Chủ đề này có 1 trả lời

[gacon9492]

giải sử  T: $\ \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ là một phép biến đổi tuyến tính 

CMR:

a. tồn tại một hằng số M>0 sao cho: $\ \left \| Tx \right \|\leq M\left \| x \right \|$ với mỗi $\ x\epsilon \mathbb{R}^{n}$

b. T là ánh xạ liên tục

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-06-2013 - 07:25

[funcalys]

a/ Biểu diễn T qua ma trận $m\times n$, ta có:

$T=\left ( a_{ij} \right )$

Biểu diễn ma trận của x là:

$(x_j)_{1\leq j\leq n}$

Ta có:

$Tx= \left ( \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j \right )_{1\leq i \leq m }$

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz, ta được:

$\left ( \sum_{i=1}^m\left ( \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j  \right )^2 \right )^{1/2}\leq \left ( \sum_{j=1}^m\left ( \sum_{j=1}^n a_{ij}^2\sum_{i=1}^n x^{2}_i \right ) \right ) ^{1/2}$

$\Rightarrow \left \| Tx \right \|\leq \left ( \sum_{j=1}^m\left ( \sum_{j=1}^n a_{ij}^2\sum_{i=1}^n x^{2}_i \right ) \right ) ^{1/2}=\left ( \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a^2_{ij} \right )^{1/2}\left \| x \right \|=M\left \| x \right \|$

b/ Sử dụng kq câu a/, ta có:

$\left \| T(x+\varepsilon)-Tx \right \|\leq \left \| T\varepsilon  \right \|\leq M\left \| \varepsilon  \right \|$

Cho $\varepsilon$ nhỏ dần, ta có T liên tục.

Thực ra tính liên tục và bị chặn của toán tử tuyến tính là tương đương trong kgvtđc.