Trong bất kì một nhóm ba người nào cũng đã có 2 người gặp nhau trong thư viện.

Từ đây suy ra có không quá 2 thời điểm, như vậy thì chẳng phải điều phải chứng minh quá hiển nhiên sao?...

bạn viết lai đề cho rõ xem nào

có thể tổng quát cho bảng n.n (n không chia hết cho 3)

Phù.Tiếp tục mở rộng bài toán nhé.Hi vọng mọi người vào thảo luận.Mỗi mình anh Manutd vào thì chán quá
Mở rộng 3:Cho 1 đường tròn (O) và 1 đường thẳng d ko có điểm chung với (O).Dựng 2 điểm M,N trên d sao cho độ dài MN ko đổi và đường tròn đường kính MN tiếp xúc với (O)

nỏ hiểu đẹp ở mô, dựng điểm I trên d sao cho độ dài OI bằng tổng bán kính của (O) và nửa độ dài MN là được mà em.

mà chú Đức giải thích xem mở rộng ở chỗ nào thế , anh chưa thấy liên quan lắm, chắc tại lời giải của anh

Dựng bằng nghịch đảo, bán kính tính bằng định lý Steward. Kết quả như sau:
$r=\dfrac{R_1R_2(R_1+R_2)}{R_1^2+R_2^2+R_1R_2}$
với $r,R_1,R_2$ lần lượt là bán kính đường tròn (O), đường tròn đường kính AB, BC.

Mở rộng 4:Cho 4 điểm A,B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó và lập thành 1 hàng điểm điều hòa.Dựng các đường tròn đường kính AB,BC,CD,DA.CMR tồn tại 1 đường tròn tiếp xúc với cả 4 đường tròn đó.

lại dùng nghịch đảo xem sao, xét phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích $AB^2$. Ảnh của các điểm $C,D$, lần lượt là $C^*,D^*$. Qua phép biến hình này thì:
-đường tròn đường kính $AB$ biến thánh đường thẳng $d_1$ vuông góc với $AB$ tại $B$.
-các đường tròn đường kính $BC,CD$ lần lượt biến thành các đường tròn đường kính $BC^*,C^*D^*$.
-đường tròn đường kính $AD$ biến thánh đường thẳng $d_2$ vuông góc với $AB$ tại $D^*$.
Ta để ý rằng hai đường tròn đường kính $BC^*,C^*D^*$ tiếp xúc ngoài nhau, đường tròn đường kính $BC^*$ tiếp xúc với $d_1$ và đường tròn đường kính $C^*D^*$ tiếp xúc với $d_2$. Vì vậy muốn dựng được ảnh của đường tròn cần dựng qua phép nghịch đảo trên thì hai đường tròn đường kính $BC^*,C^*D^*$ phải bằng nhau, nói cách khác $C^*$ phải là trung điểm của $B$ và $D^*$.
Điều này được chứng minh như sau.
Vì $A,B,C,D$ là hàng điểm điều hòa nên ta có hệ thức $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CB}{CD}$ hay $AB.CD=AD.CB$. Cộng vào hai vế $AB(AB+BC)$ ta được $AB(AB+BC+CD)=AB^2+AB.BC+AD.CB$ hay $AB.AD=AB^2+AB.BC+AD.CB$. Tiếp tục cộng vào hai vế $AB.AD$ ta được: $2AB.AD = (AB+AD)(AB+BC)$ hay $2AB.AD = (AB+AD)AC$. Nhân vào hai vế $\dfrac{AB}{AC.AD}$ ta có: $2\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{AB^2}{AD}+AB$. Điều này lại tương đương với $2AC^*=AD^*+AB$. Đẳng thức này cho ta $C^*$ phải là trung điểm của $B$ và $D^*$, điều phải chứng minh.

Hình như em nhầm đề .Nói chung là bài này Mr Phất giới thiệu là đưa cho học sinh Việt Nam dự thi IMO năm mấy đó ko ai làm đc.Lão ấy định đề nghị cho làm bài đề nghị của VN đi thi IMO nhưng mấy trưởng đoàn VN bảo là sợ khó quá ko ai làm đc .
Để vài bữa nựa em check cái đề

thế thôi khỏi phải đưa lên em, ha ha

lần này là dã ngoại chứ có phải trong phòng họp đâu, loa đài, điện đóm mô ra ?

Gọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?H,K lần lượt là trực tâm của tam giác http://dientuvietnam...ex.cgi?ADQ,ABP; http://dientuvietnam...mimetex.cgi?I,J lần lượt là hình chiếu của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q,P lên http://dientuvietnam...etex.cgi?AD,AB. Ta có:




.

Tặng các bác các chú ở box này cái hình,mong các bác các chú cố gắng

Anh vẽ bằng chương trình gì mà xấu vậy! Em có Cabri nè, vẽ cũng tốt mà, chẳng nhẽ anh không có!

để ý thấy D và O' là ảnh của M và O qua cùng một phép đồng dạng tâm A, vì vậy hai đường tròn (O) và (O') vuông góc với nhau khi và chỉ chi AM vuông góc với AD. Điều này cũng tương đương với AM vuông góc với AT và tương tự BM vuông góc với BT. Từ đó dễ thấy (O) và (O') vuông góc với nhau khi và chỉ khi MT là đường kính của đường tròn (O).

Bây giờ giả sử ta có (O) vuông góc với (O'), xét trong tam giác MCD thì A và B chính là chân hai đường cao, T là trực tâm. Khi đó theo định lý về đường tròn 9 điểm ta có A và B cùng nằm trên đường tròn đường kính ON' với N' là trung điểm CD. Vì vậy ta có AN' và BN' lần lượt vuông góc với AO và BO. Nói cách khác, N' phải trùng với N. Việc chứng minh điều ngược lại là hoàn toàn tương tự.

Đề thi chọn đội tuyển tham dự IMO 2007

Câu 1:Cho 2 tập A,B có số phần tử là n,A B.ổng các phần tử của A và B là như nhau.Cho số nguyên dương n ,xét bảng vuông n.n ,Chứng minh rằng ta có thể điền vào bảng mỗi ô 1 số nguyên dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện
i,tập hợp tổng các số ở mỗi hàng là tập A
ii,Tập hợp tổng các số ở mỗi cột là tập B
iii,Có ít nhất $ (n-1)^{2}+k $số 0 trong bảng với k là số các phần tử chung của A và B
Câu 2:Cho nhọn $ABC$với đường tròn tâm I nội tiếp .$( k_{a}) $
là đường tròn có tâm nằm trên đường cao của góc A và tiếp xúc trong với (I) tại $ A_{1}. B_{1} , C_{1} $xác định tương tự
1,Chứng minh AA1,BB1,CC1 đồng qui tại P
2,Gọi $ (J_{a}),( J_{b}), (J_{c}) $tương ứng là các đường tròn đối xứng với đườn tròn bàng tiếp các góc A,B,C của tam giác ABC qua trung điểm BC,AC,AB 1 cách tương ứng .Chứng minh P là tâm đẳng phương của 3 đường tròn nói trên
Câu 3:Cho tam giác ABC ,tìm mincủa
S=$ \sum \dfrac{ cos^{2}\dfrac{A}{2}. cos^{2}\dfrac{B}{2} }{ cos^{2}\dfrac{C}{2} } $

bạn nào coi lại bài số 2 hộ mình, chắc là post thiếu ở đâu đó?

Bài toán này đã được giải quyết trong cuốn Selected Problems and Theorems in Elementary Mathematics
Em biết một bài toán có hình thức gần giống với bài toán trên là:
Cho $n$ đống đá gồm $1, 2, ..., n$ hòn. Mỗi lần cho phép lấy ra từ một số đống đá nào đó một số đá như nhau. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lần để lấy hết đá

giống sao được nhỉ? với lại anh chưa có quyển đó, em up lên đây được không?

Thực ra trong lời giải của lehoan thi chỉ có một điểm mấu chốt là: chứng minh tập http://dientuvietnam...imetex.cgi?p-1. Cái này theo tui là một kết luận vào loại quen thuộc khi giải các dạng bài liên quan đến thặng dư bình phương. Cảm ơn lehoan một lần nữa nhé!

tôi đoán là vẫn có thể giải quyết được, có lẽ là khó hơn TH ban đầu, tui đang thử, hi vong là được.

hình như đề bài không hoàn toàn như vậy: sau khi chia hạt thứ k thì bỏ qua 2k con khỉ liên tiếp và chia hạt thứ k+1 cho con tiếp theo. (theo tài liệu từ mathlinks.ro)

Cảm ơn lehoan nhé. Câu b quả là khó. Thế còn giả thiết của duyenmit thì sao đây. Em thử ra thì thấy cũng có quy luật thì phải.

Câu a,: trong cả hai trường hợp, bỏ qua k+1 hay 2k con liên tiếp thì số con khỉ không có "quà" là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{p-1}{2}. Ta xét giả thiết của duyenmit trước đã.
Một con khỉ có thể được nhận hạt đậu khi số thứ tự của nó là số dư của một phần tử nào đó trong tập sau http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{f(k)=\dfrac{k^2+3k-2}{2}\} với k=1,2,...,p.
Ta chứng minh được rằng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(k)=f(p-3-k) và số dư khi chia cho p của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{p+1}{2} số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{p+1}{2} con khỉ ở vị trí của các số dư nói trên mới nhận được những hạt đâu.ĐPCM

Với giả thiết còn lại thì giải quyết tương tự, cụ thể là thay http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(k)=k^2. Quá quen thuộc rồi con gì.

Câu b, ở giả thiết 1, theo tui dự đoán là 2 thì phải, trong đó luôn luôn có cạnh http://dientuvietnam....cgi?A_{n}A_{1} còn cái còn lại thì.........để nghĩ tiếp đã.

Có ý kiến gì không hả duyenmit .

anh convert ác quá, chất lượng giảm tệ hại

Chính bạn urahura nhầm thì có. Chắc bạn chưa xét ba điểm http://dientuvietnam...ex.cgi?A,C,D_1.

Để tôi dịch lại vậy:
Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1,a_2,\ldots,a_n là các số nguyên nguyên tố cùng nhau. Gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là tập hợp gồm các số nguyên thỏa mãn:
1. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1,a_2,\ldots,a_n thuộc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S
2. Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i,j=1,2,\ldots,n (http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i,j không nhất thiết phân biệt) thì http://dientuvietnam...tex.cgi?a_i-a_j thuộc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S
3. Với hai số nguyên bất kì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x,y, nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là tập hợp tất cả các số nguyên.

Mọt sách lại lừa đảo rồi (
các MOD xóa bài này đi thôi

Không biết bài 5b giải như thế nào nhỉ? Thấy trong phòng cũng nhiều người không làm được....hichic.Có ai có ý kiến gì không?

gửi phtung
làm sao mà bạn nghĩ được cách đó vậy? tui thấy chẳng tự nhiên chút nào!!!!!