Lời giải bài 47:
Cho ai chưa biết lời giả cho trường hợp $n=2$ :
Nếu $a=b$ thì dễ dàng suy ra $a=b=1$. Giả sử $a<b$, xét dãy $\cdots, x_{-1}, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots$ thoả mãn:
$x_{0}=a, x_{1}=b, x_{i+1}=nx_{i} - x_{i-1}$ với $i=1,2, \cdots, n$
Suy ra $x_{i}^2+x_{i-1}^2=n(x_{i}x_{i-1}+1)$ $(1)$ và $x_{n}$ là dãy tăng chặt (Quy nạp)
Chọn $x_{k}$ là số hạng bé nhất dương trong dãy, vì dãy tăng nên phải có $x_{k-1}<=0$
Giả sử $x_{k-1}<0$ thay $i=k$ vào $(1)$ vô lý, vậy $x_{k-1}=0$ hay $x_{k}^2=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$
Trong trường hợp $n>=3$ :
Nếu $a,b$ trái dấu thì sai đề nên ở đây chắc là $a,b$ nguyên dương.
Giả sử $a<b$, đặt $x=\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}$ suy ra $a^n-x=(xa^{n-1}-b)b^{n-1}$ $(2)$
Nếu $x<a^n$ suy ra $xa^n-b=\frac{a^n-x}{b^{n-1}}<a$ (Do $a<b$) suy ra $xa^n<a+b$ hay $xa^{n-1}<\frac{b}{ax}+\frac{1}{x}<b$. Từ $(2)$ suy ra $a^n-x=(xa^{n-1}-b)b^{n-1}>=b^{n-1}>a^{2n-2}>a^{n}$ (Vô lý)
Nếu $x>a^n$ thì $x>x-a^{n}=(b-xa^{n-1})b^{n-1}<=b^{n-1}$ hay $b>ka^{n-1}>=k>b^{n-1}$ Vô lý
Vậy $x=a^n$ từ đó ta có đpcm.
Bài 48: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^5+1=y^2$