Chủ đề này có 2 trả lời

[b2stfs]

cho x,y$\epsilon$(0,1) .CMR:

$x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-y^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

[ngocduy286]

Xin phép sửa lại đề một chút cho đối xứng (bạn xem lại xem có đánh nhầm trong căn cuối không nhé)

cho x,y$\epsilon$(0,1) .CMR:

$P=x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: 

$P=\dfrac{\sqrt{2}x}{\sqrt[4]{3}}.\dfrac{\sqrt[4]{3}}{2}+\dfrac{\sqrt[4]{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}y}{\sqrt[4]{3}}+ \dfrac{x}{\sqrt[4]{3}}.\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{3}y^2}+\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{3}x^2}.\dfrac{y}{\sqrt[4]{3}}$

 

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta được:

$P^2\leq \left ( \dfrac{2x^2}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{x^2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}-\sqrt{3}x^2 \right )\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{2y^2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}-\sqrt{3}y^2+\dfrac{y^2}{\sqrt{3}} \right )=\left ( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right )^2$

 

$\Rightarrow P \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

[b2stfs]

Xin phép sửa lại đề một chút cho đối xứng (bạn xem lại xem có đánh nhầm trong căn cuối không nhé)

cho x,y$\epsilon$(0,1) .CMR:

$P=x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: 

$P=\dfrac{\sqrt{2}x}{\sqrt[4]{3}}.\dfrac{\sqrt[4]{3}}{2}+\dfrac{\sqrt[4]{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}y}{\sqrt[4]{3}}+ \dfrac{x}{\sqrt[4]{3}}.\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{3}y^2}+\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{3}x^2}.\dfrac{y}{\sqrt[4]{3}}$

 

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta được:

$P^2\leq \left ( \dfrac{2x^2}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{x^2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}-\sqrt{3}x^2 \right )\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{2y^2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}-\sqrt{3}y^2+\dfrac{y^2}{\sqrt{3}} \right )=\left ( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right )^2$

 

$\Rightarrow P \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

sory ,mình đánh nhầm chỗ cuối