b)  $\frac{a}{b}=k => a=kb => a+b=b(k+1) là số hữu tỉ => b và a phải là số hữu tỉ không thể là số vô tỉ$

Đề bài: Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ hay không nếu:

  a) ab và$\frac{a}{b}$ là các số hữu tỉ

  b) a+b và $\frac{a}{b}$ là các số hữu tỉ $(a+b\neq 0)$

  c) a+b, $a^{2}$ và $b^{2}$ là các số hữu tỉ $(a+b\neq 0)$

a) TH1: $a=b thì ab=a^{2} và \frac{a}{b}=1

đều là số hữu tỉ => a và b có thể là số vô tỉ$

TH2: $a\neq ta có : \frac{a}{b}=k là số hữu tỉ

=> a=kb => ab=kb^{2} là số hữu tỷ

=> a và b có thể là số vô tỉ

c) Ta có $a^{2}-b^{2} là số hữu tỉ hay (a-b)(a+b) là số hữu tỉ => a-b là số hữu tỉ Nếu a=b thì a+b=2b là số hữu tỉ nên không thể là số vô tỉ Nếu a\neq b thì a-b=k là số hữu tỉ => a+b=k+2b là số hữu tỉ => b là số hữu tỉ => a cũng phải hữu tỉ$

2)b)$\left | a \right |-\left | b \right |\leq \left | a-b \right |$

$(\left | a \right |-\left | b \right |)^2\leq (\left | a-b \right |)^2\Leftrightarrow 2\left | ab \right |\geq 2ab$(Đúng) 

Dấu"=" xảy ra khi $a,b\geq 0$

Thay vào ta tìm được MAX $y =2$

Đến đây xét khoảng 

$ \infty+\geq x\geq 1$ y=-2

$1\geq x\geq -1$

Khi đó y=0

$-1> x> \infty $

Khi đó y=0

MIN y=-2

Cái này là mình làm theo mặt đại số nhưng theo đề thì mình chỉ cần xác định là được chứ đâu cần làm đâu

Bạn ơi sửa lại chỗ $-1 > x > -\infty$

các chuyên đề cần ôn luyện nhé !    

Theo mình nghĩ thì cần nắm thật chắc

_Biến đổi biểu thức đặc biệt là biểu thức chứa căn

_Các bài giải phương trình nghiệm nguyên

_Hình học - Hình tròn - các bài toán quỹ tích -

_Bất đẳng thức 

_Các phương trình hệ phương trình dạng đối xứng và đẳng cấp

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:

1.

Đặt $t=xy$ ta có : $0 < xy \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}$ Suy ra $B>4$

Ta có :
$B=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)^{3}-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3t}+\frac{1}{t}=\frac{1-2t}{t-3t^{2}}$

$<=>Bt-3B.t^{2}=1-2t<=>3B.t^{2}-(B+2)t+1=0$
Để phương trình có nghiệm $t$ sao cho $0< t \leq \frac{1}{4}$

Thì $\left\{\begin{matrix}\Delta=B^{2}+4B+4-12B \geq 0\\ \frac{3}{16}B-\frac{B}{4}+\frac{1}{2} \leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}B \geq 4+2\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}-\frac{B}{16} \leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B \geq 8$

Vậy $B \geq 8$ . Dấu bằng xảy ra khi $xy=\frac{1}{4}$ và $x+y=1$ hay $x=y=\frac{1}{2}$

Phần thay đổi tên này http://diendantoanho...thị-danh-hiệu/  

Tuyển sinh vào lớp 10 Đồng Nai 2015-2016

Câu 1 : 

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-4)(x-1)}-2\sqrt{x-4}-(\sqrt{(x+5)(x-1)}-2\sqrt{x+5})=0$

Tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu 2015-2016

Tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tiền Giang 2015-2016

Trục căn thức $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$.

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

ta có: $(\sqrt{2})^2-(\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt{2}-1$

thì cái căn thức ban đầu = $\frac{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt[3]{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

Đến đây được rồi ha     

Mọi người cho mình hỏi tại sao lại không dùng được trình soạn thảo công thức toán vậy?

Máy mình cũng bị nek, sao không gõ được Latex vậy nhỉ?

Chắc có lẽ nút $f_x$ bị lỗi . Không coppy vào văn bản thì có thể khắc phục được nhưng không hiển thị xem trước thì hơi nghiêm trọng . Các thành viên trong ban quản lý kĩ thuật chắc cũng đang sửa chữa .

Trong khi đó có thể gõ Latex trên link này :

https://www.codecogs...x/eqneditor.php

Gõ xong các bạn bôi đen phần latex trong khung rồi coppy nó vào văn bản . Kẹp phần Latex đó giữa 2 dấu " $ " có ở trên bàn phím máy tính . 

$P=\frac{\frac{1}{4}(x-2y)^{2}}{xy}+\frac{\frac{7}{4}x^{2}-xy}{xy}\geq \frac{5}{2}$

pull one's leg: lừa dối ai đó

to block the street: ngăn chặn ..

to get together:: cùng nhau

to be on the tip of one's tongue : sắp nói ra hoặc nhớ ra

Bài 341: $x^{4}+x^{2}+(x^{2}+2x-1)^{3}=2-4x+2\sqrt[3]{x^{2}-x^{4}}$

 Phương trình đã cho tương đương:

$(x^{2}-x^{4})+2\sqrt[3]{x^{2}-x^{4}}=(x^{2}+2x-1)^{3}+2(x^{2}+2x-1)$
 Xét: $f(t)=t+2\sqrt[3]{t},\forall t \in \mathbb{R}$

Ta có: $f'(t)=1+\frac{2}{3\sqrt[3]{t^{2}}}>0, \forall t \in \mathbb{R}$

Nên $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

 Do đó, $f(x^{2}-x^{4})=f((x^{2}+2x-1)^{3})$
$\Leftrightarrow x^{2}-x^{4}=(x^{2}+2x-1)^{3}$

$\Leftrightarrow x^{2}-x^{4}=x^{6}+6x^{5}+9x^{4}-4x^{3}-9x^{2}+6x-1$
$\Leftrightarrow x^{6}+6x^{5}+10x^{4}-4x^{3}-10x^{2}+6x-1=0$
 Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình.

 Với $x$ khác $0$, chia cả hai vế của hệ cho $x^{3}$ ta được:
$x^{3}+6x^{2}+10x-4-\frac{10}{x}+\frac{6}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}=0$

$\Leftrightarrow (x^{3}-3x+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{3}})+6(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2)+13(x-\frac{1}{x})+8=0$
 Đặt $a=x-\frac{1}{x}$, phương trình trở thành:
$a^{3}+6a^{2}+13a+8=0$
$\Leftrightarrow (a+1)(a^{2}+5a+8)=0$
$\Leftrightarrow a=-1$(Vì $a^{2}+5a+8=(a+\frac{5}{2})^{2}+\frac{7}{4}>0$).

 Suy ra: $x-\frac{1}{x}=-1 \Leftrightarrow x^{2}+x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

 Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=${$\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$}.
 

Tớ có mấy bài này khó mong giúp đỡ 
Bài 139 : Giải phương trình với $a,b$ là hai số dương cho trước 
$\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}+\sqrt[n]{\frac{a-x}{a+x}}=\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}+\sqrt[n]{\frac{b-x}{b+x}}$

_Trường hợp $n$ lẻ

ĐKXĐ : $x$ khác $\pm a$ và $\pm b$ $(1)$

Đặt $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}=y$ và $\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}=z$ ( $y$ và $z$ khác $0$ )

Phương trình trở thành :
$y+\frac{1}{y}=z+\frac{1}{z}$
$<=>(y-z)(1-\frac{1}{yz})=0$

$<=>y=z$ hoặc $yz=1$

+ Khi $y=z$ thì ta có : $\frac{a+x}{a-x}=\frac{b+x}{b-x}=\frac{(a+x)-(b+x)}{(a-x)-(b-x)}=\frac{a-b}{a-b}=1$ suy ra $x=0$ ( nếu $a$ khác $b$ )

Nếu $a=b$ thì ta có phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn điều kiện $(1)$

+ Khi $yz=1$ ta có : $\frac{a+x}{a-x}.\frac{b+x}{b-x}=1<=>ab+(a+b)x+x^{2}=x^{2}-(a+b)x+ab<=>x=0$

_Trường hợp $n$ chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b$

ĐKXĐ : $x > a$ hoặc $x < - b$ $(2)$

Đặt $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}=m$ và $\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}=n$ ( $m$ và $n$ $> 0$ )

Phương trình trở thành :
$m+\frac{1}{m}=n+\frac{1}{n}$
$<=>(m-n)(1-\frac{1}{mn})=0$

$<=>m=n$ hoặc $mn=1$

+ Khi $m=n$ thì ta có : $\frac{a+x}{a-x}=\frac{b+x}{b-x}=\frac{(a+x)-(b+x)}{(a-x)-(b-x)}=\frac{a-b}{a-b}=1$ suy ra $x=0(KTM)$ ( nếu $a>b$ )

Nếu $a=b$ thì ta có phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn điều kiện $(2)$

+ Khi $mn=1$ ta có : $\frac{a+x}{a-x}.\frac{b+x}{b-x}=1<=>ab+(a+b)x+x^{2}=x^{2}-(a+b)x+ab<=>x=0$ ( không thỏa mãn điều kiện )

Thử thay dấu trừ trong căn thành dấu cộng

Bài 289: $x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{2}\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

Từ phương trình ta có :

$x=\frac{\sqrt{2}(1+\frac{1}{\sqrt{3}})}{1+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}}>0$

Phương trình tương đương

$(x-\sqrt{2})+(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-\sqrt{\frac{2}{3}})=0$

$<=>(x-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}x-\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1}}=0$

$<=>(x-\sqrt{2})+\frac{x^{2}-2}{(\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{3}x+\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1})}=0$

$<=>(x-\sqrt{2})(1+\frac{x+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{3}x+\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1})}=0$

$<=>x=\sqrt{2}$ ( vì $x>0$ nên phần trong ngoặc $>0$ )

320.$\left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt[3]{24} & \\ & (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}})=2 \end{matrix}\right.$

Ta có: Theo BĐT $AM-GM$ thì:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b})$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3a+b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{2a}{3a+b})$

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3a+b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b}+\frac{a+b}{3a+b})$

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta có:
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}}) \leq 2$

Nên hệ phương trình tương đương

$\left\{\begin{matrix}a+b=2.\sqrt[3]{3} \\ a=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{3} \\ b=\sqrt[3]{3} \end{matrix}\right.$

Cho n là số chính phương. CM n chia 4 dư 1 hoặc 0 

Cho n là số chính phương. CM n chia 5 dư 0,1,4

Cho n là số chính phương. CM n chia 5 dư 0,1,4

Bạn hỏi thì hỏi một lần đi - Làm như này loãng TOPIC quá

Bạn có thể đặt các số đó là dạng $5k+1;5k+2;5k+3;5k+4;5k$

 $4k+1;4k+2;4k+3;4k$

Cho mình hỏi bài này với, bài toán khó quá đi: Cho 50 điểm. Vẽ được bao nhiêu đường thẳng qua hai điểm trong 50 điểm đó nếu không có ba điểm nào thẳng hàng?

 

Nhanh giúp mình nha, mình đang cần gấp lắm !!!!

Ta thấy 2 điểm thì vẽ được 1 đường

3 điểm vẽ được 3 đường

4 điểm vẽ được 6 đường

Nhận thấy công thức tổng quát : với $n$ điểm vẽ được $\frac{n(n-1)}{2}$

Thay 50 được 25.49=....

cho x+y=1, CMR

x⁴+y⁴ $\geq$ $\frac{1}{8 }$

Áp dụng BĐT $Holder$ ta có:

$(x^{4}+y^{4})(1+1)(1+1)(1+1) \geq (x+y)^{4}-->$ đpcm

Dấu bằng khi $x=y=\frac{1}{2}$ 

CM BĐT:

    $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Biến đổi tương đương thôi  

    $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})<=>a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca \geq 0<=>(a+b+c)^{2} \geq 0$ (luôn đúng)