Cho mình hỏi ai có file cuốn " Exercises in Functional Analysis" của tác giả Dumitro Popa cho mình xin . Rất cảm ơn các bạn.

Để cho thuận tiện mình có chuyển các file này sang định dạng pdf cho dễ xem

 VIETMATHS.COM_Bai_tap_on_luyen_thi_Olympic_Toan_Tran_Van_Su.PDF   480.56K   2196 Số lần tải  VIETMATHS.COM_Olympic_Toan_Sinh_vien_Giai_Tich.PDF   807.51K   2071 Số lần tải

Bài tập giải tích của Kaczor - Nowak ( 2 cuốn tiếng việt + 1 cuốn tiếng anh )

Tập 1  problem_analysis1.pdf   2.35MB   4509 Số lần tải

Tập 2  BaiTapGiaiTich-Tap2- KaczkorNowak-DoanChi-dich.pdf   2.06MB   4719 Số lần tải

Tập 3   Kaczor W.J., Nowak N.T. Problems in mathematical analysis 3. Integration (AMS, 2003)(ISBN 0821832980)(600dpi)(T)(356s)_MCetp_.pdf   12.9MB   5379 Số lần tải

Đề thi một số năm trên diễn đàn có khá nhiều ở đây chỉ nên một số bài mình sở hữu

 1993 - 2005 (  có  Giải tích + Đại số )  06-10-2014 22.46.37tuyen tap de thi OLP SV toan quoc.pdf   1.27MB   2135 Số lần tải

 2006-2012 ( chỉ Gỉai tích )   VNMATH.COM-De Thi Loi Giai Olympic Toan SV Giai Tich 2006 - 2012.rar   759.92K   1989 Số lần tải

2013 ( Giaỉ tích + Đại số , file này tải lâu à nha )   7056d1fa-d643-4196-b129-10563fcb9535_kyyeuolympictoan2013.pdf   15.18MB   918 Số lần tải

2014 ( Giaỉ tích + Đại số )   OSV2014_Ky_yeu.pdf   2.87MB   1727 Số lần tải

2015  (chỉ Giaỉ tích )  gt2015.pdf   5.33MB   1315 Số lần tải

 Cơ bản ôn nhiêu chắc cũng chủ đậu rồi

Điểm thứ nhất, thứ ba thì mình rất vui lòng lắng nghe sự đóng góp ý kiến tận tình của bạn, đặc biệt là điều thứ ba rất thú vị bởi vì nó là hướng tiếp cận trên ngôn ngữ thuần túy của không gian vector cho bài toán chéo hóa ma trận và khá kinh điển tìm đọc được ở nhiều tài liệu. Nhưng còn về điểm thứ nhì thì bạn có vẻ hơi hiểu sai về mặt thuật ngữ với vấn đề một chút, xin chỉnh lại tí xíu thôi. Vì mình xét trên một trường K tổng quát nên một đa thức có thể không phải lúc nào cũng tách được và khi tách được thì cũng không chắc gì là  số chiều của các không gian con riêng sẽ bằng với số bội của trị riêng tương ứng, cái này thì từng cái cụ thể mình mới có thể tính được số chiều của từng không gian con chỉ duy nhất khi các nghiệm đều có bội 1 thì hai thứ này luôn luôn trùng nhau mình có chỉ ra rồi. Tách được ở đây muốn chỉ rằng ta có thể phân tích đa thức đó thành tích các nhân tử bậc nhất đó bạn, Nói tóm lại là dùng tính tách thôi là ok trong vụ tam giác hóa rồi chứ cần quan tâm gì đến ba cái bội làm gì cho rắc rối, nếu mà có thêm được số chiều của không gian con riêng số bội của trị riêng tương ứng thì mới ok chéo hóa được. 

 Bài toán chéo hóa.pdf   464.85K   585 Số lần tải

 Điều kiện cần và đủ để tam giác hóa một tự đồng cấu.pdf   217.8K   484 Số lần tải

 dien

cho mình hỏi bạn có hiểu khái niệm đa thức đặc trưng của một tự đồng cấu là gì không?

đa thức đặc trưng của một tự đồng cấu là đa thức đặc trưng của ma trận biểu diễn của tự đồng cấu đó trên một cơ sở xác định

nếu bạn hiểu một đa thức là tách được khi tât cả các nghiệm đều là nghiệm đơn thì đã kể đến số bội của đa thức đó rồi chứ ! Mà đặc biệt là số bội bằng 1 hết nên thành ra số chiều cũng vậy. Mình sử dụng định nghĩa về tính tách được theo lối thứ hai: mọi nhân tử bất khả quy đều có nghiệm đơn, còn mình viết cụ thể ra chứ không xài lối diễn đạt bằng ngôn ngữ. Bởi vì dùng theo lối này ta có thể khảo sát bài toán trong phạm vi tổng quát hơn chứ !

 Định lý Cayley - Hamilton.pdf   197.43K   1070 Số lần tải

 Nguyên lý bao hàm - loại trừ.pdf   304.94K   956 Số lần tải

 Công thức tính số toàn ánh.pdf   157.89K   299 Số lần tải

 Ứng dụng nguyên lý bao hàm – loại trừ mở rộng.pdf   262.42K   481 Số lần tải

 Bài toán Bernouli -Euler về những bức thư sai địa chỉ.pdf   263.41K   600 Số lần tải

 Công thức tính số derangement.pdf   199.24K   379 Số lần tải

 Ứng dụng đại số tuyến tính trong một số bài toán về hoán vị.pdf   222.11K   158 Số lần tải

 Nghịch đảo Mobius trên poset.pdf   208.89K   154 Số lần tải

ta chứng minh được dễ dàng $(A-B)^{3}=(A-B)\Rightarrow det(A-B)$ có thể bằng 0 ,1 ,-1 . Phần sau mình lấy ví dụ là xong , phần này nhường cho các bạn tìm

Bài toán ( Sydney-2005). Tính định thức của ma trận vuông A cấp n trong đó

                                                             $a_{ij}=\frac{(2i+2j-2)!}{2^{2i+2j-2}(i+j-1)!}$

Lời giải. Ta chứng minh kết quả sau:

  Cho  $\alpha \in \mathbb{R}$ , giả sử $C=(c_{ij})_{i,j=1}^{n}$ thỏa $c_{i,j+1}=(i+j-\alpha )c_{ij}$

 với mọi $1\leq i\leq n,1\leq j\leq n-1$ thì $detC=\prod_{i=1}^{n}(i-1)!c_{i,1}$

Bài toán ( Sydney-2009 ) Cho $A_{n}$ là ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng 1 nếu $n\leq i+j\leq n+1$ và bằng 0 trong các trường hợp còn lại.

 Tìm các giá trị riêng của $A_{n}$

Bài toán:(Putnam 2009 )Cho n > 3, n nguên dương. Tính định thức:

 $D_{n}=\begin{vmatrix} cos1 &cos2 &... &cosn \\ cos(n+1) & cos(n+2) &... &cos2n \\... &... &... &... \\cos(n^{2}-n+1) & cos(n^{2}-n+2) &... &cosn^{2} \end{vmatrix}$

Lời giải.  Lấy cột thứ 3 + cột thứ 1$\rightarrow$ cột thứ 1 và sử dụng biến đổi lượng giác , ta được :

$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cos2cos1 &cos2 &... & ... &... cos(n) \\2cos(n+2)cos1 &cos(n+2) &... & ... &cos2n \\... & ... & & ... &... \\... &... & ... & ... &... \\2cos(n^{2}-n+2)cos1 & cos(n^{2}-n+2) &... &... & cosn^{2} \end{vmatrix}$

   Lúc này cột thứ 1= 2cos1 cột thứ 2 $\Rightarrow$ det$D_{n}=0$.

Bài toán . Xét các số phức$z_{1},z_{2},...,z_{2n}$ thỏa mãn điều kiện  $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{n+3} \right |$ và $argz_{1}\geqslant argz_{2}\geqslant ...\geq argz_{n+3}$.

  Tính định thức của ma trận B ,trong đó  $b_{ij}=\left | z_{i}-z_{j+n} \right |,i,j\in \left \{ 1,2,...n \right \}$.

 Lời giải . Ta có nhận xét sau bài toán đề cập đến modun và argument của một số phức nên ta sẽ sử dụng dạng lượng giác của số phức trong các tính toán. 

    Với hai số phức $z=r(cosx+isinx);\omega =r(cosy+isiny)\Rightarrow \left | z-\omega \right |=2r\left | sin\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right |$. 

  Kết hợp với điều kiện ở đầu bài, ta thấy B có dạng như sau:

$B=(2r)^{n}\begin{vmatrix} sin(x_{1}-x_{n+1}) &sin(x_{1}-x_{n+2}) & sin(x_{1}-x_{n+3}) & ...\\... &... & ... &... \\ sin(x_{n}-x_{n+1}) & sin\left ( x_{n}-x_{n+2} \right ) & sin(x_{n}-x_{n+3}) & ... \end{vmatrix}$

 trong đó $x_{i}$ kí hiệu tương ứng argument của $z_{i}$ và r=$\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{2n} \right |$

 Nếu ta tách det B theo các cột thì dễ dàng nhận thấy det B=0 

Bài toán ( Nordic-2011) Chứng minh rằng

$\begin{vmatrix} a & b & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 &0 \\ c &a &b & 0 & 0 & ... & 0 &0 &0 \\0 & c & a & b &0 & ... & 0 & 0 &0 \\... & ... & ... &... &... &... &... &... &... \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 & ... & a &b &0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & c & a &b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &... &0 &c & a \end{vmatrix}_{n\times n}=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )$

Lời giải. Ta sẽ tính định thức bằng các xác định các giá trị riêng của ma trận.

  Trước tiên để cho thuận tiện trong các trình bày ta sẽ xét một trường hợp đặc biệt khi a=0 và bc=1

kí hiệu là $D_{n}$ . Đặt $P_{n}(\lambda )=det(\lambda I_{n}-D_{n})$ .

  Áp dụng khai triển Laplace liện tiếp cho ma trận $\lambda I_{n}-D_{n}$ , lần thứ nhất theo cột thứ nhất , lần thứ hai theo hàng thứ nhất, ta thu được hệ thức

$P_{n}(\lambda )=(-1)^{1+1}\lambda P_{n-1}(\lambda )+(-1)^{2+1}(-c) (-1)^{1+1}(-b)P_{n-2}(\lambda )=\lambda P_{n-1}(\lambda )-P_{n-2}(\lambda )$

  Ta qui ước $P_{0}(\lambda )=1$, bằng tính toán trực tiếp $P_{1}(\lambda )=1$ nên với mọi $n\geq 2$ ta luôn có

                     $P_{n}(\lambda )=\lambda P_{n-1}(\lambda )-P_{n-2}(\lambda )$

 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng nhận thấy;

                                 $P_{n}(2cos\theta )=\frac{sin(n+1)\theta )}{sin\theta }, 0< \theta < \pi$

  Dễ dàng nhận thấy $P_{n}(\lambda _{k})=0$ với $\lambda _{k}=2cos\frac{k\pi }{n+1},k=1,2,...n$  mà $degP_{n}(x)=n$ . Từ đây suy ra $\left \{ 2cos\frac{k\pi }{n+1} \right \}_{k=1}^{n}$ là tất cả các giá trị riêng của $D_{n}$.

   Trong trường hợp tổng quát ta thấy $A_{n}=aI_{n}+\sqrt{bc}\overline{D_{n}}$, trong đó $A_{n}$ là ma trận cho trong đề bài còn $\overline{D_{n}}$ có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 và thỏa mãn các tính chất trong trường hợp riêng mà ta đã khảo sát. Theo kết quả trên ta thấy $\left \{ a+2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right \}_{k=1}^{n}$ là các giá trị riêng của $A_{n}$

   Do đó

       $det(A_{n})=\prod_{k=1}^{n}\left ( a+2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{(n+1-k)\pi }{n+1} \right )=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )$

Bài toán (AMM11270) Gọi $S_{n}$ là ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc tập $\left \{ 1,2,...,n^{2} \right \}$ .Các phần tử được sắp xếp theo hình xoắn ốc theo chiều tăng của các giá trị.

Tính $detS_{n}$.

Đáp số: $detS_{n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}4^{n-1}\frac{3n-1}{2}\prod_{k=0}^{n-2}\left ( k+\frac{1}{2} \right )$

File lời giải:

   AMM11270.pdf   63.73K   143 Số lần tải

Tiếp theo là một số bài toán tính toán định thức có trên tạp chí American Mathematical ....

Bài toán ( AMM-11179) Cho các số nguyên dương i, j đặt $m_{i,j}=\left\{\begin{matrix} -1 &i+1\equiv 0(mod j) \\0 & i+1\not\equiv 0(modj) \end{matrix}\right.$.Gỉa sử $M_{n}$ là ma trận vuông cấp n-1 có phần tử (i,j) là $m_{i,j}$.

  Chứng minh rằng $det(M_{n})=\mu (n)$, trong đó $\mu$ là hàm Mobius . ( Tạp chí Epsilon)

Bài toán ( ĐH-FPT 2013 ) Tính định thức sau

         $\begin{vmatrix} x+a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\a_{1} & x+a_{2} & ... & a_{n}\\ ... &... &... &... \\a_{1} & a_{2} &... & x+a_{n} \end{vmatrix}$

Cách 1 ( Biến đổi sơ  cấp )  Cộng  tất cả các cột 2 ,3,...,n vào cột đầu tiên ta thu được

                                 $\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} &... & a_{n}\\ x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}&x+a_{2} &... &a_{n} \\ ...& ....& ... &.... \\x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} &a_{2} &... &x+a_{n} \end{vmatrix}$

 Tiếp theo trừ hàng thứ 1 cho các hàng 2,3,...n ta được

                  $\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0 & x & ... & a_{n}\\... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & x \end{vmatrix}$

  Đến đây dễ  thấy giá trị định thức cần tìm bằng $x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

Cách 2 ( Lý thuyết về giá trị riêng - đa thức đặc trưng )  Đặt  $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})$,

trong đó $A=\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & ... &a_{n} \\ ...& ... & ... &... \\a_{1} & a_{2}& ... & a_{n} \end{bmatrix}$. 

  Ta thấy rank A=1 , nên 0 là một  giá trị riêng của ma trận A và có số bội bằng $n-rankA=n-1$. 

  Theo đó giá trị riêng còn lại của ma trận A  bằng $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ . Lưu ý là hệ  số của $\lambda ^{n}$ trong $P(\lambda )$ là $(-1)^{n}$

nên $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda +a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$ 

 Thay $\lambda =-x$ thay thấy $det(A+xI_{n})=x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$.

  Chú ý vế trái là định thức ta cần tính.

Bài toán:(Putnam 2009 )Cho n > 3, n nguên dương. Tính định thức:

 $D_{n}=\begin{vmatrix} cos1 &cos2 &... &cosn \\ cos(n+1) & cos(n+2) &... &cos2n \\... &... &... &... \\cos(n^{2}-n+1) & cos(n^{2}-n+2) &... &cosn^{2} \end{vmatrix}$

Lời giải.  Lấy cột thứ 3 + cột thứ 1$\rightarrow$ cột thứ 1 và sử dụng biến đổi lượng giác , ta được :

$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cos2cos1 &cos2 &... & ... &... cos(n) \\2cos(n+2)cos1 &cos(n+2) &... & ... &cos2n \\... & ... & & ... &... \\... &... & ... & ... &... \\2cos(n^{2}-n+2)cos1 & cos(n^{2}-n+2) &... &... & cosn^{2} \end{vmatrix}$

   Lúc này cột thứ 1= 2cos1 cột thứ 2 $\Rightarrow$ det$D_{n}=0$.

Bài toán . Xét các số phức$z_{1},z_{2},...,z_{2n}$ thỏa mãn điều kiện  $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{n+3} \right |$ và $argz_{1}\geqslant argz_{2}\geqslant ...\geq argz_{n+3}$.

  Tính định thức của ma trận B ,trong đó  $b_{ij}=\left | z_{i}-z_{j+n} \right |,i,j\in \left \{ 1,2,...n \right \}$.

 Lời giải . Ta có nhận xét sau bài toán đề cập đến modun và argument của một số phức nên ta sẽ sử dụng dạng lượng giác của số phức trong các tính toán. 

    Với hai số phức $z=r(cosx+isinx);\omega =r(cosy+isiny)\Rightarrow \left | z-\omega \right |=2r\left | sin\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right |$. 

  Kết hợp với điều kiện ở đầu bài, ta thấy B có dạng như sau:

$B=(2r)^{n}\begin{vmatrix} sin(x_{1}-x_{n+1}) &sin(x_{1}-x_{n+2}) & sin(x_{1}-x_{n+3}) & ...\\... &... & ... &... \\ sin(x_{n}-x_{n+1}) & sin\left ( x_{n}-x_{n+2} \right ) & sin(x_{n}-x_{n+3}) & ... \end{vmatrix}$

 trong đó $x_{i}$ kí hiệu tương ứng argument của $z_{i}$ và r=$\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{2n} \right |$

 Nếu ta tách det B theo các cột thì dễ dàng nhận thấy det B=0