Chủ đề này có 7 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

Tìm GTNN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+b+a}}$

[vutuanhien]

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

Tìm GTNN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+b+a}}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}\geq a+b+c$

Suy ra $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leq \sum \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}$

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(\sum a\sqrt{b+c+1})^2=(\sum \sqrt{a}.\sqrt{a(b+c+1)})^2\leq (a+b+c)(\sum a(b+c+1))=(a+b+c)[2(ab+bc+ca)+a+b+c]\leq (a+b+c)(a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^2)$

Suy ra $P\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}\leq \sqrt{1+2}=\sqrt{3}$

[phuongnamz10A2]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}\geq a+b+c$

Suy ra $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leq \sum \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}$

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(\sum a\sqrt{b+c+1})^2=(\sum \sqrt{a}.\sqrt{a(b+c+1)})^2\leq (a+b+c)(\sum a(b+c+1))=(a+b+c)[2(ab+bc+ca)+a+b+c]\leq (a+b+c)(a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^2)$

Suy ra $P\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}\leq \sqrt{1+2}=\sqrt{3}$

Đề bài tìn GTNN. Bài làm tìm GTLN?

[babystudymaths]

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

Tìm GTNN của $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+b+a}}$

Bài này DỄ mà bạn     

Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq c\geq b$

Ta sẽ CM 

$\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}$ (*******)

Ta có : $\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b}{\sqrt{c^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+c+a}} =\frac{b+c}{\sqrt{c^{2}+c+a}}$

Và $a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}\geq a^{2}+b+c+a$ (do a không lớn hơn 1 theo giả sử) suy ra $1\leq \sqrt{c^{2}+c+a}\leq c^{2}+c+a+b$

Vậy là đã chứng minh được (*********)-dấu đẳng thức xảy ra tương đương b=c ,lại thấy vế phải của (*********) là 

$\frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}= 1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$ nên 

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\geq 1$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong (a,b,c) có 2 số =0,1 số = $\sqrt{3}$ 

[Ha Manh Huu]

Bài này DỄ mà bạn     

Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq c\geq b$

Ta sẽ CM 

$\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}$ (*******)

Ta có : $\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b}{\sqrt{c^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+c+a}} =\frac{b+c}{\sqrt{c^{2}+c+a}}$

Và $a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}\geq a^{2}+b+c+a$ (do a không lớn hơn 1 theo giả sử) suy ra $1\leq \sqrt{c^{2}+c+a}\leq c^{2}+c+a+b$

Vậy là đã chứng minh được (*********)-dấu đẳng thức xảy ra tương đương b=c ,lại thấy vế phải của (*********) là 

$\frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}= 1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$ nên 

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\geq 1$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong (a,b,c) có 2 số =0,1 số = $\sqrt{3}$ 

cách làm bài này thế nào và tại sao lại có cách sắp xếp biến như vậy ạ

[babystudymaths]

cách làm bài này thế nào và tại sao lại có cách sắp xếp biến như vậy ạ

À, mình làm theo hướng lấy a chuyển sang nên sắp xếp biến như vậy thôi,bạn cũng có thể sắp xếp theo thứ tự tùy ý mà,nó là 1 bđt không chặt và thậm chí có thể làm trội nhiều nên mình nghĩ theo hướng đó

[kobietlamtoan]

Bài này DỄ mà bạn     

Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq c\geq b$

Ta sẽ CM 

$\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}$ (*******)

Ta có : $\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a+b}}\geq \frac{b}{\sqrt{c^{2}+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+c+a}} =\frac{b+c}{\sqrt{c^{2}+c+a}}$

Và $a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}\geq a^{2}+b+c+a$ (do a không lớn hơn 1 theo giả sử) suy ra $1\leq \sqrt{c^{2}+c+a}\leq c^{2}+c+a+b$

Vậy là đã chứng minh được (*********)-dấu đẳng thức xảy ra tương đương b=c ,lại thấy vế phải của (*********) là 

$\frac{b+c}{a^{2}+b+c+a\sqrt{a^{2}+b+c}}= 1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$ nên 

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\geq 1$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong (a,b,c) có 2 số =0,1 số = $\sqrt{3}$ 

a là số lớn nhất sao a lại k lớn hơn 1. ???

[babystudymaths]

Tks a,e nói nhầm đấy,a không nhỏ hơn 1 mới đúng,a chỉ cần sửa lại chỗ đó thôi