Hạ sĩ
Cho tam giác $ABC$, $E$ và $F$ là hai điểm trên cạnh $BC$ ($E$ nằm giữa $B$ và $F$) sao cho đường tròn đường kính $EF$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$.$EQ$ và $FP$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng $K$ nằm trên đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$ của tam giác $ABC$
Hạ sĩ
Cho tam giác $ABC$, $E$ và $F$ là hai điểm trên cạnh $BC$ ($E$ nằm giữa $B$ và $F$) sao cho đường tròn đường kính $EF$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$.$EQ$ và $FP$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng $K$ nằm trên đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$ của tam giác $ABC$
(mình ko bít vẽ hình bằng máy, bạn tự vẽ hình)
Gọi T là giao điểm của EP và FQ
ta có: $\angle EQF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\angle EPF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
vậy K là trực tâm của tam giác TEF suy ra TK vuông góc với EF. Gọi H là chân đường cao.
gọi O là trung điểm EF. A' là trung điểm TK.
tam giác TPK vuông tại P suy ra PA'=0,5TK=A'K suy ra tam giác A'PK cân tại A'.
suy ra $\angle A'PK=\angle A'KP=\angle HKF$ mà $\angle OPK=\angle OFP$
suy ra $\angle OPA'=\angle OPK+\angle A'PK=\angle HKF+\angle HFK=90^{o}$
suy ra A'P là tiếp tuyến của (O)
tương tự ta có A'Q là tiếp tuyến của (O). suy ra A' là giao điểm hai tiếp tuyến tại P, Q của (O)
vậy A' trùng với A. Suy ra A thuộc TK vuông góc với EF hay AK vuông góc với EF (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kb1212: 30-06-2013 - 09:24
Hạ sĩ
(mình ko bít vẽ hình bằng máy, bạn tự vẽ hình)
Gọi T là giao điểm của EP và FQ
ta có: $\angle EQF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\angle EPF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
vậy K là trực tâm của tam giác TEF suy ra TK vuông góc với EF. Gọi H là chân đường cao.
gọi O là trung điểm EF. A' là trung điểm TK.
tam giác TPK vuông tại P suy ra PA'=0,5TK=A'K suy ra tam giác A'PK cân tại A'.
suy ra $\angle A'PK=\angle A'KP=\angle HKF$ mà $\angle OPK=\angle OFP$
suy ra $\angle OPA'=\angle OPK+\angle A'PK=\angle HKF+\angle HFK=90^{o}$
suy ra A'P là tiếp tuyến của (O)
tương tự ta có A'Q là tiếp tuyến của (O). suy ra A' là giao điểm hai tiếp tuyến tại P, Q của (O)
vậy A' trùng với A. Suy ra A thuộc TK vuông góc với EF hay AK vuông góc với EF (đpcm)
Bạn vẽ rồi chụp giúp mình đuọc không? Chứ bài này mình chẵng biết vẽ cái hình 
Hạ sĩ
(mình ko bít vẽ hình bằng máy, bạn tự vẽ hình)
Gọi T là giao điểm của EP và FQ
ta có: $\angle EQF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\angle EPF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
vậy K là trực tâm của tam giác TEF suy ra TK vuông góc với EF. Gọi H là chân đường cao.
gọi O là trung điểm EF. A' là trung điểm TK.
tam giác TPK vuông tại P suy ra PA'=0,5TK=A'K suy ra tam giác A'PK cân tại A'.
suy ra $\angle A'PK=\angle A'KP=\angle HKF$ mà $\angle OPK=\angle OFP$
suy ra $\angle OPA'=\angle OPK+\angle A'PK=\angle HKF+\angle HFK=90^{o}$
suy ra A'P là tiếp tuyến của (O)
tương tự ta có A'Q là tiếp tuyến của (O). suy ra A' là giao điểm hai tiếp tuyến tại P, Q của (O)
vậy A' trùng với A. Suy ra A thuộc TK vuông góc với EF hay AK vuông góc với EF (đpcm)
Cái vụ đường kính EF vẽ sao tiếp xúc được bạn? Hay bạn đo độ dài từng cạnh nói mình được không?
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
