Đây là các bài tập hình học được tác giả dùng để tập huấn đội tuyển IMO của Việt Nam năm 2011. Nhiều đề bài do tác giả sáng tạo ra nhưng một số đề cũng được sưu tầm chủ yếu từ diễn đàn AoPS. Xin giới thiệu lại với các bạn.

Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle ABD$ cắt $(O)$ tại $N$. Phân giác $\angle BDC$ cắt $(O)$ tại $M$. $AC$ giao $BD$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEM$ cắt đường thẳng qua $E$ song song $BN$ tại $F$. $FB$ cắt $CA,CN$ lần lượt tại $X,Y$. $FC$ cắt $BA,BN$ lần lượt tại $Z,T$. Chứng minh rằng $YZ\parallel XT$

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $C$ và tiếp xúc $AB$. $(K)$ cắt $AC$ tại $M$ khác $C$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt $AB$ tại $T$. $TM$ cắt $(K)$ tại $N$. $(K)$ cắt $CB$ tại $P$ khác $C$. $BM$ cắt $(K)$ tại $Q$ khác $M$. Chứng minh rằng $NP,QC$ và $AB$ đồng quy.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ phân giác $BE,CF$. Đường tròn qua $B,A$ tiếp xúc $AC$ cắt $BC$ tại $M$ khác $B$. Đường tròn qua $C,A$ tiếp xúc $AB$ cắt $BC$ tại $N$ khác $C$. $BE$ giao $AN$ tại $P$, $CF$ giao $AM$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm $PE,FQ$ song song $BC$.

Bài 4. Cho $AB$ là dây cung của $(O)$. Đường tròn $(O_1)$ tiếp xúc trong $(O)$ tại $S$ và tiếp xúc $AB$ tại $P$. Đường tròn $(O_2)$ tiếp xúc trong $(O)$, tiếp xúc ngoài $(O_1)$ tại $T$ và tiếp xúc $AB$ tại $Q$. $SQ$ cắt $(O)$ tại $C$ khác $S$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SPC$ luôn thuộc đường thẳng cố định khi $(O_1),(O_2)$ di chuyển và $P$ luôn nằm giữa $A$ và $Q$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$. $P$ là điểm bất kỳ $PA,PB,PC$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A_1,B_1,C_1$. Đường tròn $(AB_1C_1),(BC_1A_1),(CA_1B_1)$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_2,B_2,C_2$. $Q$ là điểm bất kỳ. $QA,QB,QC$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A_3,B_3,C_3$. $A_2A_3,B_2B_3,C_2C_3$ lần lượt cắt $(O)$ tại $A_4,B_4,C_4$. Chứng minh rằng $AA_4,BB_4,CC_4$ đồng quy.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Một đường thẳng qua $O$ cắt $CA,CB$ tại $D,E$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOB$ tại $P$ khác $O$, $P$ nằm trong tam giác $ABC$. Điểm $Q$ trên cạnh $AB$ thỏa mãn $\frac{AQ}{QB}=\frac{DP}{PE}$. Chứng minh rằng $\angle APQ = 2\angle CAP$.

Bài 7. Cho $KL,KN$ tiếp xúc $(O)$. $M$ thuộc tia đối tia $NK$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KLM$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $L$. $Q$ là hình chiếu của $N$ xuống $ML$. Chứng minh rằng $\angle MPQ=2\angle KML$.

Bài 8. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. $d$ là trung trực của $BD$. $P$ là điểm thuộc $d$. $Q,R$ là đối xứng của $P$ qua phân giác $\angle BAD,\angle BCD$. Chứng minh rằng $AQ,CR$ và $d$ đồng quy.

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường tròn $(O_1)$ qua $A,B$ tiếp xúc $AC$. Đường tròn $(O_2)$ qua $A,C$ tiếp xúc $AB$. $(O_1)$ cắt $(O_2)$ tại $D$ khác $A$. Đường thẳng $d$ qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ tại $E,F$. Đường tròn qua $A,E$ tiếp xúc $AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABF$ tại $P$. Chứng minh rằng $PA\perp PD$.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$. Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $D$. $E$ thuộc đoạn $BD$. $AE$ giao $BC$ tại $F$. Đường thẳng qua $F$ song song $BD$ cắt $AB$ tại $G$. Đường tròn $(BEC)$ cắt $AB$ tại $H$ khác $B$. $HE$ giao $BC$ tại $I$. $GF$ giao $CE$ tại $K$. Chứng minh rằng $IG=IK$.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$, $P$ bất kỳ. $D,E,F$ là trung điểm $BC,CA,AB$. $PD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $(PBC)$ tại $I$ khác $P$. $PE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $(PCA)$ tại $J$ khác $P$. $PF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $(PAB)$ tại $K$ khác $P$.

a) Chứng minh rằng các đường tròn $(PAI),(PBJ),(PCK)$ có điểm chung $Q$ khác $P$.

b) Chứng minh rằng $PQ$ luôn đi qua điểm cố định.

Bài 12. Cho tam giác $ABC$. $O,L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và điểm Lemoine của tam giác $ABC$. $OL$ cắt $CA,AB$ tại $B',C'$. $O',L'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và điểm Lemoine của tam giác $AB'C'$. Chứng minh rằng $OL,O'L'$ và $BC$ đồng quy khi và chỉ khi $\angle A=60^\circ$.

Bài 13. Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{\mathcal{P}_{A/(BCD)}}+\frac{1}{\mathcal{P}_{B/(CDA)}}+\frac{1}{\mathcal{P}_{C/(DAB)}}+\frac{1}{\mathcal{P}_{D/(ABC)}}=0.$$

Trong đó $\mathcal{P}_{M/(XYZ)}$ là phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$.

Bài 14. Cho ngũ giác $ABCDE$ có $DC=DE$ và $\angle C+\angle E=180^\circ$. $M$ là điểm thuộc $AB$ sao cho $\frac{MB}{MA}=\frac{BC}{EA}$. $CM$ cắt $AD$ tại $S$, $EM$ cắt $BC$ tại $T$. Chứng minh rằng $C,E,S,T$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ tâm đường tròn nội tiếp $I$. Đường tròn $(K)$ qua $I,B$ tiếp xúc $AB$ cắt $AC$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $\angle IBM=\frac{1}{2}\angle MBN$ khi và chỉ chi $I,M,C,K$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 16. Cho tam giác $ABC$ đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $M,N,P$ là trung điểm $EF,FD,DE$. $AM,BN,CP$ đồng quy tại $L$. $K$ là điểm đẳng giác của $L$ đối với tam giác $DEF$. Chứng minh rằng $K$ là tâm vị tự ngoài của đường tròn Euler và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 17. Cho $(O_1)$ và $(O_2)$ là hai đường tròn trực giao. $X$ thuộc $(O_1)$ và $Y$ thuộc $(O_2)$ sao cho $O_1Y$ và $O_2X$ cắt nhau trên trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$. Chứng minh rằng $XY$ đi qua tâm vị tự trong hoặc ngoài của $(O_1)$ và $(O_2)$.

Bài 18. Cho hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $(O)$ tại $T$. Lấy $P,Q$ thuộc $(K)$ sao cho $PQ\parallel AD$ và $PQ=AD$. $AP$ giao $DQ$ tại $N$, $BP$ giao $CQ$ tại $H$. Chứng minh rằng $T,O,N,H$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 19. Cho tam giác $ABC$ trọng tâm $G$. Đường thẳng $d$ cắt $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D,E,F$ song song với $GA,GB,GC$ lần lượt cắt nhau tạo thành tam giác $MNP$. Gọi $L$ là trọng tâm tam giác $MNP$. Chứng minh rằng $d$ đi qua trung điểm $GL$.

Bài 20. Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp $O$. $D$ là trung điểm của $AH$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$. Chứng minh rằng điểm đối xứng của $D$ qua $EF$ nằm trên $OI$.

Bài 21. Cho tam giác $ABC$ đường tròn bàng tiếp góc $B$ là $(I_b)$ tiếp xúc $CB,CA$ tại $D,R$. Đường tròn bàng tiếp góc $C$ là $(I_c)$ tiếp xúc $BC,BA$ tại $Q,G$. $BR$ cắt $(I_b)$ lần thứ hai tại $T$. $CQ$ cắt $(I_c)$ lần thứ hai tại $S$. $SG$ giao $TD$ tại $U$. Chứng minh rằng $AU\perp BC$.

Bài 22. Cho tam giác $ABC$ đường tròn $(I_a)$ bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. BE giao $(I_a)$ lần thứ hai tại $H$. $CF$ cắt $(I_a)$ lần thứ hai tại $G$. $S$ là điểm thuộc $AD$. $SH,SG$ cắt $(I_a)$ lần thứ hai tại $U,V$. Chứng minh rằng $BC,UV,HG,EF$ đồng quy.

Bài 23. Cho tam giác $ABC$. $P$ là điểm bất kỳ. $PA,PB,PC$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $E,F,D$. Phân giác $\angle ADC$ cắt phân giác $\angle AFB$ tại $K$. Phân giác $\angle BDC$ cắt phân giác $\angle BFA$ tại $I$. Phân giác $\angle AEC$ cắt phân giác $\angle BFC$ tại $J$. Chứng minh rằng $CJ,BI,AK$ đồng quy.

Bài 24. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $AB,AC$ tại $Y,Z$. Đường tròn $A$-mixtilinear tiếp xúc $AB,AC$ tại $H,I$. Đường tròn $B$-mixtilinear tiếp xúc $BC$ tại $D$, đường tròn $C$-mixtilinear tiếp xúc $BC$ tại $G$. $GY$ giao $DZ$ tại $X$, $BI$ giao $CH$ tại $T$, $CY$ giao $BZ$ tại $S$.

a) Chứng minh rằng $AX \parallel ST.$

b) Chứng minh rằng $BSCT$ là hình bình hành.

Bài 25. Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,F,E$. Đường tròn $A$-mixtilinear tiếp xúc $AB,AC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $H,I,P$. Chứng minh rằng $\frac{PH}{PI}=\frac{DF}{DE}$.

Bài 26. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn mixtilinear ứng với $B,C$ tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $E,F$. Đường tròn mixtilinar ứng với $A$ tiếp xúc $AB$ tại $D$. Chứng minh rằng phân giác $\angle DFE$ đi qua tam đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ với $AB>BC>CA$. Đường tròn mixtilinear ứng với $A,B,C$ tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $D,E,F$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Chứng minh rằng $\angle BEY+\angle CFZ=\angle ADX$.

Bài 28. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn mixtilinear ứng với $B$ tiếp xúc $AB,BC$ và $(O)$ tại $D,E,F$. Đường tròn mixtilinear ứng với $C$ tiếp xúc $CB,CA$ và $(O)$ tại $P,Q,R$. Chứng minh rằng $\frac{PF}{RE}=\frac{QF}{RD}.$

Bài 29. Cho tam giác $ABC$. Đường tròn mixtilinear ứng với $B,C$ là $(O_b),(O_C)$ tiếp xúc $BC$ tại $D,E$. Đường thẳng $DO_c$ và $EO_b$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh rằng $AF$ là phân giác $\angle BAC$.

Bài 30. Cho tam giác $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $(O)$ và một điểm $P$. $PA,PB,PC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $A_1,B_1,C_1$. $A_2,B_2,C_2$ lần lượt là hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. $A_3,B_3,C_3$ là đối xứng của $H$ qua $A_2,B_2,C_2$. Chứng minh rằng $A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3$ đồng quy tại $T$ thuộc $(O)$.

Tham khảo

[1] http://www.artofprob...wforum.php?f=47

[2] http://analgeomatica...en-thi-imo.html