Vì không thấy ai đăng tiếp, mình xin góp một bài, xin lấy tiêu đề là bài toán 24, nếu các bạn không đồng ý thì có thể bỏ bài toán này!
Bài toán 24: (Nguồn: Juliel)
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:
$$\sqrt[7]{\frac{a^{7}+b^{7}}{2}}+\sqrt[7]{\frac{b^{7}+c^{7}}{2}}+\sqrt[7]{\frac{c^{7}+a^{7}}{2}}\leq \left ( a+b+c \right )^{10}\left ( \frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c} \right )^{9}$$
Áp dụng BĐT AM-GM :
$\dfrac{a^7+b^7}{(a+b)^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}+\dfrac{a+b}{2^6}\geq 7\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{(2^6)^6}}=\dfrac{7}{32}\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}$