Vector là công cụ hay đối tượng. Theo cả 2 nghĩa thì bài toán hình vector đều là các bài toán thú vị. Bài toán sau từ đề kiểm tra 1 tiết lớp A1 Toán K48

61)

Cho tam giác $ABC$ và $P,Q$ là hai điểm bất kỳ. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $QA,PC,PB$. Dựng điểm $R$ sao cho

$$BC.\overrightarrow{RQ}+DE.\overrightarrow{RB}+DF.\overrightarrow{RC}=(DE+DF)\overrightarrow{PA}.$$

Chứng minh rằng $QR$ song song với phân giác góc $\angle EDF$.

Cám ơn bạn huypham2811 cho một lời giải khá ngắn gọn, bài này mình đề nghị trên THTT trước đây, sau đây là đề bài gốc và đáp án

Cho tam giác $ABC$. $E,F$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $EF$ song song $BC$. Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $M$. Trung trực $EF$ cắt $AB$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt $CF$ tại $P$ khác $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFN$ cắt $CF$ tại $Q$ khác $F$. Chứng minh rằng trung trực của $PQ$ đi qua trung điểm của $MN$.

Gọi $H,G$ là hình chiếu của $M,N$ lên $CF$. Gọi $K,L$ lần lượt là hình chiếu của $E$ lên $BC$ và $B$ lên $EF$. Gọi $I,J$ là trung điểm của $BC,EF$. Ta sẽ chứng minh trung trực của $PQ$ đi qua trung điểm $MN$ bằng cách chỉ ra $PH=QG$, thật vậy

Ta dễ có $\angle MPH=\angle MBC=\angle MCB$. Nên các tam giác giác vuông $\triangle MPH\sim\triangle ECK$. Vậy ta có $PH=HM\dfrac{CK}{EK}=HM\dfrac{CI}{MI}\quad (1)$.

Tương tự $\triangle NQG\sim\triangle BFL$ suy ra $QG=NG\dfrac{FL}{BL}=NG\dfrac{FJ}{NJ}\quad (2)$.

Từ (1) và (2) ta có $PH=QG$ khi và chỉ khi $HM\dfrac{CI}{MI}=NG\dfrac{FJ}{NJ}$ tương đương $\dfrac{HM}{NG}=\dfrac{MI.FJ}{CI.NJ}=\dfrac{MI}{NJ}.\dfrac{EF}{BC}\quad (3)$.

Ta lại có $MH.FC=2S_{MFC}=2\dfrac{S_{MFC}}{S_{EFC}}.S_{EFC}=2\dfrac{MC}{CE}.\dfrac{1}{2}EK.EF=\dfrac{MC.EK.EF}{EC}\quad (4)$.

$NG.FC=2S_{SFC}=2\dfrac{S_{NFC}}{S_{BFC}}.S_{BFC}=2\dfrac{NF}{FB}.\dfrac{1}{2}BL.BC=\dfrac{NF.BL.BC}{FB}\quad (5)$.

Từ (4) và (5) ta suy ra $\dfrac{MH}{NG}=\dfrac{MC.EK.EF.FB}{NF.BL.BC.EC}=\dfrac{MC.EF.FB}{NF.BC.EC}=\dfrac{FB}{NF}.\dfrac{MC}{EC}.\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{BL}{NJ}.\dfrac{MI}{EK}.\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{MI}{NJ}.\dfrac{EF}{BC}\quad (6)$.

Từ (6) suy ra (3) đúng. Vậy $PH=QG$. Từ đó trung trực $PQ$ đi qua trung điểm $MN$. Ta có điều phải chứng minh.

Một cách phát biểu khác của bài toán hình và các lời giải khác có thể xem tại đây

https://artofproblem...c6t48f6h1429562

Bài toán gốc đã có và được giải ở đây từ năm 2013.

Bài này là một mở rộng của thầy cho 1 bài trên AoPS đã có ở đây http://www.artofprob...unity/c6h419222

Cám ơn Bảo sự liên hệ hay, bài thầy Hà cũng là một bài rất hay thầy có một số bài liên quan. Ở bài ELMO gốc này thầy có một mở rộng khá lạ như sau

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $P$ bất kỳ, $PC,PB$ cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $C,B$. $E,F$ là đối xứng của $B,C$ lần lượt qua $AM,AN$. $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $PEF$. Chứng minh răng $AK\perp MN$.

Lời giải của Bảo rất xuất sắc, thú vị hơn khi nhìn hình sau !

 

ELMO là cuộc thi thú vị ở Mỹ, tên cuộc thi thay đổi từng năm nhưng giữ nguyên các chữ cái đầu E,L,M,O .

Các năm 2012-2014 có các bản shortlist, các đề hình trong đó có nhiều giá trị, các năm 2015,2016 chỉ mới thấy đề chính thức chứ không có shortlist.

Xem thêm tại đây

http://www.artofprob...9_elmo_problems

http://www.artofprob..._elmo_shortlist

Toàn nhận xét rất chuẩn, bài ELMO 2 và bài thầy Hà khá giống nhau, chắc chắn có gì đó kết nối được hai bài toán !

Cách này khá giống đáp án đấy, chúc mừng em với lời giải hay, tuy vậy nếu xử lý được đoạn tỷ số sin cuối thì đẹp hơn.

Lời giải của Thế có ý tưởng hay nhưng làm thế nào bỏ đoạn sin cos đi thì đẹp!

Ngày 2

Câu 1. Cho dãy số $a_n$ được xác định như sau
$a_1=\dfrac{5}{2}$ và $a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+6a_n-3$
 với mọi $n\geq 1$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $[a_n]+1$ chia hết cho $3^{2011}$

Câu 2. Ký hiệu $S=\left \{ x\in R,x>1 \right \}$. Tìm tất cả các  hàm số $f:\mathbb S\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(x^5+y^5)=x^4f(x)+y^4f(y)$

Câu 3. Cho tứ giác lồi $ABCD$ không là hình thang, hai đường chéo không vuông góc nội tiếp $(O)$. $P$ là điểm trên cung $AB$ nhỏ không chứa $C,D$. $PD$ cắt $AC$ tại $M$, $PC$ cắt $BD$ tại $N$. $Q$ là giao điểm khác $P$ của $(APM)$ và $(BPN)$.

1) Chứng minh $PQ$ luôn đi qua điểm $T$ cố định

2) Gọi $AC$ giao $BD$ tại $E$, $I$ là trung điểm $CD$. Chứng minh rằng $E,I,T$ thẳng hàng.

Câu 4. Trên bàn cờ kích thức $p\times p$ (p  là số nguyên tố có dạng $4k+3$), ô ở hàng thứ $i$,cột thứ $j$ kí hiệu là $(i,j)$. Lúc đầu đặt một quân cờ ở (1,1). Biết rằng có thể di chuyển quân cờ theo quy tắc: ở mỗi bước quân cờ đi từ ô $(i_1,j_1)$ sang ô $(i_2,j_2)$ thỏa mãn $(i_1-i_2)^2+(j_1-j_2)^2\equiv 1 \pmod p$. Tìm số $n$ nhỏ nhất sao cho quân cờ có thể đi từ (1,1) đến bất kì ô nào khác sau không quá $n$ bước.

Đề hình này có bóng dáng của bài IMOSL 1994 G1

http://artofproblems...c6h57341p352892

Ngày 2

Câu 1. Cho $k$ là số thực dương thỏa mãn $[k.n^2]$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.Chứng minh rằng $k$ là số chính phương.

Câu 2. Cho $ f :\mathbb R\to \mathbb R$ là hàm bị chặn thỏa mãn $f^2(x+y)\geq f^2(x)+2f(xy)+f^2(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb R.$ Tìm tất cả các giá trị có thể có của $f(x)$.

Câu 3. Cho tứ giác $ABCD$, $AD$ giao $BC$ tại $E$. $I$ là trung điểm $CD$. $EI$ cắt $(EAB)$ tại $M$. $F$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. $N$ là giao của $EF$ và $(EAB)$. Chứng minh $C,D,M,N$ đồng viên.

Câu 4. Cho $k,n\in\mathbb Z+$. Giả sử G là một đồ thị vô hướng có n đỉnh thỏa mãn: Nếu ta bỏ đi một đỉnh bất kì và các cạnh nối với nó thì độ thị còn lại liên thông. Hai người A,B chơi một trò chơi như sau: A chọn hai đỉnh p,q nào đó của G, B định hướng cho nhiều nhất k cạnh của G; sau đó A định hướng cho tất cả các cạnh còn lại và chọn một cạnh r đã định hướng. Nếu trong đồ thị vừa định hướng có một con đường đi từ p đến q mà đi qua r thfi B thắng,và ngược lại A thắng. Chứng minh rằng

i) Nếu $k=2n-4$ thì tồn tại đồ thị G mà A có chiên thuật thắng

ii) Nếu $k=2n-3$ thì B có chiến thuật thắng.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 1 NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

Ngày thi thứ hai

Câu 1. Cho hai dãy $(x_n) , (y_n)$ thỏa mãn $x_0 = 1 , y_0 = 0$ và $x_n = 3x_{n-1}+4y_{n-1}$ và $y_n = 2x_{n-1}+3y_{n-1}$. Tìm số dư của phép chia $x_{2014}^2$ cho $y_{2015}$.

Câu 2. Cho $a\ge 0$ và $b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P= \sqrt[5]{\dfrac{abc}{b+c}} + \sqrt[5]{\dfrac{b}{c(1+ab)}} + \sqrt[5]{\dfrac{c}{b(1+ac)}}.$$

Câu 3. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp. $M,N$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $CD,AB$. $P$ là điểm thuộc đoạn thẳng $CD$ sao cho $\dfrac{PD}{PC}=\dfrac{BD^2}{AC^2}$. $AC$ giao $BD$ tại $E$. $H$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $PN$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMP$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $EDC$ tiếp xúc nhau.

Câu 4. Cho $n$-giác đều với $n\ge 6$. Một đường thẳng gọi là tốt nếu nó đi qua miền trong đa giác. Cho $m$ đường thẳng tốt cắt nhau tạo thành các đa giác con trong đa giác đã cho. Tìm $m$ bé nhất sao cho mọi cách kẻ mọi $m$ đường thẳng tốt tồn tại duy nhất đa giác con là tam hoặc tứ giác.

Lời giải các câu hình học vòng 1

Ngày 1 http://analgeomatica...nd-1-day-1.html

Ngày 2 http://analgeomatica...-problem-1.html

Xin đề nghị Zaraki và Baopbc. Mong các bạn không đưa nick mình vào đề cử, mình muốn đóng góp cho diễn đàn theo cách riêng của mình.

Cám ơn Khuê nhiều đã thay lời BQT nói giúp tâm sự của anh ! Anh vẫn luôn cố gắng đóng góp cho diễn đàn hết sức theo chuyên môn của mình , diễn đàn toán học vốn là người bạn tri kỷ của anh đã lâu mà !

Phần b) Thế có 1 phát hiện hay về điểm cố định, chứng minh đúng, tuy vậy... em đọc sai đề !

Đáp án đã công bố trên AoPS http://artofproblems...and_fixed_point

Sau đây là bản tiếng Việt

a) Gọi $BE,CF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $S,T$. Ta có $\angle BFN=180^\circ-\angle NFE-\angle EFA=180^\circ-\angle BAC-\angle ABC=\angle ACB=\angle ASB$. Từ đó tứ giác $AFKS$ nội tiếp, ta suy ra $\angle KAB=\angle FSE$. Tương tự $\angle LAC=\angle FTE$. Mặt khác $\angle FEB=\angle EBC=\angle STF$. Từ đó tứ giác $EFTS$ nội tiếp. Suy ra $\angle KAB=\angle FSE=\angle FTE=\angle LAC$. Ta có điều phải chứng minh.
   
b) Từ tính chất góc của tiếp tuyến ta dễ có $\angle BFN=\angle ECM,\angle CEM=\angle FBN$. Vậy các tam giác $FBN$ và $CEM$ đồng dạng. Chú ý $FN=EM$ nên $\dfrac{BN}{CM}=\dfrac{BN}{ME}.\dfrac{FN}{CM}=\dfrac{FB}{EC}.\dfrac{FB}{EC}=\dfrac{FB^2}{EC^2}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$. Gọi $XY$ cắt $BC$ tại $P$. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $FMC$ với $X,Y,P$ thẳng hàng ta có $\dfrac{PM}{PC}.\dfrac{XC}{XF}.\dfrac{YF}{YM}=1$. Tương tự áp dụng Menelaus cho tam giác $ENB$ với $X,Y,P$ thẳng hàng ta có $\dfrac{PN}{PB}.\dfrac{XB}{XE}.\dfrac{YE}{YN}=1$. Ta lại chú ý do $EF\parallel BC$ nên $\dfrac{XC}{XF}=\dfrac{XB}{XE}$ và $\dfrac{YF}{YM}=\dfrac{YE}{YN}$. Từ đó ta thu được $\dfrac{PM}{PC}=\dfrac{PN}{PB}$ hay $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{PC}{PB}=\dfrac{PC-PM}{PB-PN}=\dfrac{CM}{BN}=\dfrac{AC^2}{AB^2}$ không đổi nên $P$ cố định. Từ đó $XY$ đi qua $P$ cố định.

Ổn rồi Thế, nhưng nhầm mà lại phát hiên ra một bài mới hay, thì rất đáng nhầm !

Bài hình a) có thể phát biểu như sau

Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $O$ và $M$ di chuyển trên $AB$. Lấy $N$ sao cho $NB\perp AB$ và $MN\perp AO$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $N$ vuông góc $MC$ đi qua điểm cố định khi $M$ thay đổi.

Tổng quát

Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ cố định trên cạnh $BC$. $M$ di chuyển trên $AB$. Lấy $N$ sao cho $NB\perp AB$ và $MN\perp AD$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $N$ vuông góc $MC$ đi qua điểm cố định khi $M$ thay đổi.

Đề hình có thể viết gọn thành 1 ý như sau

đề hình post sai đề rồi, đề đúng

Đề hình câu 3 ý a),b) đã có trong đề chuyên KHTN vòng 1 năm 2011.