Chủ đề này có 10 trả lời

[Miranda]

Câu 1: (2 điểm)

a/ Cho A = $\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$, chứng minh A là một số nguyên.

b/ Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{array}{l}x^{2}=12y+6 \\2y^{2}=x-1 \end{array}\right.$$

 

Câu 2: (2 điểm)

a/ Cho (P): $y=\frac{1}{3}x^{2}$ và đường thẳng (d): $y=-x+\frac{4}{3}$. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P), tìm điểm M trên trục tung sao cho độ dài MA +MB nhỏ nhất.

b/ Giải phương trình: $x^{2}+5x+8=3\sqrt{2x^{3}+5x^{2}+7x+6}$.

 

Câu 3: (2 điểm)

a/ Cho f(x) là một đa thức với hệ số nguyên. Biết f(1).f(2) = 2013, chứng minh phương trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.

b/ Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ước nguyên dương của $p^{4}$ là một số chính phương.

 

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB $<$ AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn (K) đường lính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của BF và CE.

a/ Chứng minh AE.AB = AF.AC.

b/ Chứng minh OA vuông góc với EF.

c/ Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (K) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac - bd = 1. Chứng minh rằng:

                            $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ad+bc \geq \sqrt{3}$     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Miranda: 27-06-2013 - 21:13

[trauvang97]

Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac - bd = 1. Chứng minh rằng:

                            $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ad+bc \geq \sqrt{3}$     

 

Câu 5: tham khảo tại http://diendantoanho...minhpgeq-sqrt3/

[Miranda]

hihi mình làm câu dễ nhất trước

$\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{(\sqrt{12}+1)^{2}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{12}-1}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$= \frac{2\sqrt{3+\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = 1$

[Miranda]

Câu 1: (2 điểm)

a/ Cho A = $\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$, chứng minh A là một số nguyên.

   

$\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{(\sqrt{12}+1)^{2}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{12}-1}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$= \frac{2\sqrt{3+\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Miranda: 27-06-2013 - 21:36

[Ha Manh Huu]

câu 3

b/ Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ước nguyên dương của $p^{4}$ là một số chính phương.

 

 

ta có các ước của $p^{4}$  là  $1;p;p^{2};p^{3};p^{4}$

cần tìm p để $1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}$ là số chính phương $4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4p^{4}$ là số chính phương 

dùng phương pháp kẹp xét p =2 thì ko thỏa mãn nên $p \geq 3$ nên (p-3)(p+1)$ \geq 0$suy ra $p^{2}+2p+1\geq 4p+4$

từ đó ta có $(2p+p)^{2}<4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4p^{4}\leq (2p^{2}+p+1)^{2}$ suy ra dấu = xảy ra khi p=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 27-06-2013 - 21:41

[bossulan239]

 

 

 

b/ Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{array}{l}x^{2}=12y+6 \\2y^{2}=x-1 \end{array}\right.$$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-2=4y^{2} \\ x^{2} + 3=12y +9 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left ( x +1 \right )^{2}= \left ( 2y +3 \right )^{2}$

Tới đây thì dễ rồi

[bossulan239]

 

Câu 3: (2 điểm)

a/ Cho f(x) là một đa thức với hệ số nguyên. Biết f(1).f(2) = 2013, chứng minh phương trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.

 

 

Giả sử  $f(x)= a_{n}.x^{_{n}}+ ...+a_{1}.x+ a_{0}$

Theo đề bài ta có

 $f(1).f(2)=(a_{n} +a_{n-1}+ ...+ a_{0}).\left [ 2.\left ( a^{n}+ ...+a_{1} \right ) +a_{0}\right ]= 2013$

$\Rightarrow$$a_{0}$ lẻ, $f(1)$ lẻ

Giả sử tại một 1 giá trị nguyên của x mà $f(x)=0$

Nếu x lẻ ta có 

$f(x)\equiv a_{n}+..+a_{0} \left ( mod 2 \right )$ $= f(1)$

$\Rightarrow$ f(x) lẻ mà 0 là số chẵn nên vô lí

Th x chẵn Cmtt ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bossulan239: 28-06-2013 - 09:15

[Juliel]

 

Câu 2: (2 điểm)

 

b/ Giải phương trình: $x^{2}+5x+8=3\sqrt{2x^{3}+5x^{2}+7x+6}$.

Phương trình tương đương :$(x^{2}+x+2)+2(2x+3)=3\sqrt{(2x+3)(x^{2}+x+2)}$

Đặt $\sqrt{2x+3}=a\geq 0,\sqrt{x^{2}+x+2}=b\geq 0$

Thì : $a^{2}+2b^{2}=3ab\Leftrightarrow (a-b)(a-2b)=0$

Tới đây quá dễ

[hieuvipntp]

bài 3.2 gần giống với bài 3.3 của đề hải dương

[Katyusha]

Bài 4.

 

 

1. $\triangle AEF\sim \triangle ACB \Rightarrow AE.AB=AF.AC$.

 

2. Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ tại $A$. Khi đó $\angle xAB=\angle ACB=\angle AEF \Rightarrow Ax \parallel EF$. Mà $Ax\perp OA$. Vậy $EF \perp OA$.

 

3. Trước tiên dễ thấy $MAKD$ nội tiếp được. Do đó $\angle MDA=\angle MKA$. Mà $\triangle AMD\sim \triangle AHM \Rightarrow \angle MDA=\angle AMH$.

 

Vậy $\angle AMH=\angle AKM=\dfrac{\angle MKN}{2}=\angle AMN$.

 

Suy ra $M,H,N$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 30-06-2013 - 07:10

[laiducthang98]

Câu 3.b

p=2 là k.t.m

p=3 thỏa mãn

xét p$\geq 5$ thì các ước của $p^{4}$ là 1,p,$p^{2}$,$p^{3}$,$p^{4}$ .Ta giả sử $1+p+p^2+p^3+p^4=m^2 (m\epsilon Z+)$ <=>$4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=4m^2 (m\epsilon Z+)$ 

Ta có p$\geq 5$=> $p^{2}$ $\geq 5p$=2p+3p$\geq 2p+3$=> $p^{2}$-2p-3 $\geq 0$

Ta có $4m^2<4p^4+p^2+1+4p^2+2p+4p^2=(2p^2+p+1)^2$

 Lại có $4m^2>4p^4+4p^3+p^2=(2p^2+p)^2$

Từ đó có $(2p^2+p+1)^2>4m^2>(2p^2+p)^2$

Điều này là k xảy ra nên chỉ có x=3 thỏa mãn