Cai' này là Iran 96 đúng ko nhi?Nung nóng lại topic này nào.
-----------------
EXERCISE:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left[ {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {c + a} \right)}^2}}}} \right] \ge {9 \over 4}$
--------------------
Secrets In Inequalities VP nội dung
Có 298 mục bởi Secrets In Inequalities VP (Tìm giới hạn từ 05-05-2020)
#315810 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 11-05-2012 - 15:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
#332496 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 12:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
+TH1 : Nếu $a\geq b\geq c$.Mọi người làm hăng quá, nháy mắt đã xong hết rùi, chứng tỏ VMF chúng ta rất nhiều nhân tài Post vài bài nữa cho cả nhà cùng làm. Topic sôi nổi lên nào... Tra....zố....
Bài 417: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn không có hai số nào đòng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
$\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{4abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc}\geq 2$.
Võ Quốc Bá Cẩn
$VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{bc+ab+ac}+\frac{4abc}{4a^{3}}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{bc}{a^{2}}$
Ta có : $ab+ac\geq b^{2}+c^{2}$.
Ta dùng TC sau : nếu $y\geq x$ thì $\frac{x+t}{y+t}\geq \frac{x}{y}$ ( CM cái này bằng tuong đuong )
Ta đc :
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{bc+ab+ac}\geq \frac{a^{2}}{bc}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{a^{2}}{bc}+\frac{bc}{a^{2}}\geq 2$
Đ.P.C.M.
+TH2 : Nếu $a\leq b\leq c$ .
$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)\geq 0\Leftrightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
$VT= \frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2abc}\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+2abc}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Vậy ta chỉ còn phải CM BĐT sau :
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Đây là một BĐT quen thuộc , có thể dễ dàng CM bằng S.O.S.xem thêm trong Sáng tạo BĐT của anh Hùng.
p/s: hjx. nhìn cách của LilTee mà mình thấy xấu hổ qá .
#332436 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 10:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
Thế thì dấu "=" khi nào hả bạn ?????????Đề đúng đó bạn.
#332431 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 09:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đây là cách làm của mình vs $a+b+c= 3$.
Giả sử b là số nằm giua a và c.
Khi đó : $(a-b)(b-c)\leq 0\Leftrightarrow ab+bc\leq b^{2}+bc\Leftrightarrow abc+bc^{2}\leq b^{2}c+c^{2}a$
$\Rightarrow VT\leq a^{2}b+2abc+bc^{2}= b(3-b)^{2}= \frac{1}{2}.2b.(3-b)(3-b)\leq \frac{1}{2}.(\frac{6}{3})^{3}= 4$
Đ.P.C.M.
Dấu "=" xảy ra khi $a,b,c$ là hoán vị của $(0,1,2)$
#332422 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 09:12 trong Bất đẳng thức và cực trị
Có mấy hum không lên mà topic nì sôi động qáBài 405:Cho $a;b;c\in R$ C/m:
$$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq (ab+bc+ca-1)^{2}$$
Cách khác cho bài này :
$VT=[(a+b)^{2}+(ab-1)^{2}](c^{2}+1)\geq [c(a+b)+ab-1]^{2}= (ab+bc+ca-1)^{2}$
Xong !
#332584 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 17:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
AM-GM thẳng 12 số :Bài 419 . Cho các số dương a , b, c , d thỏa mãn điều kiện abcd = 1 . Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)\geqslant 12$
$VT\geq 12\sqrt[12]{(abcd)^{5}}= 12$
#332661 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 21:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đề lại sai rồi ! $\leq 10$ hay sao chứ !Mọi người chém nhanh quá. Thêm 1 chút "gia vị" nào:
Bài 420: (VMO) Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$.CMR:$2(x+y+z)-xyz=9$ .
Giả sử $a^{2}\leq b^{2}\leq c^{2}$.Dễ dàng suy ra $c^{2}\geq 3,2ab\leq 6$ (Theo GT )
Dùng Cauchy-Schwarz :
$[2(a+b+c)-abc]^{2}=[2(a+b)+(2-ab)c]^{2}\leq [4+(2-ab)^2][(a+b)^{2}+c^{2}]$
$= (8-4ab+a^{2}b^{2})(9+2ab)= 2a^{3}b^{3}+a^{2}b^{2}-20ab+72$
$=(ab+2)^{2}(2ab-7)+100\leq 100$
$\Rightarrow 2(a+b+c)-abc\leq \mid 2(a+b+c)-abc\mid \leq 10$
p/s:Dạo này mắt ToanHocLaNiemVui kèm nhèm qá !
#338152 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 20-07-2012 - 20:45 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này số xấu làm lằng nhằng qáBài 468: Cho 3 số dương x,y,z có x+y+z=1. Chứng minh:
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
Ta có : $\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}= \frac{1+\sqrt{x}}{1-x}= \frac{1}{1-\sqrt{x}}= \frac{1}{1-\frac{x}{2\sqrt{x.\frac{1}{3}}}.\frac{2}{\sqrt{3}}}\geq \frac{1}{1-\frac{x}{x+\frac{1}{3}}.\frac{2}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{3x+1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}$
Vậy ta chỉ cần CM :
$\sum \frac{3x+1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{3x}{3x+1-2\sqrt{3}.x}+\sum \frac{1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
Ta có :
$\sum \frac{3x}{3x+1-2\sqrt{3}.x}= \sum \frac{3x^{2}}{3x^{2}+x-2\sqrt{3}x^{2}}\geq \frac{3(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)-(2\sqrt{3}-3)(x^{2}+y^2+z^2)}$
$\geq \frac{3}{1-(2\sqrt{3}-3)\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}= \frac{3}{1-(2\sqrt{3}-3).\frac{1}{3}}= \frac{9}{6-2\sqrt{3}}$
Và :
$\sum \frac{1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9}{3(x+y+z)+3-2\sqrt{3}(x+y+z)}= \frac{9}{6-2\sqrt{3}}$
Vậy ;
$VT\geq \frac{9}{6-2\sqrt{3}}+\frac{9}{6-2\sqrt{3}}= \frac{9}{3-\sqrt{3}}= \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
( trục căn thúc )
#341394 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 29-07-2012 - 10:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Vì $a,b,c\in (0,1)$ nên :Bài 481: Cho $a,b,c\in (0,1)$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}< 1$$
$VT< \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{a+b+c}{3}+\frac{1-a+1-b+1-c}{3}= 1$
#335565 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 14-07-2012 - 11:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Một cách CM khác cho VN96 :Đặt $ \sqrt{\frac{uv}{w}}= a,\sqrt{\frac{vw}{u}}= b,\sqrt{\frac{wu}{v}}= c $ .
Bài toán trỏ thành :
Cho : $ ab+bc+ca+abc=4 $
CMR : $ a+b+c \geq ab+bc+ca $
Và đây là bàj VietNam 1996 quen thuộc !
Theo nguyên tắc đi-dép-lê : thì tồn tại 2 trong 3 số : $ a-1;b-1;c-1 $ cùng dấu :
G/sủ là a-1 và b-1
$ \Rightarrow (a-1)(b-1) \geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Leftrightarrow abc+c\geq ac+bc $
$ \Leftrightarrow abc+c+ab\geq ab+bc+ca $
Ta sẽ CM : $ a+b+c\geq abc+c+ab\Leftrightarrow a+b\geq abc+ab $ (1)
Rút c tù GT : $ c= \frac{4-ab}{a+b+ab} $
(1) $ \Leftrightarrow a+b\geq \frac{ab(4-ab)}{a+b+ab}+ab\Leftrightarrow (a+b)(a+b+ab)\geq 4ab-(ab)^2+ab(a+b+ab) $
$ \Leftrightarrow (a+b)^{2}+ab(a+b)\geq 4ab-(ab)^2+ab(a+b)+(ab)^2\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab $
$ \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0 $
(luôn đúng )
#335548 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 14-07-2012 - 10:20 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đặt $ \sqrt{\frac{uv}{w}}= a,\sqrt{\frac{vw}{u}}= b,\sqrt{\frac{wu}{v}}= c $ .Bài 446: Cho các số thực dương $u,v,w$ sao cho $u+v+w+\sqrt{uvw}=4$. Chứng minh rằng $$\sqrt{\frac{uv}{w}}+\sqrt{\frac{vw}{u}}+\sqrt{\frac{wu}{v}}\ge u+v+w$$
China TST 2007
Bài toán trỏ thành :
Cho : $ ab+bc+ca+abc=4 $
CMR : $ a+b+c \geq ab+bc+ca $
Và đây là bàj VietNam 1996 quen thuộc !
#332921 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 07-07-2012 - 21:04 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz}{3}\geq \frac{3}{4}.\begin{vmatrix} (a-b)(b-c)(c-a) \end{vmatrix}$Bài 426 . Cho các số thực không âm $a,b,c$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq abc+\frac{3}{4}\begin{vmatrix} (a-b)(b-c)(c-a) \end{vmatrix}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c).\sum (a-b)^{2}}{6}\geq \frac{3}{4}.\begin{vmatrix} (a-b)(b-c)(c-a) \end{vmatrix}$
Ta có :
$2(a+b+c)= \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b+c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c+a\end{vmatrix}\geq \begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b-c \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c-a\end{vmatrix}$
$\geq 3\sqrt[3]{\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b-c\end{vmatrix}\begin{vmatrix} c-a \end{vmatrix}}$
$\sum (a-b)^{2}\geq 3\sqrt[3]{(\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b-c \end{vmatrix}\begin{vmatrix} c-a \end{vmatrix})^{2}}$
$\Rightarrow VT= \frac{2(a+b+c)\sum (a-b)^{2}}{12}\geq \frac{9}{12}.\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b-c \end{vmatrix}\begin{vmatrix} c-a \end{vmatrix}= \frac{3}{4}.\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}\begin{vmatrix} b-c \end{vmatrix}\begin{vmatrix} c-a \end{vmatrix}= VP$
#331060 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 02-07-2012 - 10:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
Theo C.S:Bài 404 . Với các số a , b , c thõa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng :
$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+a+1)^{2}} \geqslant \frac{1}{a+b+c}$
$\sum a.\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq (\sum \frac{a}{ab+a+1})^{2}= 1$
Đ.P.C.M
#330758 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 01-07-2012 - 11:12 trong Bất đẳng thức và cực trị
GT $\Leftrightarrow \sum (\frac{1}{n}-\frac{1}{{x_1}+1})= 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}= 0$Lâu lắm rồi mới được vào đây
BÀI TOÁN 400. [Vojtec Jarnik]
Cho $x_1, x_2, .., x_n$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện :
$$\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac{1}{x_2+1}+...+\dfrac{1}{x_n+1}=1$$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\ge (n-1)\left (\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}\right )$$
BĐT $\Leftrightarrow \sum (\sqrt{{x_1}}-\frac{n-1}{\sqrt{{x_1}}})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{\sqrt{{x_1}}}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq 0$
Giả sủ ${x_1}\geq {x_2}\geq ...\geq {x_n}$
Dễ dàng kiểm tra đc 2 dãy sau cùng tăng .
$\frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}\geq \frac{{x_2}+1-n}{{x_2}+1}\geq ...\frac{{x_n}+1-n}{{x_n}+1}$
và
$\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq\frac{{x_2}+1}{\sqrt{{x_2}}}\geq ...\frac{{x_n}+1}{\sqrt{{x_n}}}$
Áp dung BĐT chebyshev ta đc :
$\sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq \frac{1}{n}\sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\sum \frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}= 0$
suy ra Đ.P.C.M
#296381 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 25-01-2012 - 20:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chuan hoa $ xy+yz+zx= 3$ .De dang co:$ x+y+z\geq 3$,$ xyz\leq 1$
Ta co:$ \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}= \sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz}\geq \sqrt{3.3-1}= 2\sqrt{2}$
$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}\geq 3\sqrt{2}$
$ \Rightarrow VT\geq 12$,$ VP=12$$ \Rightarrow VT\geq VP$
Xin moi nguoi thong cam! May nha minh bi loi ko danh dc dau!
#296353 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 25-01-2012 - 17:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Gia su ab + bc + ca >3 .Ta se chung minh:
A=$ \sum \frac{1}{a^{_{2}}+2}< 1$
$ \sum \frac{1}{a^{_{2}}+2}< 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}-A> \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}> 1$
Áp dụng bđt Schwars ta có:
$ \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}$
Ta se chung minh: $ \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}> 1\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)> 6$(dung theo gia su)$ \Rightarrow A> 1$ trai vs gt => dieu gs la sai $ \Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$
___
MOD: Vui lòng gõ tiếng Việt có dấu. Đây là lần thứ 2 mình nhắc nhở bạn rồi. Còn tái phạm sẽ del bài không báo trước.
#295074 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 21-01-2012 - 17:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này hình nhu sai đề rùi! đây là đẳng thúcBài 142: Cho $\bigtriangleup DEF$ lấy điểm $I$ di động trên cạnh $DF$. Kẻ $IK//DE,IP//EF$.Gọi $S_{1},S_{2},S_{3}$ thứ tự là diện tích của $ \bigtriangleup IKD$, $\bigtriangleup IPF$, hình bình hành $KIPE$.Chứng minh rằng:$$S_{1},+S_{2}\geq S_{3}$$.Dấu "=" xảy ra khi nào??
#295050 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 21-01-2012 - 15:28 trong Bất đẳng thức và cực trị
$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$
#296652 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 26-01-2012 - 20:15 trong Bất đẳng thức và cực trị
$ \sqrt{\sum c^{2}(a+b)^{2}}\geq \frac{54(abc)^{3}}{(a+b+c)^{2}\sqrt{(ab)^{4}+(bc)^{4}+(ca)^{4}}}$
#296801 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 27-01-2012 - 13:50 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có: $ P^{2}= (a.ab+b.bc+c.ca)^{2}$
$ \Rightarrow P^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
$ \Rightarrow P^{2}\leq 1.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}= \frac{1}{3}\Rightarrow P\leq \sqrt{\frac{1}{3}}$
#330301 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 29-06-2012 - 17:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8}{(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)}\geq 2$Lâu lắm rồi mới được vào đây
Bài toán 398.
Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$
Đặt $\frac{a}{b}= x ,\frac{b}{c}= y,\frac{c}{a}= z\Rightarrow xyz=1$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+xy+yz+zx+2}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}+2}\geq 2$
Đặt tiếp $x+y+z=t\Rightarrow t\geq \sqrt[3]{xyz}= 3$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{8}{\frac{t^{2}}{3}+t+2}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{24}{t^{2}+3t+6}\geq 2$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt{t-2}-1\geq 1-\frac{24}{t^{2}+3t+6}\Leftrightarrow \frac{t-3}{\sqrt{t-2}+1}\geq \frac{(t-3)(t+6)}{t^{2}+3t+6}$
$\Leftrightarrow (t-3)(\frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6})\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6}\geq 0$
$\Leftrightarrow t^{2}+3t+6\geq (\sqrt{t-2}+1)(t+6)\Leftrightarrow t^{2}+2t\geq (t+6)\sqrt{t-2}$
$\Leftrightarrow (t^{2}+2t)^{2}\geq [(t+6))\sqrt{t-2}]^{2}$
$\Leftrightarrow (t-3)(t^{3}+6t^{2}+12t+24)\geq 0$
Luôn đúng .
OK.
#329768 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 27-06-2012 - 20:04 trong Bất đẳng thức và cực trị
saj rùi cậu oi ! k gỉ sủ đuọc $b\geq a\geq c$ o đây$4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 4.\frac{3}{2}=6$(Bất đẳng thức Netbitt)
Không mất tính tổng quát,giả sử:$b\geq a\geq c$
Ta xét hiệu:$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$
$a(b^{2}-c^{2})-a^{2}(b-c)-bc(b-c)=(b-c)(a-b)(c-a)\geq 0$
$\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \Leftrightarrow \frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc}\geq 1$
Vậy $VT\geq 6+1=7$ $\Rightarrow$ đpcm
#328229 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 23-06-2012 - 09:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt[4]{4a^{3}}+\sqrt[4]{4b^{3}}+\sqrt[4]{4c^{3}}> a+b+c$E nhờ các Anh, Chị trong diễn đàn giải giúp em bài tập này với ạ:
Bài tập 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c =4. Chứng minh rằng:
\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}> 2\sqrt{2}
(em gõ c. thức toán nhưng không biết tại sao không hiển thị được, nên gửi file kèm bên dưới ạ)
Thank a lot !
Cái này đúng vì : $\sqrt[4]{4a^{3}}> \sqrt[4]{a.a^{3}}= a$
Suy ra BĐT đúng .
p/s: tuan268 o vĩnh phúc à ?
#297006 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 28-01-2012 - 12:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này mình giải nhu sau:Bài 219: Cho $x,y,z>0$.Chứng minh rằng:
$$3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2) \ge xyz(x+y+z)^3$$
BDT : $ \Leftrightarrow 3(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\geq (x+y+z)^{3}$
$ \Leftrightarrow (1+1+1)(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(zx^{2}+xy^{2}+yz^{2})\geq (x+y+z)^{3}$
(luôn đúng theo BDT Holder)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
___________________________________________________________________________
Cách này ko bít có đúng ko , vì dấu "=" xảy ra vs mọi x = y = z.
#294946 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 20-01-2012 - 22:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 131:Cho a,b,c > 0.CMR: $\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4(a+b)}{a+c}\geq 9$
___
MOD: Vui lòng Đánh tiếng Việt có dấu!
- Diễn đàn Toán học
- → Secrets In Inequalities VP nội dung