Chủ đề này có 7 trả lời

[tranxuandat]

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ K xuống AB,BC,CA. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=$KM^2+KN^2+KP^2$

[bossulan239]

 $4S_{\Delta ABC}^{2}= (KM.AB+KP.AC+KN.BC)^{2}\leq (KM^{2}+KN^{2}+KP^{2}).(AB^{2}+AC^{2}+BC^{2})$

 

$\Rightarrow KM^{2}+KN^{2}+KP^{2}\geq \frac{4S_{\Delta ABC}^{2}}{AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}}= \frac{2S_{\Delta ABC}^{2}}{BC^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bossulan239: 29-06-2013 - 16:43

[tranxuandat]

Dấu bằng xảy ra khi nào hả bạn

[bossulan239]

Vẽ đường cao AH

Dấu = xảy ra khi K là trung điểm của AH

[tranxuandat]

Gọi (O;R) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đặt AB=x, BC=z, AC=y khi đó ta có:

$S_ABC=\frac{1}{2}R(x + y + z)$ suy ra $R = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{x + y + z}}$ suy ra ${R^2} = \frac{{4{S_{ABC}}^2}}{{{{(x + y + z)}^2}}}$ vậy $3{R^2} = \frac{3}{{{{(x + y + z)}^2}}}.4{S_{ABC}}^2=\frac{3}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2xz}}.4{S_{ABC}}^2=\frac{3}{{{z^2} + xy + yz + xz}}.2{S_{ABC}}^2$

Xét tam giác ABC với điểm K khác tâm O đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ta lại có:

 $4S_{\Delta ABC}^{2}= (KM.AB+KP.AC+KN.BC)^{2}\leq (KM^{2}+KN^{2}+KP^{2}).(AB^{2}+AC^{2}+BC^{2})$

Suy ra $K{M^2} + K{N^2} + K{P^2} \ge \frac{{4{S_{ABC}}^2}}{{A{B^2} + B{C^2} + A{C^2}}}=\frac{{2{S_{ABC}}^2}}{{{z^2}}}$

Ta có$\frac{1}{{{z^2}}} > \frac{3}{{{z^2} + xy + yz + xz}}$

 khi          $3{z^2} < {z^2} + xy + yz + xz\\$

 Khi          ${z^2} + {y^2} + {x^2} < xy + yz + xz$

Đúng do x,y,z là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Khi đó $KM^2+KN^2+KP^2>3R^2$

Vậy Điểm K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ..... nhỏ nhất

 

 

[bossulan239]

 

Ta có$\frac{1}{{{z^2}}} > \frac{3}{{{z^2} + xy + yz + xz}}$

 khi          $3{z^2} < {z^2} + xy + yz + xz\\$

 Khi          ${z^2} + {y^2} + {x^2} < xy + yz + xz$

Đúng do x,y,z là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Khi đó $KM^2+KN^2+KP^2>3R^2$

Vậy Điểm K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ..... nhỏ nhất

Sai bét rùi

  ${z^2} + {y^2} + {x^2} < xy + yz + xz$  điều này không bao giờ xảy ra cho dù có là 3 cạnh của 1 $\Delta$

 

Cái mà ban nói phải là 

 ${z^2} + {y^2} + {x^2}$< 2xy+2yz+2zx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bossulan239: 29-06-2013 - 17:46

[tranxuandat]

Đúng rồi, mình sai chỗ đấy mình sẽ sửa lại bài.

[tranxuandat]

 $4S_{\Delta ABC}^{2}= (KM.AB+KP.AC+KN.BC)^{2}\leq (KM^{2}+KN^{2}+KP^{2}).(AB^{2}+AC^{2}+BC^{2})$

 

$\Rightarrow KM^{2}+KN^{2}+KP^{2}\geq \frac{4S_{\Delta ABC}^{2}}{AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}}= \frac{2S_{\Delta ABC}^{2}}{BC^{2}}$

Tiếp phần sử dụng bunhia này thì tìm dấu bằng khi:

$\frac{{KM}}{{AB}} = \frac{{KN}}{{BC}} = \frac{{KP}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{K{M^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{K{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{K{P^2}}}{{A{C^2}}}$

Mình ngớ ngẩn thật