đề bài của bạn là a,b,c dương mà ,làm sao 2 số bằng 0 được

xin loi minh nham . Cam on ban da giai cho minh

Giúp mình nhé:

 

 

 

Bài 2: Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=4 .Tìm min $P=x^{2}+y^{2}+\frac{33}{xy}$  

 

 

$x^{2}+y^{2}\geqslant \frac{(x+y)^{2}}{2}= 8$

$xy\leqslant \frac{(x+y)^{2}}{4}=4$

suy ra P $\geqslant 8+\frac{33}{4}=16,25$

vậy min P=16,25

 

2.Tìm Min M = $\left ( x^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right ) \left ( y^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )$

Áp dụng BĐT Buniacopski ta có:

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})\geqslant (xy+\frac{1}{xy})^{2}\geqslant (2\sqrt{xy.\frac{1}{xy}})^{2}=4$

cho a,b dương a+b=2

chứng minh a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})$ \leq 2$

mình sửa lại rồi đó

van co dau ban khi 1 trong 3 so bang 1 va 2 so con lai bang 0

 

a,b,c\geq  0 Cm

\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq 3+a+

 

 

gõ lại đề đi bạn ơi

Bạn nhầm chỗ này oy 

   $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq 0$    (1)

phải là $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geq 0 (1)$

P/s: Bài này trong Sáng tạo BĐT 

khong nham dau sach giai sai do ! duoc moi dau bang la dung thoi

Chứng minh Bất đẳng thức sau:

        Cho $x\geq y\geq z\geq 0$. Chứng minh:

                $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

ap dung bdt cauchy-schwars ta co

$(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}).(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2} y}{ x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}$

ma ta co

$(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})-(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2} y}{ x})= \frac{(x-z)(y-z)(x-y)(xy+yz+xz)}{xyz}\geq 0$

suy ra

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geqslant \frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2} y}{ x}$

suy ra duoc dpcm

Ta có 

$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}$$=\frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{b^{3}}{4b^{2}c^{2}+b^{2}}+\frac{c^{3}}{4c^{2}a^{2}+c^{2}}$

$\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

   Bài toán qui về chứng minh

                      $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geq 0$    (1)

Mặt khác ta lại có

    0<ab$\leq (\frac{a+b}{2})^{2}<(\frac{a+b+c}{2})^{2}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow ab(1-4ab)>0$

$\Rightarrow (1)$ đúng và không xảy ra đẳng thức

Bài toán được chứng minh và không xảy ra đẳng thức

 

cho boi do co van de

cho a,b,c duong , a+b+c=1 chung minh rang

$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}\geqslant (a\sqrt{ a}+b\sqrt{ b}+c\sqrt{ c})^{2}$

(bai  nay minh dang roi nhung khong ai tra loi nen dang lai de moi nguoi giai  )

 

94) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq 3abc$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}= \sum \frac{a^{4}bc}{2ac+bc}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^{4}bc})^{2}}{3(ab+bc+ac)}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$\frac{(\sum \sqrt{a^{4}bc})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{(3\sqrt[3]{\sqrt{a^{6}b^{6}c^{6}}})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{9(abc)^{2}}{9abc}= abc(2)$

theo  điều kiện bài toán ta có

$3abc\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geqslant 1(3)$

từ (1)(2)(3) suy ra

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}\geqslant abc\geqslant 1$

vậy ta được đpcm

 

89) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa: $a+b+c+d=1$. Tìm Min $A=\frac{\sum a^4}{\sum a^3}$

 

áp dụng bđt buniacôpski ta có

$\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{3}}\geqslant \frac{\sum a^{4}}{\sqrt{\sum a^{4}.\sum a^{2}}}= \sqrt{\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{2}}}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$a^{4}+\frac{1}{256}\geqslant \frac{a^{2}}{8}$

cmtt ta có

$\sum a^{4}+\frac{1}{64}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{8}\Rightarrow \sum a^{4}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{8}-\frac{1}{64}(2)$

ta lại có

$\sum (a^{2}+\frac{1}{16})\geqslant \frac{1}{2}\sum a\Rightarrow \sum a^{2}\geqslant \frac{1}{4}(3)$

từ (1)(2)(3) ta có

$\sqrt{\frac{\sum a^{4}}{\sum a^{2}}}\geqslant \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{8\sum a^{2}}-\frac{1}{64\sum a^{2}}}\geqslant \sqrt{\frac{1}{8}-\frac{1}{16}}= \frac{1}{4}$

vậy MinA=$\frac{1}{4}$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{4}$

94) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq 3abc$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

dựa vào đk bài toán ta có

$3abc\geqslant ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geq 1$

áp dụng bđt schwars ta có :

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}= \sum \frac{a^{4}b^{2}}{2ab+b^{2}}\geqslant \frac{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$a^{2}b+a^{2}b+c^{2}a\geqslant 3\sqrt[3]{a^{5}b^{2}c^{2}}\geqslant 3a$

cmtt ta có

$\sum a^{2}b\geqslant \sum a(2)$

từ (1)(2) suy ra đpcm

135, cho a,b dương thỏa mãn $(a+\sqrt{a^{2}+1})(b+\sqrt{b^{2}+1})=2014$ . Tìm Min của P=x+y

 

87) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc\leq 1$. Cmr: $\sum \frac{a}{c}\geq \sum a$

 

 

áp dụng bđt cô si ta có

$\frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}= 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{abc}}\geqslant 3a$

cmtt ta có

$\sum \frac{a}{c}\geq \sum a$

vậy ta được đpcm

1/Cho 3 số a,b,c đôi một khác nhau .CMR 

 $\frac{(a+b)^2}{a-b}+\frac{(b+c)^2}{b-c}+\frac{(c+a)^2}{c-a}\geq 2$

 

Mình nghĩ đề phải là : $\sum \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geqslant 2$

Với đề như trên ta sẽ có cách giải sau :

Đặt  $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a+b}{a-b}\\ y=\frac{b+c}{b-c} \\ z=\frac{c+a}{c-a} \end{matrix}\right.$

từ đó ta sẽ có :

$(1-x)(1-y)(1-z)=(1+z)(1+y)(1+x)$

$\Rightarrow xy+yz+xz= -1$

Hiển nhiên ta có bất đẳng thức sau là đúng :

$\sum x^{2} \geqslant -2\sum xy$

$\Rightarrow \sum x^{2}\geqslant 2$

$\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geqslant 2$

vậy ta được đpcm

Vãi bạn, tưởng mình đăng đề giống nhau hả, xem lại đề đi. Có giống bài 85 đâu.

đề giống nhau mà , đk bài toán chỉ cần biến đổi là giống nhau mà

p/s: @viet hoang 99: đầu tiên mình tưởng là đề khác nhau , khi làm xong mới biết là giống nhau 

 

63) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b$

 

 

 

áp dụng bđt cô si ra có

$\frac{1}{a^{3}}+1+1\geq \frac{3}{a}$

cmtt ta có

$\frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}+6\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{b}+3b\Rightarrow \frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{b}+3b-6(1)$

ta lại có

$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\geq 3(2)$

từ (1)(2) suy ra  

$\frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}\geq 3(\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b})-2(\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b})=\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b}$

11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

1 cách nữa cho bài này

$(a+b+c)^{2}=9\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3$

ta có

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}= \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+bc+ac}\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+3}= \sum (a-\frac{ 3a}{ a^{2}+3})$

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum (a-\frac{ 3a}{ a^{2}+3})\geq \sum (a-\frac{3a}{4\sqrt[4]{a^{2}}})= \sum (a-\frac{3\sqrt[4]{a^{2}}}{4})\geq \sum (a-\frac{3(2a+2)}{16})= \frac{3}{4}$

vậy ta  được đpcm

 

14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$

 

$\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}= \sum \frac{a }{ \sqrt{ a^{2}+ab+bc+ac}}= \sum \frac{ a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}$

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum \frac{ a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}\leq\sum \frac{1}{2}(\frac{ a}{ a+b}+\frac{ a}{ a+c})= \frac{3}{2}$

vậy ta được đpcm

 

18) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab^2+bc^2+ca^2=3$. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+7}\leq 2\sum a^4$

áp dụng bđt cô si ta có

$a^{4}+a^{4}+c^{4}+1\geqslant 4\sqrt[4]{a^{8}c^{4}}=4a^{2}c$

cmtt ta có

$3(\sum a^{4}+1)\geqslant 4(\sum a^{2}c)\Rightarrow \sum a^{4}\geqslant 3 (1)$

áp dụng bđt cô si ta lại có

$\sum \sqrt[3]{a+7}\leqslant \frac{1}{12}\sum (a+23)=\frac{1}{48}\sum (4a+92)\leqslant \frac{1}{48}\sum (a^{4}+95)= \frac{1}{48}(\sum a^{4}+285)(2)$

từ (1)(2) suy ra

$\sum \sqrt[3]{a+7}\leqslant \frac{1}{48}(96\sum a^{4})=2\sum a^{4}$

vậy ta được đpcm

 

69) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $12\sum \frac{1}{a^2}=3+\sum \frac{1}{a}$. Cmr: $\sum \frac{1}{4a+b+c}\leq \frac{1}{6}$

áp dụng bđt cô si ta có :

$12\sum (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{9})\geqslant 12.\sum \frac{2}{3a}= 8\sum \frac{1}{a}$

theo đk bài toán ta có

$12\sum (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{9})=7+\sum \frac{1}{a}\geqslant 8\sum \frac{1}{a}\Rightarrow \sum \frac{1}{a}\leqslant 1$

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum (\frac{1}{4a+b+c})\leq \frac{1}{36}\sum (\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{36}\sum \frac{6}{a}\leq \frac{1}{6}$

vậy được đpcm

 

82) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq a+b+c$

 

 cách 2:

  áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}= \sum (\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{a+b})= \sum \frac{a^{2}}{b+a}+\sum \frac{b^{2}}{a+b}\geqslant 2.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=a+b+c$

 

 

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$
 

 ta có

$\sum (x^{2}+1)\geqslant 2(x+y)\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geqslant 2$

áp dụng bđt cô si ta có :

$x^{5}+3x\geqslant 4\sqrt[4]{x^{8}}=4x^{2}$

cmtt ta có  

$x^{5}+y^{5}+3(x+y)\geqslant 4(x^{2}+y^{2})\geqslant 8$

$\Rightarrow x^{5}+y^{5}\geqslant 2$

vậy ta được đpcm

85) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc\geq 1$. Cmr: $\sum \frac{a^4b}{2a+b}\geq 1$

 

 

$\sum \frac{a^{4}b}{2a+b}= \sum \frac{a^{4}b^{2}}{2ab+b^{2}}\geqslant \frac{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$a^{2}b+a^{2}b+c^{2}a\geqslant 3\sqrt[3]{a^{5}b^{2}c^{2}}\geqslant 3a$

cmtt ta có

$\sum a^{2}b\geqslant \sum a(2)$

từ (1)(2) suy ra đpcm