác em ơi! Thảo luận chuyên môn ở mức trình độ như các em thì chắc là chưa nhiều được, vì mỗi người làm mỗi mảng khác nhau chứ không phải như Toán đại cương trở xuống, ai cũng được học những thứ giống nhau.

Việc thảo luận chém gió về văn hoá Toán thực ra là có ý nghĩa rất lớn với diễn đàn đấy em. Ví dụ như thảo luận về những tin tức sự kiện trong giới nghiên cứu sẽ giúp cho diễn đàn cũng theo được với nhịp sống của cộng đồng Toán học. Như những bài mà Nxb đã đăng anh thấy thực sự rất có ích, làm cho diễn đàn "Toán" hơn (và nói riêng thì bản thân anh cũng nhờ vậy biết thêm được nhiều thứ). Anh mừng vì diễn đàn vẫn còn những người làm Toán thuần tuý thực sự như các em vậy.

 

Tất nhiên là anh vẫn mong sau này diễn đàn phát triển lên nữa, trở thành nơi thảo luận chuyên môn và thậm chí là nơi anh em có thể cộng tác ra bài báo. Tương lai đó phụ thuộc rất nhiều vào các em 

 

Không biết nmlinh16 và vutuanhien hiện đang học hay công tác ở đâu và làm về mảng gì ấy nhỉ?

Còn ông Zaraki nhưng ông này im thi thoảng vào đánh một like rồi ra.

 

Toàn định theo Langlands thì chắc cũng có kiến thức về nhóm đại số đúng không ? Anh đang định đọc cuốn sách về giả thuyết Weil trên trường hàm của Lurie :https://www.math.ias...wa-abridged.pdf.

Không biết giả thuyết Weil trên trường hàm khác gì giả thuyết Weil bình thường không nhỉ? Vì dạo này em cũng đang đọc $l$-adic cohomology và giả thuyết Weil.

 

Từ giờ Toàn kiểm duyệt bài viết bài nào tệ thì viết tus cho tớ với anh Nxb biết   vì đúng tớ toàn kiểu introductory nên không hiểu thì có vấn đề thật.

Giả thuyết Weil này là giả thuyết Weil về các số Tamagwa chú ơi, còn anh đoán cái Bằng bảo là giả thuyết Weil về  hàm zeta. Nhưng mà trong cuốn sách kia lại có một chương về đối đồng điều $l$-adic nên có liên quan tới cái chú đang làm rồi đấy. =))

Em đọc $l$-adic để học về six operations thôi, thực ra mỗi khi học em sẽ note lại nên không biết anh hay mọi người có hứng thú em sẽ lập một topic về $l$-adic cohomology xong sẽ note lại nội dung mình học hàng tuần.

Em luận án tốt nghiệp là làm về giả thuyết Weil về số Tawagawa đó anh https://toanqpham.gi...io/Tamagawa.pdf

Cho xin template phát Toàn ơi .

Anh cũng cần 4 operations (thực ra cái anh đã làm có một bước xây dựng left adjoint cho hàm tử $Lf^*$), nhưng thực ra chả tính đối đồng điều bao giờ. Tuy nhiên, mình cứ đăng lên thôi, coi như xây dựng một môi trường văn hoá cho diễn đàn. Như anh thấy mọi người ở Pháp hay nói toán học còn có culture nữa (anh bị nói vậy khi anh nói nhiều công việc ở khoa thừa thãi không có ích cho nghiên cứu =)) ). Ví dụ như ở chỗ anh mọi người rất thích la cà với nhau, mặc dù anh cũng chưa cảm được lắm.

Thế là anh không bắt nhịp bọn này rồi, bọn Pháp cứ phải chém gió giữa giờ, giờ học, giờ ăn, cả lúc đi về. Hồi năm ba em học lý thuyết Galois ở trường, thầy (you know who) bảo lớp em học chả khác gì bọn Pháp, đại khái là hay đi muộn, tài tử, lại còn hay chém gió. Không như bọn Đức, làm cái gì chuẩn chỉ, đúng giờ, trưa nghỉ còn không hút thuốc uống cafe. Chả biết có phải em bị ngấm cái thói đấy vào máu không, nhưng giờ làm gì ngày cũng phải hai cốc cafe chém gió, ngắm trời đất chém gió toán (nếu có bạn) xong mới làm việc được.