Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$
Có 19 mục bởi supreme king (Tìm giới hạn từ 19-05-2020)
Đã gửi bởi supreme king on 04-08-2019 - 15:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$
Đã gửi bởi supreme king on 04-08-2019 - 15:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a} $$
Tại sao lại tương đương bạn
Đã gửi bởi supreme king on 04-08-2019 - 16:28 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{2(2a+b)}{a(a+2b)}-\frac{1}{a}=\frac{4a+2b-a-2b}{a(a+2b)}=\frac{3a}{a(a+2b)}=\frac{3}{a+2b}$
Đã gửi bởi supreme king on 05-07-2019 - 21:06 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c dương thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a^{2}b}+\frac{1}{2+b^{2}c}+\frac{1}{2+c^{2}a}\geq 1$
Đã gửi bởi supreme king on 01-08-2019 - 20:12 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta dễ có với mọi số nguyên dương $n$ thì
$$\left(1+\frac1{n^2}\right)^n > 1+n\cdot\frac1{n^2} \implies \sqrt[n]{\frac{n+1}n} < 1+\frac1{n^2}$$.
Áp dụng vào bài toán, ta có:
$$1+\sum_{i=2}^n \sqrt[i]{\frac{i+1}i} < 1+(n-1)+\sum_{i=2}^n \frac1{i^2} < n+1$$
THCS bữa nay khó thế ((
chỗ $\left ( 1+\frac{1}{n^{2}} \right )^{n}> 1+n.\frac{1}{n^{2}}$ này là sao bạn
Đã gửi bởi supreme king on 11-07-2019 - 09:06 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cái này người ta yêu cầu c/m mà bạn
Vậy thì mình cm min $\left ( x+27 \right )\left ( x+28 \right )\left ( x+29 \right )\left ( x+30 \right )= -1$ là xong
Ta có:
$\left ( x+27 \right )\left ( x+28 \right )\left ( x+29 \right )\left ( x+30 \right )= \left ( x^{2}+57x+810 \right )\left ( x^{2}+57x+812 \right )=\left ( x^{2}+57x+810 \right )^{2} +2\left ( x^{2}+57x+810 \right )+1-1=\left ( x^{2}+57x+811 \right )^{2}-1\geq -1$
Đã gửi bởi supreme king on 17-07-2019 - 14:56 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng
$S=1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+...+\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}< n+1$
Đã gửi bởi supreme king on 06-07-2019 - 07:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
.
Đã gửi bởi supreme king on 10-07-2019 - 20:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có:
$\left ( x-\frac{3}{2} \right )\left ( x-\frac{1}{2} \right )\left ( x+\frac{1}{2} \right )\left ( x+\frac{3}{2} \right )= \left ( x^{2}-\frac{9}{4} \right )\left ( x^{2}-\frac{1}{4} \right )= \left ( x^{2}-\frac{1}{4} \right )^{2}-2\left ( x^{2}-\frac{1}{4} \right )+1-1= \left ( x^2-\frac{1}{4}-1 \right )^{2}-1= \left ( x^2-\frac{5}{4} \right )^{2}-1\geq -1$
Suy ra:
Min $\left ( x+27 \right )\left ( x+28 \right )\left ( x+29 \right )\left ( x+30 \right )= -1$
Suy ra:
Min $\left ( x+27 \right )\left ( x+28 \right )\left ( x+29 \right )\left ( x+30 \right) +27282930 \doteq 27282930-1\doteq 27282929$
Đã gửi bởi supreme king on 06-07-2019 - 07:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có : $\frac{1}{2+a^2b} = \frac{1}{2}.\frac{2}{2+a^2b} = \frac{1}{2} . ( 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b})$
Do $2 + a^2b = 1 + 1 + a^2b \geq 3\sqrt[3]{a^2b}$ $\Rightarrow 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b} \geq 1 - \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}} = 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3}$
Mà $\sqrt[3]{a^4.b^2} = a . \sqrt[3]{a.b^2} \leq a.\frac{a+2b}{3} = \frac{a^2+2ab}{3}$
$\Rightarrow 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3} \geq 1 - \frac{a^2+2ab}{9}$
$\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} \geq \frac{1}{2}(1-\frac{a^2+2ab}{9})$ ( 1 )
Làm tương tự , ta có : $\frac{1}{2+b^2c}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{b^2+2bc}{9})$ ( 2 )
$\frac{1}{2+c^2a}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{c^2+2ac}{9})$ ( 3 )
Từ (1) ; (2) ; (3) $\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} + \frac{1}{2+b^2c} + \frac{1}{2+c^2a} \geq \frac{1}{2}(3-\frac{(a+b+c)^2}{9}) \geq \frac{1}{2}(3-\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{9}) = \frac{1}{2}(3-\frac{3.3}{9}) = 1$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$
Cảm ơn bạn nhé
Đã gửi bởi supreme king on 04-08-2019 - 15:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho$x,y\geq 0$ và$x^{2}+y^{2}\doteq 1$. Chứng minh rằng
$\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$
Đã gửi bởi supreme king on 06-07-2019 - 09:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là 3 số dương
Chứng minh rằng
$\sqrt{1+\frac{16a}{b+c}}+\sqrt{1+\frac{16b}{c+a}}+\sqrt{1+\frac{16c}{a+b}}\geq 9$
Đã gửi bởi supreme king on 07-07-2019 - 07:12 trong Bất đẳng thức và cực trị
bđt là hàm thuần nhất bậc 0 nên chuản hóa a+b+c=3
$\sum \sqrt{1+\frac{16a}{b+c}}=\sum \sqrt{\frac{b+c+16a}{b+c}}=\sum \frac{3(b+c+16a)}{\sqrt{9b+9c}.\sqrt{b+c+16a}}\ge\sum \frac{3(15a+3)}{\frac{9c+9b+b+c+16a}{2}}=\sum \frac{9(a+5)}{5(a+b+c)+3a}=\sum\frac{9(a+5)}{3(a+5)}=3+3+3=9$
em là thành viên mới nên còn nhiều thiếu sót , mong mọi người bỏ qua
Chỗ từ 3(15a+3) ra 9(a+5) là sai, bạn xem lại nhé
Đã gửi bởi supreme king on 05-08-2019 - 15:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Do $x,y \geq 0$ và $x^2+y^2=1$ nên $0 \leq x \leq 1$;$0 \leq y \leq 1$
Suy ra $x^2 \geq x^3; y^2 \geq y^3$ và $1=x^2+y^2 \geq x^3+y^3$
Mặt khác, theo BĐT Holder:
$(x^3+y^3)(x^3+y^3)(1+1) \geq (x^2+y^2)^3=1$ Nên $x^3+y^3 \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$
Mình chưa học Holder nên bạn còn cách khác không
Đã gửi bởi supreme king on 16-07-2019 - 16:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $\left\{\begin{matrix} x,y> 0\\x+y= 1 \end{matrix}\right.$ Tìm GTNN của
$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$
Đã gửi bởi supreme king on 05-08-2019 - 15:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z thõa mãn
$x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-1 \right )+z\left ( z-1 \right )\leq \frac{4}{3}$
Chứng minh rằng
$x+y+z\leq 4$
Đã gửi bởi supreme king on 18-07-2019 - 18:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cmr:
$-\frac{1}{2}\leq \frac{\left ( a+b \right )\left ( 1-ab \right )}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}\leq \frac{1}{2}$
Đã gửi bởi supreme king on 20-07-2019 - 14:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a> b> c> 0$. Chứng minh rằng
$a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}> a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$
Đã gửi bởi supreme king on 18-07-2019 - 16:07 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng với $1\leq n\epsilon N$
$\sqrt[n]{n}< 1+\frac{1}{\sqrt{n}}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học