Chủ đề này có 2 trả lời

[zack]

Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AA’.Gọi AD là đường phân giác trong của góc  BAC(D thuôc BC) .M,I lần lượt là trung điểm của BC và AH.

1. Lấy K đối xứng  với H qua AD.Chứng minh K thuộc đường thẳng AA’.

     2.Gọi P là giao điểm của AD với HM.Đường thẳng HK cắt AB và AC lần lượt tại Q và R.Chứng minh rằng Q và R lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên AB,AC

 

 

[hazard]

Do AB<AC $\Rightarrow$ $\widehat{B}$>$\widehat{C}$ $\Rightarrow$ $\widehat{C}$ <90

Như vậy xét 3 trường hợp: $\Delta{ABC}$ nhọn,$\widehat{A}$ >90 hoặc  $\widehat{B}$ >90

(trường hợp $\Delta{ABC}$ vuông khá dễ nên không cần xét tới)

** Ta chứng minh bài toán với trường hợp $\Delta{ABC}$ nhọn

 

1.

Do AA’ là đường kính (O) $\Rightarrow$ $\widehat{ACA’}$=90

Lại có $\widehat{AA’C}$=$\widehat{ABC}$

$\Rightarrow$ $\widehat{A’AC}$=$\widehat{HAB}$=90-$\widehat{B}$=m

$\Rightarrow$ $\widehat{HAD}$=$\widehat{A’AD}$=$\widehat{\frac{A}{2}}$-m

Mà K đối xứng với H qua AD $\Rightarrow$ $\widehat{HAD}$=$\widehat{KAD}$

$\Rightarrow$ $\widehat{A’AD}$=$\widehat{KAD}$

$\Rightarrow$ K thuộc tia AA’

=> Đpcm

 

2.

Ta chứng minh bằng phép trùng lặp

Dễ thấy HK $\perp$ AD (phép đối xứng trục) do đó RQ $\perp$ AD tại 1 điểm G

$\Rightarrow$ $\Delta$ AGR=$\Delta$ AGQ (g.c.g) $\Rightarrow$ AR=AQ

Lấy L trên đường AD sao cho LR $\perp$ AB $\Rightarrow$ $\Delta$ ALR=$\Delta$ ALQ (c.g.c)

$\Rightarrow$ LQ,LR lần lượt vuông góc AR,AQ. Như vậy ta cần chứng minh L $\equiv$ P (1)

Cho các đường vuông góc với RQ tại R và Q cắt HB,HC lần lượt tại I,J

$\Delta$ ARQ cân $\Rightarrow$ $\widehat{AQR}$=90-$\frac{\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow$ $\widehat{BRH}$=180-$\widehat{AQR}$=90+$\frac{\widehat{A}}{2}$

Lại có $\widehat{QBH}$=90-$\widehat{A}$

$\Rightarrow$ $\widehat{IHQ}$=$\frac{\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow$ $\Delta$ AQL $\sim$ $\Delta$ HQI

$\Rightarrow$ $\frac{HQ}{AQ}$=$\frac{QI}{QL}$ (2)

và $\widehat{HIQ}$=$\widehat{ALQ}$=90-$\frac{\widehat{A}}{2}$ (3)

Từ (2) $\Rightarrow$ $\Delta$ AQH $\sim$ LQI (c.g.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{QIL}$=$\widehat{AHQ}$=180-$\widehat{QAH}$-$\widehat{HQA}$

$\Rightarrow$ $\widehat{QIL}$=180-(90-$\widehat{B}$)-(90-$\frac{\widehat{A}}{2}$)=$\widehat{B}$ +$\frac{\widehat{A}}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ $\widehat{HIL}$=$\widehat{QIL}$-$\widehat{QIH}$=$\widehat{A}$+$\widehat{B}$-90=90-$\widehat{C}$

 

Mà $\widehat{HBC}$=90-$\widehat{C}$ $\Rightarrow$ $\widehat{HBC}$=$\widehat{HIL}$

$\Rightarrow$ IL//BC (5)

Làm tương tự như trên ta có JL//BC $\Rightarrow$ I,L,J thẳng hàng (6)

Lại có LG//IQ//JR (cùng $\perp$ RQ) $\Rightarrow$ GL là đường trung bình hình thang IQRJ

(do G là trung điểm QR)

$\Rightarrow$ L là trung điểm IJ (7)

Từ (5),(6) và (7) $\Rightarrow$ có IJ//BC, L trung điểm IJ nên theo định lý Ta-lét thì HL cắt BC tại M (trung điểm BC)

$\Rightarrow$ L là giao của HM với AD $\Rightarrow$ L $\equiv$ P

=> (1) được chứng minh

=>Bài toán được chứng minh

** Đối với trường hợp tam giác ABC tù chứng minh tương tự, ví dụ như trường hợp $\widehat{A}$ tù như dưới đây

 

 

[zack]

kinh khủng wa