Bài 214: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}-2x+2y=-3 \\ &y^{2}-2xy+2x=-4 \end{matrix}\right.$

$5.(1)-3.(2)$, ta được :

$5x^2-8y^2+6xy-16x+10y+3=0\\\Leftrightarrow (5x-4y-1)(x+2y-3)=0$

đến đây thế vào giải pt bậc 2 

Bài 215: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}+xy=y^{2}-3y+2 & \\ &x^{2}-y^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

$2x^2-y^2+xy+3y-2=0\Leftrightarrow (2x-y+2)(x+y-1)=0$

đến đây dễ rồi

??? Làm sao bình phương được.Nếu được cậu có thể làm tiếp được không?

Đến bước đó có 2 trường hợp :

+ )$x^2-2x-1=0\Leftrightarrow \boxed{x=1 \pm \sqrt{2}}$

+ )$\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+3}+2}=\frac{1}{x+1}\\\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x+3}=x-1\Leftrightarrow x^2-2x+3=x^2-2x+1 (VN)$

Cách của bạn khá hay và sáng tạo .Tuy nhiên đến phần đánh giá thì nếu không khéo thì cũng khá khó đấy nhưng dù sao cảm ơn cách giải của bạn.

cái liên hợp bình phương chơi luôn được mà bạn ~~ 

@@ Đã nói là bài chúc tết nên dễ, chỉ lừa chút thôi:

 

Thực ra bình phương lên là phương trình bậc 2, Ok chưa!

như này đề thi đại học , chú chơi lầy ~~ :v

Bài 223: $\begin{cases} & x^{4}-2x=y^{4}-y \\ & (x^{2}-y^{2})^{3}= 3 \end{cases}$

http://diendan.hocma...d.php?t=409046 

có thể tham khảo ở đây ạ , bài khó thật

P/s : Đây là đề kiểm tra đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội - thuộc dạng bài toán hay và khó 

Bài 222: $\begin{cases} & x^{4}-y^{4}=\dfrac{3}{4y}-\dfrac{1}{2x} \\ & (x^{2}-y^{2})^{5}+5= 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4xy(x^4-y^4)=3x-2y\\ (x^2-y^2)^5+5=0 \end{matrix}\right.$

Đặt $x+y=a;x-y=b$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab(a^2+b^2)(a^2-b^2)=a+5b\\ a^5b^5+5=0 \end{matrix}\right.\\\Rightarrow ab(a^4-b^4)=a-b.a^5b^5\\\Leftrightarrow a^5b-ab^5-a+a^5b^6=0\\\Leftrightarrow a(b^5+1)(a^4b-1)=0$

tới đây cái đã, khúc sau xét 3th , làm biếng ~~

Giải:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x-x^{2}+1}\leq \frac{x^{2}+x+1+x-x^{2}+1}{2}=x+1$

 

$\Rightarrow x+1\geq x^{2}-x+2\Leftrightarrow 0\geq (x-1)^{2}\Leftrightarrow x=1$

 

Thay vào: $x=1$ không thỏa mãn nên PTVN

x=0 là nghiệm đấy, đánh giá cái trên như sai

Bài 233: $\begin{cases} & (2x^{2}-3x+4)(2y^{2}-3y+4)= 18 \\ & x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14= 0 \end{cases}$

 

Viết PT (2) dưới dạng PT ẩn x: $x^2 + x\left( {y - 7} \right) + y^2 - 6y + 14 = 0 $
Xét $ \Delta = \left( {y - 7} \right)^2 - 4\left( {y^2 - 6y + 14} \right) = - 3y^2 + 10y - 7 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le y \le \dfrac{7}{3} $
Viết PT (2) dưới dạng PT ẩn y: $y^2 + y\left( {x - 6} \right) + x^2 - 7x + 14 = 0 $
Xét $ \Delta = \left( {x - 6} \right)^2 - 4\left( {x^2 - 7x + 14} \right) = - 3x^2 + 16x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le \dfrac{{10}}{3} $

Đặt $f\left( a \right) = 2a^2 - 3a + 4 $
Xét $ f'\left( a \right) = 4a - 3 \Rightarrow $ với $a \ge \dfrac{3}{4} $ thì hàm f luôn đồng biến
Ta có PT $ \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).f\left( y \right) = 18 $
Với ĐK của x và y thì $f\left( x \right).f\left( y \right) \ge f\left( 2 \right).f\left( 1 \right) = 18 $
Dễ thấy x=2, y=1 ko là nghiệm của PT (2)
Vậy HPT vô nghiệm 

p/s: bài này như NTA1097 làm rồi, mình chỉ cop lại của anh kia cho cụ thể

Ví dụ khác

Bài 237:

$3x^{2}+6x-3=\sqrt{\frac{x+7}{3}}$

Đặt $\sqrt{\frac{x+7}{3}}=y+1\Leftrightarrow x+7=3y^2+6y+3\Leftrightarrow x+4=3y^2+6y$

Mặt khác, từ pt ban đầu ta có :

$3x^2+6x-3=y+1\Leftrightarrow 3x^2+6x=y+4$

vậy ta có hệ đối xứng ~~~

Thêm 1 phương trình vô tỉ

$\frac{x^2}{1-x^2}+x^2+1=2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}$

$\left ( \frac{x^2}{1-x^2}+2 \right )-2x\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}+x^2-1=0\\\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}-x-1 \right )\left ( \sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}+2}-x+1 \right )=0$

đến đây bình phương từng ngoặc chắc ra 

Chậc, mấy bài tồn kho hại não quá, bài mới:  (1 bài chúc tết, 1 bài thử sức)

 

 

Bài 205: Giải phương trình:

 

$(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$

$\sqrt{x^2-2x+3}-2=\frac{x^2+1}{x+1}-2\\\Leftrightarrow \frac{x^2-2x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}+2}=\frac{x^2-2x-1}{x+1}$

đến đây dễ rồi

Tiếp 
Giải phương trình : $13.\sqrt{x^2-x^4}+9.\sqrt{x^2+x^4}=16$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia , ta có :

$\sqrt{13}.\sqrt{13}\sqrt{x^2-x^4}+3\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{x^2+x^4}\leq \sqrt{(13+27)\left [ 13(x^2-x^4)+3(x^2+x^4) \right ]}\leq\sqrt{80(8x^2-5x^4)}\leq\sqrt{80.\frac{16}{5}}\leq 16$

tìm đc dấu bằng, bài này như có ai làm rồi :3

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} &5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 \\ &\frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9 \end{matrix}\right.$

Bài 31: $3x^{3}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

Bài 36: $\left\{\begin{matrix} &(4x^{2}-4xy+4y^{2}-51)(x-y)^{3}+3=0 \\ &(2x-7)(x-y)+1=0 \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 41: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=0 & \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=10 & \\ &x^{7}+y^{7}+z^{7}=350 & \end{matrix}\right.$

Bài 43: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+8y^{2}-6xy+x-3y-624=0 \\ &21x^{2}-24y^{2}-30xy-83x+49y+585=0 \end{matrix}\right.$

Bài 44: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+y^{2}=(x-y)(xy-1) \\ &x^{3}-x^{2}+y+1=xy(x-y-1) \end{matrix}\right.$

Bài 48: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x}-y)^{2}+(\sqrt{y+x})^{3}=2 \\ &(\sqrt{x-y})^{3}+(\sqrt{y}-x)^{2}=2 \end{matrix}\right.$

Bài 55: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}=0$

Bài 68: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y+6}=1-y \\ &9\sqrt{1+x}+xy\sqrt{9+y^{2}}=0 \end{matrix}\right.$

Bài 69: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$

Bài 72: $x^{2}-9=(8x^{3}-28x^{2}+34x-11)(\sqrt{x+1}-2)$

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$

Bài 79: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}=1 \\ &\sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}=(\sqrt[2017]{x}-\sqrt[2017]{y})(x+y+xy+2018) \end{matrix}\right.$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 93: $(9x^{2}+6x-8)\sqrt{3x+2}+6x+23=27x^{2}+3\sqrt{10+3x}$

Bài 95: $\sqrt{x+5+\frac{12}{x-1}}=\frac{2(x+2)^{2}+11}{5x-3}$

bài 104: $2x-5+3\sqrt{2x+7}=2\sqrt{x+1}$

Bài 106: $2(2x-3)(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1})=3x-2$

Bài 112: $\frac{2}{x^{2}+5+2\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{2+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}+\frac{1}{2+2\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}=\frac{1}{2}$

Bài 113: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}-x^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}-y^{2}}=x+y+z \\ &xyz-x^{2}-y^{2}-\frac{1}{3}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})+2=0 \end{matrix}\right.$

88* có ai giải chưa vậy ??? minh chưa thấy

Có vẻ như có 2 bài 88, mình nhầm...

 

của bạn haichau0401 á bạn

Bài 98: $2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy$

 

98 giải hệ hay pt ???

Xin góp vài bài =)) 

96.$(2x^2-4x+1)\sqrt{2x-1}=4x^2-7x+3$

 

$\Leftrightarrow (2(x-1)^2-1)\sqrt{2x-1}=4(x-1)^2+(x-1)$

Đặt $x-1=a;\sqrt{2x-1}=b$

$\Rightarrow (2a^2-1).b=4a^2+a;\\ (2b^2-1).a=(4x-3)(x-1)=4x^2-7x+3=4a^2+a\\ \Rightarrow 2b^2a-a-2a^2b+b=0\Leftrightarrow (b-a)(2ab+1)=0$

đến đây dễ rồi 

góp thêm vài bài :

$56)\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}\\ 57)\frac{2}{3}\sqrt{4x+1}-9x^2+26x+\frac{37}{3}=0\\ 58)(x^2-6x+11)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7)\sqrt{x-2}$

$2PT(2)-PT(1) \iff (x-1)[y^2-(x+3)y+x^2-x-2]=0$

 

$\iff x=1$   v   $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0$

 

Với $x=1$ thay vào thì vô nghiệm.

 

Với $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \ (3)$ ta kết hợp với (1) ta đc hệ mới: 

 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  x^3+y^2-x^2y+x+xy^2-y=0 \end{cases}$

 

Ta có: $2PT(2)-PT(1) \iff (2x+1)[y^2-(x-1)y+x^2-x+2]=0$

 

TH1: $x=\dfrac{-1}{2} \iff y=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{4}$  v   $y=\dfrac{5-3\sqrt{5}}{4}$

 

TH2: Kết hợp với (3) ta có hệ: 

 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  y^2-(x-1)y+x^2-x+2 \end{cases}$

 

Trừ cho nhau ta có: $y=-1 \iff x^2+2=0$ (vô nghiệm)

 

...

làm sao để có ý tưởng nhân pt nào cho mấy vậy ??? hay chỉ phân tích đơn thuần 

Bài 155: 

$\begin{cases} & x^{3}-y^{3}+3y^{2}+32x=9x^{2}+8y+36 \\ & 4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}= x^{2}+8 \end{cases}$

$x^{3}-y^{3}+3y^{2}+32x=9x^{2}+8y+36 \\\Leftrightarrow (x-3)^3+5(x-3)=(y-1)^3+5(y-1)\Rightarrow x-3=y-1$ 

Bài 168: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}=9 \\ &\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-2}=3 \end{matrix}\right.$ 

Đặt $a=\sqrt{x-2};b=\sqrt{y-2};c=\sqrt{z-2} (a,b,c \geq 0) \\\Rightarrow \sqrt{2x+3}=\sqrt{2(a^2+2)+3}=\sqrt{2a^2+7}$

tương tự , ta có :$\sum \sqrt{2a^2+7}=9 ; \sum a =3$

Đặt $\vec u(\sqrt{2}a;\sqrt{7}), \vec v ...$ tương tự, ta được :

$\sum\left | \vec u\right | = \sum \sqrt{2a^2+7}\geq \left | \sum \vec u \right |\geq \sqrt{2(a+b+c)^2+(3\sqrt{7})^2}=9$

đẳng thức khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=3$

không biết đúng ko nữa ?

Câu 180: Giải PT: $4-3x^{2}=x^{2}\sqrt{x^{2}-1}$

Đặt $\sqrt{x^2-1}= a\Rightarrow x^2=a^2+1\Rightarrow 4-3(a^2+1) =(a^2+1).a\\ \Leftrightarrow a^3+3a^2+a-1=0$

đền đây tìm được $a=\sqrt{2}-1$ là thỏa, sau đó tìm được $x=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}$

Xin lỗi...mình nhầm

thế mình chém  

$$\left | \sqrt{x^{2}+2x+5}-\sqrt{x^{2}-4x+40} |=\left | \sqrt{(x+1)^2+(-2)^2}-\sqrt{(2-x)^2+6^2} \right |$$

Đặt $\vec u \left ( x+1;-2 \right );\vec v \left ( 2-x;6 \right )\\\Rightarrow \vec u +\vec v =(3;4)\Rightarrow \left | \vec u +\vec v \right |=5\\ VT=\left | \left | \vec u \right |-\left | \vec v \right | \right |\leq\left | \vec u +\vec v \right |=5; VP \geq 5$

đẳng thức khi $\boxed {x=-\frac{5}{2}}$

Những bài mà bạn NguyenPhuongQuynh đăng lên được coi là bài 156 nhé!

Bài 157: $\left | \sqrt{x^{2}+2x+5}+\sqrt{x^{2}-4x+40} \right |=x^{2}+5x+\frac{45}{4}$

 

57 sai đề thì phải phải là dấu $-$ giữa 2 căn thức mới phải

Bài 54: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}-\sqrt[3]{x^{3}-5x+1}= 2x+2$

$\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}-\sqrt[3]{x^{3}-5x+1}= 2x+2 \\\Leftrightarrow [\sqrt[3]{12x^2+46x-15}-(2x+1)]-\sqrt[3]{x^3-5x+1}-1=0\\\Leftrightarrow \frac{12x^2+46x-15-(2x+1)^3}{A}-(\frac{x^3-5x+1+1}{B})=0\\\Leftrightarrow \frac{x^3-5x+2}{B}+\frac{8(x^3-5x+2)}{A}=0\\\Leftrightarrow x^3-5x+2=0\Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x-1)=0\Leftrightarrow \boxed{x=2;x=-1\pm \sqrt{2}}$