Cách khác:
Bài toán 1:Cho các số $a_{i}$>0,i=1,2,...n thì $\prod_{1}^{n}\left ( a_{i}+1 \right )\geq 1+\sum_{1}^{n}a_{i.}$
Chứng minh bằng qui nạp.
Quay trở lại bài toán:
Để ý $\frac{x+1}{2}=\frac{x-1}{2}+1$.
Áp dụng vào bài toán 1 có $\prod_{1}^{n}\left ( \frac{a_{i}-1}{2}+1 \right )\geq 1+\sum_{1}^{n}\frac{a_{i}-1}{2}.$
Hay $\prod_{1}^{n}\left ( \frac{a_{i}+1}{2} \right )\geq 1+\frac{\sum_{1}^{n}a_{i}-n}{2}$.
Đặt $A=\sum_{1}^{n}a_{i}$.
Cần chứng minh $\frac{A-n+2}{2}\geq \frac{A+1}{n+1}\Leftrightarrow A\geq n. $
Đúng do a$_{i}\geq 1$ với mọi i.