Người ta có bổ đề như thế này:
Với $ p \in P$ và $a_1;a_2;..;a_n$ là các số tự nhiên thì
$(a_1+a_2+...+a_n)^p \equiv a_1^p+a_2^p+...+a_n^p $ (mod p)

Cm cho bổ đề này:
- Với $n = 1$: hiển nhiên.
- Với $n = 2$:
Ta có: $(a_1 + a_2)^{p} = a_1^{p} + C_p^{p}a_1^{p - 1}a_2 + ... + C_p^{p - 1}a_1a_2^{p - 1} + a_2^{p} \equiv a_1^{p} + a_2^{p} (mod p)$
vì $C_p^{a} \vdots p$ với $a = 1, 2, ..., p - 1$

Giả sử ta có: $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^{p} \equiv a_1^{p} + a_2^{p} + ... + a_n^{p} (mod p)$

Khi đó: $(a_1 + a_2 + ... + a_{n + 1})^{p} = [(a_1 + a_2 + ... + a_n) + a_{n + 1}]^{p} \equiv (a_1 + a_2 + ... + a_n)^{p} + a_{n + 1}^{p} (mod p) \equiv a_1^{p} + a_2^{p} + ... + a_{n + 1}^{p} (mod p)$

$\Rightarrow$ đpcm.

Bài 1:(4 đ)
a/ $A = ( \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} ) \sqrt{3 - \sqrt{5}}$
b/ $B = \sqrt{5} - \sqrt{3 - \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}}$

Bài 2:(6 đ)
a/ Chứng minh $\sqrt{a} - \sqrt{b} \leq \sqrt{a - b}$, đk $a \geq b \geq 0$ (2đ)
b/ Tìm giá trị lớn nhất của $A = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 8}$ (2đ)
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của $B = \sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$ (2đ)

Bài 3:(2 đ) Giải phương trình:
$\sqrt{x + 3 - 4\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 + 6\sqrt{x - 1}} = 5$

Bài 4:(2 đ)
Tìm 1 số tự nhiên biết rằng nếu thêm 12 hay bớt 12 thì được 1 số chính phương.

Em học gõ latex đi chứ...

anh ơi em đã đọc qua về pt Pell nhưng trong sách chỉ viết về cách tìm nghiệm chứ ko cm đó là tập nghiệm của pt . anh giải thích cho em đc ko thanks nhiều

Ý em là sao, mình chỉ áp dụng dạng của pt Pell để giải các pt nghiệm nguyên thôi mà, điều này thì đúng vì từ dạng đó mình suy ra được các dãy và bộ nghiệm của nó.

Ví dụ, (công thức nghiệm):
Giả sử $(a, b)$ là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của pt Pell loại 1: $x^{2} - dy^{2} = 1 , d \in N^{*}$
Xét hai dãy ${x_n} , {y_n}$ cho bởi hệ thức truy h?#8220;i:
$x_o = 1, x_1 = a, x_{n + 2} = 2ax_{n + 1} - x_n$
$y_0 = 0, y_1 = b, y_{n + 2} = 2ay_{n + 2} - y_n$
thì $(x_n; y_n)$ là tất cả các nghiệm nguyên dương của pt, $\forall n \in N{*}$.

Em có thể xem thêm về pt Pell ở đây: http://diendantoanho...?showtopic=5752

Anh pirates à :
Bài 1. n=40 .
Bài 2 thì có thể đưa về dạng phương trình pithagore.
Có đúng không ạ. Mong anh pirates cho ý kiến .

Bài 1. Em cần trình bày ra cho rõ, tất nhiên với cách thử thì thấy 40 là kết quả đúng.
Bài 2. Em cũng cần nói rõ hơn, để xem em sử dụng pt Pitago làm sao.

Cả 2 bài này đều là dạng của pt Pell.

Tặng các em 2 bài:

1. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $2n + 1$ và $3n + 1$ là các số chính phương.

2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^{2} + (n + 1)^{2}$ là số chính phương.

Định lý Fermat nhỏ ấy mà, trong đây có chứng minh: http://diendantoanho...showtopic=48999

Cái cuộc thi này nếu các em tổ chức để cho vui và vài người trao đổi với nhanh thôi thi như này là được, chứ muốn nhiều người tham gia và khuấy động thì cần có kế hoạch nghiêm túc... Mà thôi, như này là được rồi...

Tổng quát:

Giả sử: $f(x) = a_n x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1 x + a_0$.
Khi đó thương gần đúng của $f(x)$ cho $(x - a)$ là một đa thức có bậc bằng $n - 1$, có dạng:
$g(x) = b_{n - 1}x^{n - 1} + ... + b_1 x + b_0$,
trong đó: $b_{n - 1} = a_n , b_k = ab_{k + 1} + a_{k + 1} , k = 0, 1, ..., n - 1$
và dư số $r = ab_0 + a_0$

Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ dương,c/m:
$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \dfrac{1}{abc}$

Ta có: $\dfrac{abc}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \leq \dfrac{abc}{ab(a + b) + abc} = \dfrac{c}{a + b + c}$

$\Rightarrow \dfrac{abc}{a^{3} + b^{3} + abc} + \dfrac{abc}{b^{3} + c^{3} + abc} + \dfrac{abc}{c^{3} + a^{3} + abc} \leq 1$

$\Rightarrow$ đpcm

Xin lỗi tất cả các bạn .Mấy ngày nay nhà mình mất mạng nên k0 online và chấm bài được. Mong các bạn thông cảm và mathlovely chuyển người chấm bài giúp tớ.Mình sẽ post các bài thi đã gửi cho mình lên. Mong anh pirates,chị Janie và quốc cường chấm giúp mình.
Hôm nay mình lên quán net viết vài dòng cáo lỗi cùng các bạn.
Có lẽ vài ngày nữa mình mới online được. Thành thật xin lỗi tất cả các bạn , mong các bạn thông cảm cho mình.

Có 2 bạn gửi bài giải à, chắc Cường chấm cũng nhanh thôi. Anh thì nếu nhiều thì sẽ chấm phụ các em. Nếu có cần đề bài thì nói anh, anh sẽ gửi cho vài bài hay, thế nhé...D

Am GM là j` thế bạn

Sao cái này nhiều người hỏi thế nhỉ, đó chính là BĐT Cauchy thôi, em tìm các sách tham khảo về BĐT sẽ biết liền à...

anh pirates biết nhiều dấu hiệu thế

Đó là những bài anh đã gặp qua thôi.

Mấy cái áp dụng chia hết hay ở trong những bài toán nào vậy mọi người nhỉ, thử đưa ra vài bài mình cùng giải nào
(trừ mấy bài trên kia)

Chia hết đã là một dạng của Toán rồi đó em.

Thêm một vài cái nữa để mọi người luyện cm:

$n^{3} + 11n \vdots 6$

$mn(m^{2} - n^{2}) \vdots 3$

$n(n + 1)(2n + 1) \vdots 6$

$a^{2} - b^{2} \vdots 24$ với $a, b$ lẻ và không chia hết cho $3$.

$p^{2} - 1 \vdots 24$ với $p > 3$ và là số nguyên tố.

$n^[2}(n^{2} - 1) \vdots 12$

$n^{2}(n^{4} - 1) \vdots 60$

$mn(m^{4} - n^{4}) \vdots 30$

$n^{5} - n \vdots 30$

$2n(16 - n^{4}) \vdots 30$

$n^{4} + 6n^{3} + 11n^{2} + 6n \vdots 24 \forall n \in N$

$n^{4} - 4n^{3} - 4n^{2} + 16n \vdots 384$ với $n > 4$, chẵn.

Cardarno là gì vậy anh

Là công thức nghiệm của pt bậc ba em à, em vô đây xem thêm cũng được nè: http://vi.wikipedia....

phân tích thành nhân tử zum` em đi mấy anh oy
$x^{10} + x^{5} +1$

$x^{10} + x^{5} + 1 = (x^{10} + x^{9} + x^{8}) + (x^{7} + x^{6} + x^{5}) + (x^{5} + x^{4} + x^{3}) + (x^{2} + x + 1) - (x^{9} + x^{8} + x^{7}) - (x^{6} + x^{5} + x^{4}) - (x^{3} + x^{2} + a)$
$= x^{8}(x^{2} + x + 1) + x^{5}(x^{2} + x + 1) + x^{3}(x^{2} + x +1) + (x^{2} + x +1) - x^{7}(x^{2} + x + 1) - x^{4}(x^{2} + x + 1) - x(x^{2} + x + 1)$
$= (x^{2} + x + 1)(x^{8} - x^{7} + x^{5} - x^{4} + x^{3} - x +1)$

Một cách khác nữa:
$x ^{10} + x^{5} + 1 = \dfrac{(x^{5})^{3} - 1}{x^{5} - 1} = \dfrac{x^{15} - 1}{x^{5} - 1} = \dfrac{(x^{3})^{5} - 1}{(x - 1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1} = \dfrac{(x^{3} - 1)(x^{12} + x^{9} + x^{6} + x^{3} + 1)}{(x -1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1)} = \dfrac{(x^{2} + x + 1)(x^{12} + x^{9} + x^{6} + x^{3} + 1)}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1} = (x^{2} + x + 1)(x^{8} - x^{7} + x^{5} - x^{4} + x^{3} - x + 1)$

do thi. cua ham so y=ax^2 luon la` 1 duong parabol dung ko anh

Uh đúng rồi, đồ thị của hàm số $y = ax^{2}$ (a khác 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó gọi là một Parabol với đỉnh O.
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Co' ai biet cach ve do thi ko?lam` on chi cho minh` voi

Bạn hỏi đồ thị hàm số nào...
VD: Đồ thị của hàm số $y = ax + b$, a khác 0
Ta thấy đồ thị của hàm số $y = ax + b$ là một đường thẳng, vì vậy để vẽ được thì ta chỉ cần xác định 2 điểm phân biệt nào đó thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm đó.
- Cho $x = 0$ thì $y = b$, ta được điểm $P(0;b)$ thuộc trục tung $Oy$
- Cho $y = 0$ thì $x = \dfrac{-b}{a}$, ta được điểm $Q(\dfrac{-b}{a};0)$ thuộc trục hoành $Ox$

Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm P, Q ta được đồ thị của hàm số $y = ax + b$

Bài 2 hay đó chứ, bài này cứ tách ghép lập thành bình phương, đúng là thích hợp cho lớp 8 luyện đấy, mình làm ra được 2 cái:
$(2x+3y)^{2} + (2x+3y-4z)^{2} + (x+6y)^{2} + 10x^{2} + 5 \geq 5$
hoặc
$8(x-z)^{2} + 9(x+2y)^{2} + 2(2x-3y)^{2} + 2x^{2} + 5 \geq 5$

Giả sử có số tự nhiên lẻ $n$ và số $k \in N$ để $n^{3} + 1 = k^{2}$.
Ta có: $n^{3} = (k + 1)(k - 1)$.
Vì $n$ lẻ nên $k + 1 , k - 1$ là 2 số lẻ liên tiếp nên chúng nguyên tố cùng nhau. Vậy có 2 số tự nhiên lẻ $a$ và $b$ và $a > b$ để $k + 1 = a^{3} , k - 1 = b^{3} \Rightarrow 2 = a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) > 2$. Vô lí.
Vậy có đpcm.

Còn nhiều lắm, nhân tiện nêu ra thì các bạn thử chứng mnih luôn đi:

$a(a^{6} - 1) \vdots 7$

$ab(a^{2} - b^{2})(4a^{2} - b^{2}) \vdots 5$

$(12^{2n+1} + 11^{n+2}) \vdots 133$

$(6^{2n} + 3^{n+2} + 3^{n}) \vdots 11$

$(6.2^{5n+3} + 5^{n}.3^{n+1}) \vdots 17$

$(5^{2n+1}.2^{n+2} + 3^{n+2}.2^{2n+1}) \vdots 19$

$(5^{2n+1} + 2^{n+4} + 2^{n+1}) \vdots 23$

$(2^{n+5}.3^{4n} + 5^{3n+1}) \vdots 37$

$(7^{n+2} + 8^{2n+1}) \vdots 57$

$(4^{n} + 15n - 1) \vdots 9$

$(2^{2^{n}} + 4) \vdots 10$ với $ n \geq 2$

$(2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + ... + 2^{5n-3} + 2^{5n-2} + 2^{5n-1}) \vdots 31$

Cho $a_1, ..., a_n$ là 100 số tự nhiên tùy ý thỏa mãn:
$\dfrac{1}{\sqrt{a_1}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{a_n}} = 19$
Cmr có ít nhất 2 số bằng nhau trong 100 số đã cho.

1. Cho: $D= \dfrac{(\dfrac{(x - 1)^{2}}{3x + (x - 1)^{2}} - \dfrac{1 - 2x^{2} + 4x}{x^{3} - 1} + \dfrac{1}{x - 1})}{\dfrac{x^{2} + x}{x^{3} + x}}$
Rút gọn và tìm $x$ để $D > 0$
2. Tìm GTLN: $Q = \dfrac{3x^{2} + 9x + 17}{3x^{2} + 9x + 7}$

Sửa lại cho đỡ rối...

Trước khi học làm toán, hãy học làm người đã!

cậu bé này chém gió khinh quá!kiểu này miền trung lại sắp có bão rồi!
hãy sống với hiện tại đi e ạ!

Nới rồi cũng thế cả thôi, em nó được nhiều người "quan tâm" lắm rồi nhưng bản chất thì vẫn thế thôi.

Ta có: $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 7 \Rightarrow (x + \dfrac{1}{x})^{2} = 9 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3$

và: $x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = (x + \dfrac{1}{x})(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - 1) = (x + \dfrac{1}{x})(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) - (x + \dfrac{1}{x}) = 3.7 - 3 = 18$

Từ đây, ta có: $x^{5} + \dfrac{1}{x^{5}} = (x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}})(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) - (x + \dfrac{1}{x}) = 18.7 - 3 = 123$

à tiện thể cho em hỏi công thức viet của pt bậc 3 là j ạ???

Nếu $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ là nghiệm của pt: $ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$ thì ta có công thức Viète như sau:
$ x_{1} + x_{2} + x_{3} = -\dfrac{b}{a} $
$ x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = \dfrac{c}{a} $
$ x_{1}x_{2}x_{3} = -\dfrac{d}{a} $