Bài 119: Cho các số dương a, b, c sao cho $a+b+c+2=abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq 2$

(Sưu tầm)

$a+b+c+2=abc=>\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1$

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{a+1} \\ y=\frac{1}{b+1} \\ z=\frac{1}{c+1} \end{matrix}\right. (x,y,z> 0;x+y+z=1)$

Ta CM: $\frac{y(y+z)}{x}+\frac{z(z+x)}{y}+\frac{x(x+y)}{z}\geq 2$

Mà $\frac{y^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{y}+\frac{x^{2}}{z}\geq x+y+z=1$

$\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq x+y+z=1$

$=>$ $\frac{y(y+z)}{x}+\frac{z(z+x)}{y}+\frac{x(x+y)}{z}\geq 2$

$<=>a=b=c=2$

Bạn Tea Coffee đã hiểu đúng ý tưởng người ra đề nhưng làm thế này sẽ nhanh và gọn hơn   

Lời giải:

$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}=\left ( \frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1} \right )-\sum \frac{1}{a+1}\geq 3-\sum \frac{1}{a+1}=2$

Bài 107:

Cho 3 số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:

$\frac{a}{{{a^2} + 1}} + \frac{b}{{{b^2} + 1}} + \frac{c}{{{c^2} + 1}} \le \frac{9}{{10}}$(Poland MO 1992)

Theo Dirichlet ta giả sử $(3b-1)(3c-1)\geq 0\Leftrightarrow b^2+c^2\leq \frac{1}{9}+\left ( b+c-\frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}+\left ( \frac{2}{3}-a \right )^2$

Ta có BĐT tương đương với: 

$\frac{a}{a^2+1}\leq \left ( \frac{1}{2}-\frac{b}{b^2+1} \right )+\left (\frac{1}{2}-\frac{c}{c^2+1} \right )-\frac{1}{10}\Leftrightarrow \frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq \frac{1}{5}+\frac{2a}{a^2+1}$

Mặt khác theo Cauchy - Schwarz ta có:

$\frac{(b-1)^2}{b^2+1}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1}\geq\frac{(b+c-2)^2}{b^2+c^2+2}=\frac{(1+a)^2}{(b^2+c^2)+2}\geq \frac{(1+a)^2}{\frac{1}{9}+2+\left ( \frac{2}{3}-a \right )^2}=\frac{9(a+1)^2}{23-12a+9a^2}$

Vây ta đưa BĐT về BĐT 1 biến: 

$\frac{9(1+a)^2}{23-12a+9a^2}\geq \frac{a^2+10a+1}{5(1+a^2)}\Leftrightarrow (3a-1)^2(2a^2+2a+11)\geq 0$

Vậy ta có đpcm

p/s: Anh tr2512 xem lại hộ em nguồn bài toán bởi vì em làm 1 lần rồi và nó ghi là 1996 chứ không phải 1992. Em cảm ơn ...

105. Cho $a\,,b\,\,> 0$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{2 + a + b} + \frac{a}{2a + b + 1} + \frac{b}{2b + a + 1} \,\, \leqq \frac{3}{4}$

Anh viet9a14124869 lời giải bài này đâu cần phức tạp quá vậy ạ... 

Ta có:

$\frac{4}{a+b+2}+\frac{4a}{2a+b+1}+\frac{4b}{2b+a+1}=\frac{4}{(a+1)+(b+1)}+\frac{4a}{(a+b)+(a+1)}+\frac{4b}{(a+b)+b+1}\leq \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+1}=3$

Bài 105: Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a\geq 4;b\geq 5,7\geq c\geq 6$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=90$. Tìm giá trị nhỏ nhất $a+b+c$

 

P/s: Có 2 bài 103, nhờ DOTOANNANG sửa lại số thứ tự bài

Bài này chỉ cần điều kiện $c\geq 6$ thôi bởi vì từ giả thiết 

Ta có: 

$a\geq 4;b\geq 5\Rightarrow c\leq 7\Rightarrow (c-6)(c-7)\leq 0\Leftrightarrow 13c\geq c^2+42$

$b\geq 5;c\geq 6\Rightarrow a<9\Rightarrow (a-4)(a-9)\leq 0\Leftrightarrow 13a\geq a^2+36$

$a\geq 4;c\geq 6\Rightarrow b<8\Rightarrow (b-5)(b-8)\leq 0\Leftrightarrow 13b\geq b^2+40$

Suy ra $13(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)+42+36+40\Leftrightarrow a+b+c\geq 16$

Bài 121: Cho các số thực dương x,y,z thay đổi thỏa mãn : $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leq 18$

Tìm GTNN của biểu thức: A=$\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$

Ta có:

$18\geq x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)=x^2+y^2+z^2+x+y+z\Leftrightarrow 30\geq (x^2+4)+(y^2+4)+(z^2+4)+(x+y+z)\geq 5(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\leq 6$

Suy ra:

$A=\sum \frac{1}{x+y+1}\geq \frac{9}{2(x+y+z)+3}\geq \frac{3}{5}$

Bài 124: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng :

                                 $\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+ \frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(a+c)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

                                                                                     (Đề thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2005)

Ta viết lại BĐT dưới dạng 

$\sum \frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^3}\geq \frac{3}{8}$

Đặt $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z\Rightarrow xyz=1$

Áp dụng AM- GM ta có:

$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(x+1)^2}$

Thiết lập các BĐT tương tự ta quy về chứng minh:

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT phụ sau ta có:

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{z+1}-\frac{1}{2} \right )^2\geq 0$

Suy ra ĐPCM

Bên đó thi chuyên chưa?

$\boxed{\text{Bài 143}}$ Cho $a,b,c >0$ ;abc=1.

Chứng minh $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq 1$

 

Lời giải của mình khá "vất vả" nhưng đem lại hiệu quả: 

Quy đồng ta có BĐT tương đương:

$\sum (a+1)^2(b+1)^2+2(a+1)(b+1)(c+1)\geq (a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^2+4(a+b+c)-6abc-a^2b^2c^2-2abc(ab+bc+ca)-4abc(a+b+c)+4 \geq 0$

Thay $abc=1$ ta có BĐT trở thành: $a^2+b^2+c^2\geq 3$ (đúng theo AM-GM)

p/s: Bên mình sắp thi rồi, mùng 7,8 tháng 6. Mong bạn sớm đưa ra lời giải hay hơn   

Bài 142: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6

Chứng minh rằng a² + b² + c² ≥ 3

Ta có:

$12=2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca\leq (a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)\Leftrightarrow 12\leq 3+3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow 3\leq a^2+b^2+c^2$

p/s: Bài này quá cơ bản rồi 

Cháy lên nào TOPIC ơi

$\boxed{\text{Bài 135}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{8}{a+b)^2+4abc}+\frac{8}{(b+c)^2+4abc}+\frac{8}{(c+a)^2+4abc} +a^2+b^2+c^2 \geq \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}$

 

Ta có:

$\frac{8}{(a+b)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{8}{(a+b)^2(c+1)}+\frac{(a+b)^2}{4}\geq \frac{4}{\sqrt{2(c+1)}}\geq \frac{8}{c+3}$

Thiết lập các BĐT còn lại ta có đpcm

Bài 129: $a, b, c \geqslant 0, a+b+c=1$

Chứng minh: $\frac{1}{1+6a^{2}} + \frac{1}{1+6b^{2}}+\frac{1}{1+6c^{2}} \geqslant \frac{9}{5}$

Ta viết BĐT lại thành: $\sum \frac{25a^2}{6a^2+1}\leq 5$

Ta có: $6a^2+1=6a^2+(a+b+c)^2=2(2a^2+bc)+3a^2+b^2+c^2+2a(b+c)=2(2a^2+bc)+3a^2+b^2+c^2+2a(1-a)=2(2a^2+bc)+(a^2+b^2+c^2)+2a$

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có: 

$\sum \frac{(2a+a+2a)^2}{2(2a^2+bc)+(a^2+b^2+c^2)+2a}\leq 2\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+2(a+b+c) \leq 5$

Suy ra đpcm. 

Bài 101:

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$$ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \text{  (Sưu tầm)}$$

P/s: Bài này bị gọi là quá sức không theo mình là không

Bài này có đăng trong TTT2, lời giải không quá phức tạp nhưng do vẫn còn hạn gửi bài cho tòa soạn nên đề nghị mọi người không giải...

 

Bài 93:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 $

Chứng minh: 

$$ \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \le \sqrt{x+y+z} $$ (Sưu tầm)

 

Theo Cauchy - Schwarz ta có:

$\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \right )^2=\left (\sum \sqrt{x}.\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}} \right )^2$

$\leq (x+y+z)\left ( \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z} \right )=(x+y+z)\left ( 3-\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=x+y+z$

Suy ra đpcm 

Bài 49(Phạm Kim Hùng): Cho a, b, c dương và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

Bài 50(Phạm Kim Hùng): Cho 4 số dương a, b, c, d có tích bằng 1. Chứng minh:

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\geq (a+b+c+d)^2$

Mình xin đưa ra lời giải hai bài này.

Bài 49:

$\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{a}{a+b+1}$

Bất đẳng thức tương tương: $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{(b+1)(a+b+1)+(c+1)(b+c+1)+(a+1)(c+a+1)}=1$ (khai triển tất cả kết hợp giả thiết $a^2+b^2+c^2=3$)

Bài 50:

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 4 số $a-1;b-1;c-1;d-1$ thì có hai số mà tích của chúng không âm. Giả sử $(b-1)(c-1)\geq 0$

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=(a^2c^2+a^2+c^2+1)(b^2d^2+1+b^2+d^2)\geq (abcd+a+bc+d)^2=(1+a+d+bc)^2$

Bất đẳng thức quy về chứng minh: $1+a+d+bc\geq a+b+c+d\Leftrightarrow (b-1)(c-1)\geq 0$ (đúng)

Bài 61: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$.

Chứng minh rằng: $x+y+z\leq xyz+2$

(IMO  Shortlist 1987)

Bài 58: 

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a}{{\sqrt {2a + b} }} + \frac{b}{{\sqrt {2b + c} }} + \frac{c}{{\sqrt {2c + a} }} \le \sqrt 3$

Ta có BĐT tương đương: $\sum \frac{a}{\sqrt{3(2a+b)}}\leq 1$

Mà ta có: $\frac{a}{\sqrt {3(2a + b)}}=\sqrt{\frac{a^2}{3(2a+b)}}\leq \frac{1}{2}\left (\frac{a}{2a+b}+\frac{a}{3} \right )$

Nên BĐT quy về chứng minh: $\sum \frac{a}{2a+b}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{b}{2a+b}\geq 1$ 

Bất đẳng thức trên đúng theo Cauchy - Schwarz: $\sum \frac{b}{2a+b}=\sum \frac{b^2}{2ab+b^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

Bài 27: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$

Chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Bài này hình như là Russia MO 2002 gì đó.

Bất đẳng thức tương đương:

$2\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )+a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)^2=9$

BĐT trên đúng vì theo AM - GM ta có: 

$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$. Thiết lập các BĐT còn lại ta có điều phải chứng minh.

Bài 6: Cho a, b, c>0 thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$ (Phạm Kim Hùng)

Bài 7: Cho a, b là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:

$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$ (Vasile Cirtoaje)

Mình xin đưa ra lời giải hai bài này 

Bài 6:

Ta có: $\frac{a+1}{b+1}=a+1-\frac{b(a+1)}{b+1}$ nên BĐT quy về chứng minh:

$\sum \frac{b(a+1)}{b+1}\geq 3$.

Bất đẳng thức trên đúng theo AM - GM 3 số kết hợp với điều kiện $abc=1$

Bài 7: 

Theo AM - GM ta có:

$a^3+b^3+1\geq 3ab\Rightarrow ab\leq 1$; $a^3+1+1\geq 3a\Rightarrow 3a\leq a^3+2=4-b^3$; $3b\leq 4-a^3$.

Từ đó ta có:

$3(a^4+b^4)+2a^4b^4=3a.a^3+3b.b^3+2a^3b^3.ab\leq (4-b^3)a^3+(4-a^3)b^3+2a^3b^3=4(a^3+b^3)=8$

Bài 66: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $abc\leq 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$

p/s: Bài không khó nhưng đẹp 

Bài 77(APMO 2004): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Ta đi chứng minh kết quả mạnh hơn là $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2$

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:

$3(a+b+c)^2=3\left ( \frac{a+b}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}+1.c \right )^2\leq 3\left ( \frac{(a+b)^2}{2}+1 \right )(c^2+2)$

Ta cần đi chứng minh: $(a^2+2)(b^2+2)\geq 3\left (\frac{(a+b)^2}{2}+1 \right )\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2}+(ab-1)^2\geq 0$ đúng 

Vậy hoàn tất chứng minh 

Bài 90. Cho $a\,,\,b\,,\,c$ là các số dương thỏa $a+ b+ c= 3$. Chứng minh rằng:

 

                                               1. $\prod_{cyc}^{ }(b^{2}- bc+ c^{2})\leqq 12$ (Algebraic Old & New inequalities)

Giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$ suy ra 

$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\leq (a^2-ab+b^2)b^2a^2=\frac{4}{9}.\frac{3}{2}ab.\frac{3}{2}ab.(a^2-ab+b^2)\leq \frac{4}{9}.\frac{(a+b)^6}{27}\leq \frac{4}{9}.\frac{(a+b+c)^6}{27}=12$

Dấu bằng khi a=2, b=1, c=0 và các hoán vị. (Phạm Kim Hùng)

Bài 82: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

(Sưu tầm)

Bài 79: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq 1$

Cách 1(Dirichlet):

Giả sử $(b-1)(c-1)\geq 0\Rightarrow (b^2-b+1)(c^2-c+1)=bc(b-1)(c-1)+b^2+c^2-b-c+1\geq \frac{(b+c)^2}{2}-(b+c)+1=\frac{(3-a)^2}{2}-(3-a)+1=\frac{a^2-4a+5}{2}$

Vậy ta cần đi chứng minh: 

$(a^2-a+1)(a^2-4a+5)\geq 2\Leftrightarrow (a-1)^2)(a^2-3a+3)\geq 0$ luôn đúng

Cách 2(Cauchy - Schwarz):

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}\Rightarrow c\leq 1$

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:

$(a^2-a+1)(b^2-b+1)=\left ( (a-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right )\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+(b-\frac{1}{2})^2 \right )\geq\left [ \frac{1}{2}\left ( a-\frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}\left (b-\frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2} \right ]^2=\frac{(3-c)^2}{4}$

Ta cần đi chứng minh: 

$(c^2-c+1)(3-c)^2\geq 4\Leftrightarrow (c-1)^2(c^2-5c+5)\geq 0$ luôn đúng do giả sử $c\leq 1$

Bài 77(APMO 2004): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Cách 2

Áp dụng Dirichlet ta giả sử $(b^2-1)(c^2-1)\geq 0\Leftrightarrow b^2c^2\geq b^2+c^2-1$

Suy ra $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=(a^2+2)(b^2c^2+2b^2+2c^2+4)\geq (a^2+2)(3b^2+3c^2+3)=3(a^2+1+1)(1+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)^2$

Bài 6: Cho a, b, c>0 thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$ (Phạm Kim Hùng)

Bài 7: Cho a, b là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:

$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$ (Vasile Cirtoaje)