$\boxed{Problem 118}$Tìm các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $4^x+4^y+4^z$ là số chính phương.

Không mất tính TQ, giả sử $x\leq y\leq z$ 
$\Rightarrow 4^{x}(1+4^{y-x}+4^{z-x})=a^2$
th1: ngoặc bên VT lẻ thì $1+4^{y-x}+4^{z-x}=(2k+1)^2\Rightarrow 4^{y-x-1}+4^{z-x-1}=k(k+1) \Leftrightarrow 4^{y-x-1}(1+4^{z-y})$
với k chẵn thì $\left\{\begin{matrix} 4^{y-x-1}=k & \\ 4^{z-y}+1 =k+1& \end{matrix}\right.$
nên z=2y-z-1 từ đó thay vào ptgt dc scp
tương tự với trường hợp k lẻ
th2: ngoặc bên VT chẵn thì x=y hoặc z=y (vô lí)
Vậy z=2y-x-1 (TM)

Bài 126: Tìm x, y, z là các số tự nhiên, p là số nguyên tố thỏa $x^3+y^3=p^z$
P/s: không biết đã có ở topic cũ chưa

Why k chẵn thì nó lại bằng như thế

VT, VP là tích 2 số chẵn lẻ mà 2 vế = nhau nên nó phải = như vậy chứ

Vừa chợt kiếm ra ý tưởng khi giải TH sau, Có thể chặn được x

Bài này cũng có 1 cách đồng dư khác nhưng chủ yếu là biến đổi giống chimiwwhh

 Mình xin đóng góp 2 bài: 

$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$  không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)

 

1 cách suy nghĩ khác
Giả sử $n^2+3n+3$ là một lập phương đúng thì $n(n^2+3n+3)$ cũng là lập phương đúng (vì n là lập phương đúng)
$\Rightarrow n(n^2+3n+3)=n^3+3n^2+3n$
Mà $n\in Z^{+}\Rightarrow n^3< n^3+3n^2+3n< (n+1)^3$
Từ đó có kết luận
 

 

 

bài 82: Tìm x;y nguyên dương sao cho $x^{2}y+x+y$ chia hết cho $xy^{2}+y+1$

$x^2y+x+y\vdots xy^2+y+1\Leftrightarrow y(x^2y+x+y)-x(xy^2+y+1)\vdots xy^2+y+1$
$\Leftrightarrow y^2-x\vdots xy^2+y+1$
Nếu $y^2=x$. Thay vào phương trình GT $y^5+y^2+y\vdots y^4+y+1$ (hiển nhiên đúng) 
Nếu $y^2>x\Rightarrow y^2-x\geq xy^2+y+1\Leftrightarrow y^2(1-x)-x-y-1\geq 0$ (vô lí vì x,y nguyên dương)
Tương tự cho th còn lại

 

 

Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$  . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên 

 

Đặt $a^2+b^2=ab.k (k thuộc z) \Leftrightarrow a^2-ab.k+b^2=0$. $\Delta = b^2k^2-4b^2=0$
Pt có nghiệm nguyên khi $b^2k^2-4b^2$ là số chính phương hay $k^2-4=a^2\Leftrightarrow (k-a)(k+a)=4$
đến đây chắc chia ra 6TH để giải   

Góp cho topic một vài bài
Bài 114: Tìm tất cả các số x, y $\in N$ thỏa mãn $85^x-y^4=4$
Bài 115: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tồn tại a, b là các số tự nhiên thỏa: $(x^2+a)^a=(2x-1)^b$
Bài 116: Tìm các số nguyên tố p, q: $p^3+107=2q(17q+24)$
Bài 117: Tìm $x\in Z^+$ và p là số nguyên tố sao cho $7^p-4^p=31x^2$

Bài 112: Tìm x, y thuộc Z: $x^4-6x^2+1=7.2^y$

Bài 86: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho $q^3+1\vdots p^2$ và $p^6-1\vdots q^2$

Bài 150: Tìm các số nguyên dương $a$ để với mọi số nguyên tố lẻ $p$ luôn tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn đồng thời $a^n-n^2$ và $a^{n+1}-(n+1)^{2}$ đều chia hết cho $p$

tách     
x4+3x3+7x2+3x+6 thành (x ² + 3x + 6 )( x² + 1 ) sau đó lấy tử là x4+3x3+7x2+3x+6 chia cho x ² + 3x + 6 và x² + 1 ( dùng đa thức chia đa thức ý )

thì ta có số dư là

 

( x4+3x3+7x2+3x+6) : ( x ² + 3x + 6 ) dư 7 x - 22 => 7x -22 phải chia hết cho x ² + 3x + 6 => |7 x -22| >₌x ² + 3x + 6(1)

Tương tự ta có

 

 

( x4+3x3+7x2+3x+6) : ( x² + 1) dư x + 2 => x + 2 phải chia hết cho x² + 1 => |x+ 2| > = x² + 1 ( 2) . Từ ( 1 ) và ( 2 ) các bạn giải bất phương trình rồi thấy các giả trị đều không thỏa mãn 
= > ta chỉ còn trường hợp là  x -2 = 0 hoặc 7 x -22 = 0 
dễ thấy 7 x -22 = 0 không có nghiệm nguyên => x =2 để thỏa mãn  x - 2 = 0
thay thử vào phương trình ban đầu đề bài ta thấy thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x = 2
 

hình như bạn nhầm rồi, nếu x=2 thay vào A vẫn không thỏa mãn
từ A sẽ suy ra dc x < 0 nên từ $x^2+1\mid x+2\Rightarrow x^2+1\mid x^2+1-5\Rightarrow x^2+1\mid 5$
từ đây có thể tìm x=-2 thỏa mãn
 

Bài 102​
Tìm (a; b; p) với a, b $\in Z^{+}$, p là số nguyên tố sao cho 4p = b$\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$



 

a) Ta có MN//BC, NJ phân giác ngoài $\widehat{MNC}$
$\Rightarrow \widehat{ANJ}=\widehat{ANM}+\widehat{MNC}=\widehat{ACB}+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\widehat{ACB})=90^{\circ}+\frac{\widehat{ACB}}{2}=\widehat{AIB}$
$\Rightarrow \Delta AJN\sim \Delta ABI(g-g)\Rightarrow \frac{AJ}{AN}=\frac{AB}{AI}\Rightarrow \Delta ABJ\sim \Delta AIN(c-g-c)$
b)$\widehat{ABL}+\widehat{IAB}=2\widehat{ABJ}+\widehat{IAN}=2\widehat{AIN}+\widehat{IAN}=\widehat{AIN}+\widehat{INC}=\widehat{AIN}+\widehat{INK}$



P/s: hình hơi xấu

$\boxed{50}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$. Đường cao $BE, CF$ của $\DeltaABC$ cắt nhau tại $H$. $TB \cap EF =P; TC \cap EF =Q$. Chứng minh $(TPQ)$ tiếp xúc với $(O)$. 

Ta có $\widehat{PBF}=\widehat{ACB}=\widehat{AFE}=\widehat{PFB}$ hay $PF=PB$
$OT$ cắt $BC$ tại $I$ $\Rightarrow$ $I$ trung điểm $BC$ hay $IB=IF$
Từ đó có $PI$ trung trực $AB$ hay $PI$ phân giác $\widehat{TPQ}$
Hay $I$ là tâm nội tiếp $\Delta TPQ$. Mà $I$ trung điểm $BC$ nên theo định lí $Lyness$ ta dc $(TPQ)$ tiếp xúc với $(O)$

Bài 43: Cho tam giác ABC (AB>AC) nội tiếp (O;R). H là trực tâm của tam giác ABC, AH vuông góc với BC tại F. Gọi M trung điểm BC, trên (O) lấy K và Q sao cho $\widehat{HQA}=\widehat{HKQ}=90^{\circ}$ (A, B, C, K, Q theo thứ tự đó trên đường tròn). Chứng minh (KHQ) tiếp xúc (MFK)
P/s: nếu ai để ý bài này thì đây chính là 1 phần mở rộng ra của bài số 4 trong topic hình cũ của anh spirit1234     

$\boxed{\textsf{Bài 42}}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn $AB<AC$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. $M,N$ là điểm thuộc các cạnh $AB,AC$  sao cho $MN || BC$ và $MN$ không cắt $(I)$. Đường tròn $(J)$ bàng tiếp góc $A$ của tam giác $AMN$, tiếp xúc cạnh $MN$ tại $H$.

1. Chứng minh rằng: $\Delta ABJ \sim \Delta AIN $.

2. Từ $B$ kẻ tiếp tuyến thứ hai của $(J)$, tiếp xúc với $(J)$ tại $L$ ; từ $N$ kẻ tiếp tuyến thứ hai của $(I)$, tiếp xúc $(I)$ tại $K$. Chứng minh rằng : $\angle ABL + \angle IAB = \angle INK + \angle AIN $.

3. Chứng minh rằng : $DK || HL$

 P/s: Bài này mình sưu tầm, có thể là các bạn gặp ở đâu đó rồi   

c) Ta dễ cm dc KN//BL hay JL//KI
Từ D kẻ đường thẳng song song với HL cắt (I) tại K'
Ta có K'D//HL, ID//JH $\Rightarrow \widehat{JLH}=\widehat{JHL}=\widehat{K'DI}=\widehat{DK'I}$
K'D cắt BL tại P, K'I cắt BL tại F, ta có  HL//BP nên $\widehat{HLP}+\widehat{K'PL}=180^{\circ}\Leftrightarrow \widehat{JLH}+\widehat{JLP}+\widehat{K'PL}=180^{\circ}$
Mà $\widehat{JLH}=\widehat{PK'I}$, $\widehat{PK'I}+\widehat{K'PL}+\widehat{PFK'}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{JLP}=\widehat{PFK'}\Rightarrow JL//K'I$ hay K trùng K'
 

Bài 36: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O;R) có trực tâm H. D$\in \widehat{BC}$ nhỏ. Lấy E bất kì sao cho $CE//=AD$. Gọi K là trực tâm của $\Delta ACE$, P và Q là hình chiếu của K lên AB, BC. Chứng minh PQ đi qua trung điểm HK
P/s: Mng nhìn bài này có quen không

$\boxed{17}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (w) có đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Dựng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC có tâm (O). Tiếp tuyến tại B,C của đường tròn (O) cắt nhau tại K.

a) T = (w) $\cap$ AK. Chứng minh tứ giác BTKD nội tiếp

b) S = AK $\cap$ BC, L = SH $\cap$ AO. Chứng minh tứ giác BELO nội tiếp

c) Chứng minh $\overline{S,E,D}$ 

d) Kẻ tiếp tuyến AX của đường tròn (O) sao cho S $\in$ cung nhỏ CD. Chứng minh $\overline{S,H,X}$

Tâm (BEDC) nằm trên BC rồi thì sao 2 tiếp tuyến tại B và C cắt nhau dc ạ

Một tính chất quen thuộc của tâm nội tiếp tam giác: 

1 hướng khác nhưng phần đầu giống bạn 12DecMath
Sau khi cm dc KM//AN thì ta có $\frac{MD}{MH}=\frac{MN}{MH}=\frac{AK}{KH}=\frac{DS}{DH}\Rightarrow \frac{MH}{DH}=\frac{MD}{DS}=\frac{KM}{KI}\Rightarrow AK//DI$ hay AKDI là hbh

Cho mình hỏi tính chất quen thuộc chứng minh kiểu gì vậy? 

Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của $\Delta ABC$ tiếp xúc với BC tại P
Từ đây việc cm BD=CP có lẽ là ez vs các bạn rồi
Gọi X đối xứng với D qua I, ta có BI, BJ là phân giác trong ngoài $\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \frac{AI}{AJ}=\frac{NI}{NJ}=\frac{ID}{PJ}=\frac{IX}{JP}\Rightarrow \Delta AIX\sim \Delta AJP(c-g-c)\Rightarrow \overline{A, X, P}$



P/s: đây là hình mk lấy ở đề thi hsg toán 9 hà nội năm nay vì một phần bài hình của đề cũng có áp dụng tính chất này và mk cũng hơi nhác vẽ hình trên GeoGebra nữa 

$\boxed{27}$Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. $AD, BE, CF$ là các đường cao. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn tại $M$.

a) Chứng minh tứ giác $AMFE$ nội tiếp.

b) Gọi $N$ là trung điểm cạnh $BC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $GH$ vuông góc với $AN$.

Screenshot (1337).png

a) Ta có $GM.GA=GB.GC=GF.GE\Rightarrow AMFE$ nội tiếp
b) Gọi I là giao của GH với AN. Giả sử (BNF) cắt (CNE) tại I'. Dễ thấy $\overline{A, N, I'}$ (tính chất quen thuộc)
Ta có NI'EC, AFI'E nội tiếp nên $\widehat{EFI'}=\widehat{EAI'}=\widehat{I'CN}$ $\Rightarrow$ GFI'C nội tiếp
Từ đây dễ cm dc $\widehat{GI'N}=90^{\circ}\Rightarrow GH\perp AN$
Mà A, E, I', F, H, M đồng viên nên $\widehat{AI'H}=90^{\circ}\Rightarrow HI'\perp AN$
$\Rightarrow$ đpcm

Bài 37: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O) có 3 đường cao AD, BE, CF. AD cắt (O) tại K, KF cắt (O) tại L.
a)Chứng minh CL đi qua trung điểm FE
b) Đường thẳng qua A song song với DE cắt CL tại N. Chứng minh $\widehat{OFN}=90^{\circ}$
P/s: Đề có vẻ ngắn nhưng lm mk mất hơi nhiều tg

$\boxed{33}$Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh CA,AB tại E,F. Trên EF lấy các điểm M,N (không trùng E,F) sao cho BM=BF, CN=CE.

   1) Các đường thẳng CM và AB cắt nhau tại L. Chứng minh rằng :

        $\frac{LF}{LA}$=$\frac{CE}{CA}$$.$$\frac{MF}{ME}$

   2) Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng KL$//$ EF

   3) Lấy J sao cho $\widehat{BMJ}$$=$$\widehat{CNJ}$$=$90^o. Chứng minh rằng JI$\perp$BC

                                                                                                 (Trích nguyên văn đề thi thử KHTN vòng 2 - đợt 2) 

Cách giải khác cho câu a)
Từ L kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME, MA tại G và L. Dễ cm dc LG=LF
Theo chùm đường thẳng đồng quy $\Rightarrow \frac{CE}{CA}=\frac{LG}{HL}=\frac{LF}{HL}$ (1)
$HL//MB\Rightarrow \frac{HL}{LA}=\frac{MB}{AB}=\frac{MF}{ME}$ (2)
Nhân (1) và (2) có dpcm

Bài 37: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O) có 3 đường cao AD, BE, CF. AD cắt (O) tại K, KF cắt (O) tại L.
a)Chứng minh CL đi qua trung điểm FE
b) Đường thẳng qua A song song với DE cắt CL tại N. Chứng minh $\widehat{OFN}=90^{\circ}$
P/s: Đề có vẻ ngắn nhưng lm mk mất hơi nhiều tg

P/s: đây là lời giải cho bài này, bạn nào muốn làm thêm thì vào link này nha https://geosiro.com/?p=1174