Bài 276: $\frac{1+2\sqrt{x}-x\sqrt{x}}{3-x-\sqrt{2-x}}=2(\frac{1+x\sqrt{x}}{1+x})$ (trích bài của bạn mamanhkhoi2000)

ĐK: $0 \leq x \leq 2$

$\dfrac{1+2\sqrt{x}-x\sqrt{x}}{3-x-\sqrt{2-x}}=\dfrac{2(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{1+x}$

$\iff \dfrac{(\sqrt{x}+1)(-x+\sqrt{x}+1)}{3-x-\sqrt{2-x}}=\dfrac{2(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{1+x}$

Vì $\sqrt{x}+1 >0$ 

$\iff \dfrac{-x+\sqrt{x}+1}{3-x-\sqrt{2-x}}=\dfrac{2(x-\sqrt{x}+1)}{1+x}=\dfrac{2(-x+\sqrt{x}+1)+2(x-\sqrt{x}+1)}{6-2x-2\sqrt{2-x}+1+x}=\dfrac{4}{[(2-x)-2\sqrt{2-x}+1]+4}=\dfrac{4}{(\sqrt{2-x}-1)^2+4} \leq 1$ (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$\rightarrow \dfrac{2(x-\sqrt{x}+1)}{1+x} \leq 1$

$\iff 2(x-\sqrt{x}+1) \leq 1+x$

$\iff x-2\sqrt{x}+1 \leq 0$

$\iff (\sqrt{x}-1)^2 \leq 0$

$\iff \sqrt{x}=1 \iff x=1$

Vậy $x=1$

Bài 312: $(x^3+2)^3=81x-54$

$\iff (x^3+2)^3=81x-54$

$\iff (x^3+2)^3+27(x^3+2)=27x^3+54+81x-54$

$\iff (x^3+2)^3+27(x^3+2)=(3x)^3+27(3x)$

$\iff x^3+2=3x$

$\iff x=-2$    v     $x=1$

Hics có cái bài này mà em giải cách dị dễ sợ  
Bài 248 (TS chuyên toán QH) : Giải hệ : 
$\begin{cases} &\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=3&\\&(x+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x}& \end{cases}$

ĐK: $x >0; y>0$

Từ (2) $\rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{y}}=\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}$

Thay vào (1): $\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}+\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} \geq 2+\dfrac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=3$

Dấu "=" $\iff x=1$

$\iff y=1$

Bài 227: $x^{2}+\sqrt{2x-3}=5x-5$

ĐK: $x \geq \dfrac{3}{2}$

$x^2+\sqrt{2x-3}-5x+5=0$

$\iff \sqrt{2x-3}-1+x^2-5x+6=0$

$\iff \dfrac{2(x-2)}{\sqrt{2x-3}+1}+(x-2)(x-3)=0$

$\iff (x-2)(\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}+x-3)=0$

$\iff x=2$     v     $(x-3)\sqrt{2x-3}=1-x \ \ (*)$

Xét (*) bình phương với đk: $x \leq 1$

$\iff (x-3)^2(2x-3)=(1-x)^2$

$\iff (x^2-6x+7)(x-2)=0$

$\iff x=3 +\sqrt{2}(L)$   v    $x=3-\sqrt{2}$    v    $x=2 \ (L)$

Vậy $x=2$ hoặc $x=3-\sqrt{2}$ 

P/S: Cách hơi ngu và thiếu trí tuệ.

Bài 225: Giải hệ: 

331.$\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5 & \\ & 27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x \end{matrix}\right.$

$(1) \iff xy=5-2(x+y)$

(2) $\iff 27x^3+27x^2+9x+1=x^3+y^3+3xy(x+y)-3[5-2(x+y)](x+y)+27(x+y)+8$

$\iff (3x+1)^3=(x+y)^3+6(x+y)^2+12(x+y)+8$

$\iff (3x+1)^3=(x+y+2)^3$

Đến đây thay lên pt (1)

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Bài 492: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}\leq 0$

ĐK: $x \geq 1$

Đặt $\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$, thay vào ta có:

$20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{(x-1)(x+1)} \leq 0$

$\iff 2a^2+18b^2+(\dfrac{19}{2}a^2+\dfrac{9}{2}b^2)b-3(\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{11}{2}b^2)a-12ab \leq 0$

$\iff 2(a-3b)^2+\dfrac{1}{2}(a-3b)^2(b-3a) \leq 0$

$\iff (a-3b)^2[2+\dfrac{1}{2}(b-3a)] \leq 0$

$\iff a-3b=0$  v   $2+\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x+1} \leq 0 (*)$

$(*) \iff 2+\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1} \leq \dfrac{3}{2}\sqrt{x+1} \iff (4x-5)^2 \geq 0$ (luôn đúng)

Vậy nghiệm của bpt: $x \geq 1$

p/s: e quên mất đk, lm đến đấy thấy luôn đúng lại tự ngộ nhận kết quả luôn

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

ĐK: $-y^2-6y-1 \geq 0; 17-4y-16x \geq 0$

Từ pt (2) $y=\dfrac{-x^2-18x+16}{4}$

Thế vào pt (1) ta có:

$3x^2+4x-5=\sqrt{-y^2-6y-1}$

$\iff (3x^2+4x-5)^2+y^2+6y+1=0$

$\iff (3x^2+4x-5)^2+[\dfrac{-x^2-18x+16}{4}]^2+6[\dfrac{-x^2-18x+16}{4}]+1=0$

$\iff 145x^4+900x^3+1084x^2-2448x+1056=0$

$\iff 145(x^2+\dfrac{90}{29}x-2)^2+[\dfrac{7756}{29}x^2-648x+476]=0$ (*)

Do $VT>0$ nên pt (*) vô nghiệm

Vậy hệ pt đã cho vô nghiệm

Bài 441: Giải pt: $4\sqrt{x^2-2x+4}+12\sqrt[3]{x^2+x+2}=x^4-4x^3+7x^2-5x+30$

Bài 422: $x^{3}+2x+3-2\sqrt{x^{3}-1}=(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$ (thay dấu so với bài 420)

ĐK: $x \geq 1$

$x^3+2x+3-2\sqrt{x^3-1}=(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$

$\iff (x^3+2x^2+3x)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-(2x^2+x-3)-2\sqrt{x^3-1}=0$

$\iff (x^2+2x+3)(x-\sqrt{x^2-x+1})-(2x+3)(x-1)-2\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=0$

$\iff (x-1)[\dfrac{x^2+2x+3}{x+\sqrt{x^2-x+1}}-2x-3]-2\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=0$

Với $x =1$ là nghiệm pt

Với $x>1$ ta có:

$\iff \dfrac{(x-1)(-x^2-x+3-(2x+3)\sqrt{x^2-x+1})}{x+\sqrt{x^2-x+1}}-2\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=0$ (*)

Ta sẽ chứng minh $A=\dfrac{(x-1)(-x^2-x+3-(2x+3)\sqrt{x^2-x+1})}{x+\sqrt{x^2-x+1}}<0$, thật vậy

$-x^2-x+3-(2x+3)\sqrt{x^2-x+1}=-x^2-3x+(2x+3)(1-\sqrt{x^2-x+1})$

$=-x^2-3x-\dfrac{x(2x+3)(x-1)}{1+\sqrt{x^2-x+1}} <0$ với mọi $x>1$

Vậy $A<0 \rightarrow (*)<0$, hay pt vô nghiệm.

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất.

Bài tiếp : 
Giải phương trình $13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=(5x^2-12x+33)^2$

$\iff 13[(x^2-3x+6)^2+(x^2-2x+7)^2]=[2(x^2-3x+6)+3(x^2-2x+7)]^2$

Đặt $\begin{cases} &  x^2-3x+6=a \\  &  x^2-2x+7=b \end{cases}$

Ta có: $13(a^2+b^2)=(2a+3b)^2$

$\iff 13a^2+13b^2=4a^2+12ab+9b^2$

$\iff 9a^2-12ab+4b^2=0$

$\iff (3a-2b)^2=0$

$\iff 3a=2b$

$\iff 3(x^2-3x+6)=2(x^2-2x+7)$

....

Đến đây ta được pt bậc 2 đối với ẩn $x$

Bài 192: Giải hệ trên tập số thực:

 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5} & \\ 4x^{2}+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & \end{matrix}\right.$

$\begin{cases} &  5x^2+5y^2-1=0 \\  &  4x^2+3x-\dfrac{57}{25}+3xy+y=0 \end{cases}$

Lấy $PT(1)+10PT(2) \iff (45x^2+5y^2+30xy)+(30x+10y)-\dfrac{119}{5}=0$

$\iff 5(3x+y)^2+30(3x+y)-\dfrac{119}{5}=0$

$\iff 25(3x+y)^2+150(3x+y)-119=0$

Đến đây ta được phương trình bậc 2 đối với ẩn $3x+y$...

Bài 51: $162x+27\sqrt{3}=(8x^{3}-\sqrt{3})^{3}$

Đặt $8x^3-\sqrt{3}=6a$

Ta có hệ: $\begin{cases} &  162x+27\sqrt{3}=216a^3 \\  &  8x^3-\sqrt{3}=6a \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  6x+\sqrt{3}=8a^3 \\  &  6a+\sqrt{3}=8x^3 \end{cases}$

Tới đây ta đc hệ đối xứng loại 1, trừ (1) cho (2)... $x=a$

Bài 50: $5(5x^{2}-17)^{2}-343x-833=0$

Bài 50 cũng dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt $5x^2-17=7y$

$\iff \begin{cases} &  245y^2-343x-833=0 \\  &  5x^2-17=7y \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  5y^2-17=7y \\  &  5x^2-17=7x \end{cases}$

Tới đây ta cũng đc hệ đối xứng: $5(x-y)(x+y-7)=0$

$\iff x=y$  v  $x+y=7$...

VD : Bài 40 : Giải hệ pt : 
{ $x^2+3y^2+4xy-8x-22y+31=0$ 
{ $2x^2+4y^2+2xy+6x-46y+175=0$ 

Bạn xem đề đúng không, tại mình thấy số hơi lẻ 

Up lại 1 số bài chưa có lời giải trong box PT, HPT:

Bài 34: $\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}=\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}$ (Nidalee Teemo)

Bài 34: ĐK: $x^3 \geq \dfrac{9}{4}$

Ta có: $\sqrt[3]{3x^2-3x+3} >0$

$\iff \sqrt{\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{2}-\sqrt[3]{3x^2-3x+3}=0$

$\iff [\sqrt{\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{4}}-(x-\dfrac{1}{2})]+(x-\sqrt[3]{3x^2-3x+3})=0$

$\iff \dfrac{x^3-3x^2+3x-3}{3[\sqrt{\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{4}}+(x-\dfrac{1}{2})]}+\dfrac{x^3-3x^2+3x-3}{x+x\sqrt[3]{3x^2-3x+3}+\sqrt[3]{3x^2-3x+3}^2}=0$

$\iff (x^3-3x^2+3x-3)(\dfrac{1}{3[\sqrt{\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{4}}+(x-\dfrac{1}{2})]}+\dfrac{1}{x+x\sqrt[3]{3x^2-3x+3}+\sqrt[3]{3x^2-3x+3}^2})=0$

$\iff x^3-3x^2+3x-3=0$ (vì $\dfrac{1}{3[\sqrt{\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{4}}+(x-\dfrac{1}{2})]}+\dfrac{1}{x+x\sqrt[3]{3x^2-3x+3}+\sqrt[3]{3x^2-3x+3}^2} > 0$)

$\iff (x-1)^3=2$

$\iff x=\sqrt[3]{2}+1$

Bài 12: Giải PT: $2\sqrt{2x-5}=27x^{2}-144x+191$

ĐK: $x \geq \dfrac{5}{2}$

PT $\iff 27x^2-145x+192+(x-1-2\sqrt{2x-5}=0$

$\iff (x-3)(27x-64)+\dfrac{(x-3)(x-7)}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0$

$\iff (x-3)(27x-64+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0$

$\iff x=3$   v   $27x-64+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}=0 (*)$

Xét $(*):$

$\iff 27x-67+3+\dfrac{x-7}{x-1+2\sqrt{2x-5}}$

$= 27x-67+\dfrac{2(2x-5)+2\sqrt{2x-5}}{x-1+2\sqrt{2x-5}} > 0$ (Vì $x \geq \dfrac{5}{2}$)

Vậy (*) vô nghiệm

Vậy $x=3$

Bài 71: Giải các phương trình:

a, $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[3]{1+x^{3}}+\sqrt[3]{1-x^{3}}+\sqrt[4]{1+x^{4}}+\sqrt[4]{1-x^{4}}=6$

$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{(1+1)(1+x^2+1-x^2)}=2 \ (1)$

Dễ dàng cm ddc bđt: $4(a^3+b^3) \geq (a+b)^3$ (có thể dùng biến đổi tương đương)

Áp dụng ta có: $\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3} \leq \sqrt[3]{4.(1-x^3+1+x^3)}=2 \ (2)$

Ta lại có bđt: $8(a^4+b^4) \geq (a+b)^4$

CM: $VT \iff a^4+b^4+3(a^4+b^4)+4(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=(a+b)^4$

Áp dụng: $\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq \sqrt[4]{8(1-x^4+1+x^4)}=2 \ (3)$

Lấy $(1)+(2)+(3)$ $\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}+\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq 6$

Dấu $'='$ xảy ra khi: $x=0$

Bài 86: $\sqrt{2(4x^{2}-x-6)}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$

$2(4x^2-x-6)=2x-3+2x^2+2x-1+2\sqrt{(2x-3)(2x-1)(x+1)}$

$\iff 6x^2-5x-8=2\sqrt{(2x-1)(2x^2-x-3)}$

$\iff 3(2x^2-x-3)-(2x-1)-2\sqrt{(2x-1)(2x^2-x-3)}$

Đặt $\sqrt{2x^2-x-3}=a; \sqrt{2x-1}=b$

$\iff 3a^2-2ab-b^2=0$

$\iff (a-b)(3a+b)=0$

$\iff \sqrt{2x^2-x-3}=\sqrt{2x-1}$

Đến đây là ra kq.

Bài 152: $\begin{cases} & x^{3}+12y^{2}+x+2=8y^{3}+8y \\ & \sqrt{x^{2}+8y^{3}}= 5x-2y \end{cases}$

$(1) \iff (x-2y+1)[x^2+(3y-1)x+4y^2-4y+2]=0$

$\iff x=2y-1$   v   $x^2+(3y-1)x+4y^2-4y+2=0$

Xét $x^2+(3y-1)x+4y^2-4y+2=0$ có $\Delta=-(7y^2-10y+7) < 0$ nên pt vô nghiệm

Vậy $x=2y-1$ thế xuống pt (2) và bình phương là ra.

Bài 151: $\begin{cases} & x+3\sqrt{xy+x-y^{2}-y}=5y+4 \\ & \sqrt{4y^{2}-x-2}+\sqrt{y-1} = x-1 \end{cases}$

$(1) \iff (x-y)+3\sqrt{(x-y)(y+1)}-4(y+1)=0$

$\iff (\sqrt{x-y}-\sqrt{y+1})(\sqrt{x-y}+4\sqrt{y+1})=0$

$\iff \sqrt{x-y}=\sqrt{y+1}$

$\iff x=2y+1$

Rồi thế xuống dưới và thực hiện bình phương 2 lần

 

Bài 107*: $2x^{2}+3=\sqrt{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+4x^{2}+4}$

$\iff (x^2+1-\sqrt{x^3+2x^2+1})+(x^2+2-\sqrt{x^3+4x^2+4})=0$

$\iff \dfrac{x^4-x^3}{x^2+1+\sqrt{x^3+2x^2+1}}+\dfrac{x^4-x^3}{x^2+2-\sqrt{x^3+4x^2+4}}=0$

$\iff x^3(x-1)(...)=0$ (vì phần trong ngoặc dương)

Bài 105: $8x^{2}-8x+3=8x\sqrt{2x^{2}-3x+1}$

Đặt $\sqrt{2x^2-3x+1}=a$

$\iff 4a^2-8xa+8x^2-8x+3-4(2x^2-3x+1)=0$

$\iff 4a^2-8xa+4x-1=0$

$\iff (2a-x)^2-(2x-1)^2=0$

Đến đây ra rồi

2. 

Bài 1: a; ĐK: $x \geq -1$

Đặt $\sqrt{x+1}=a$

$\iff a(3x^2+a^2)=x^3+3xa^2$

$\iff x^3-3ax^2+3xa^2-a^3=0$

$\iff (x-a)^3=0$

$\iff x=a$

$\iff x=\sqrt{x+1}$

Đến đây bình phương là ra kết quả.