Cho tam giác $ABC$, $E$ và $F$ là hai điểm trên cạnh $BC$ ($E$ nằm giữa $B$ và $F$) sao cho đường tròn đường kính $EF$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$.$EQ$ và $FP$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng $K$ nằm trên đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$ của tam giác $ABC$
(mình ko bít vẽ hình bằng máy, bạn tự vẽ hình)
Gọi T là giao điểm của EP và FQ
ta có: $\angle EQF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\angle EPF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
vậy K là trực tâm của tam giác TEF suy ra TK vuông góc với EF. Gọi H là chân đường cao.
gọi O là trung điểm EF. A' là trung điểm TK.
tam giác TPK vuông tại P suy ra PA'=0,5TK=A'K suy ra tam giác A'PK cân tại A'.
suy ra $\angle A'PK=\angle A'KP=\angle HKF$ mà $\angle OPK=\angle OFP$
suy ra $\angle OPA'=\angle OPK+\angle A'PK=\angle HKF+\angle HFK=90^{o}$
suy ra A'P là tiếp tuyến của (O)
tương tự ta có A'Q là tiếp tuyến của (O). suy ra A' là giao điểm hai tiếp tuyến tại P, Q của (O)
vậy A' trùng với A. Suy ra A thuộc TK vuông góc với EF hay AK vuông góc với EF (đpcm)
Edited by kb1212, 30-06-2013 - 09:24.